Pour mieux apprécier cette difficulté tondamentale , il

538 Géaifltnn daks l'mpacb.

saffit de renvifiager spéddemeat dans §on moindre degré, relativement à la pins simple de œs catégories natarelles, c'est-àdire à l'égard des surfaces engendrées par la ligne droite , et ordinairement qualifiées, à ce titre, de réglées on plutôt rerft* lignes. D'après le nombre des paramètres yariables propres à une telle génératrice , nous avons déjà remarqué que trois directrices devenaient , en général , Indispensables à Fentière détermination de son mouvement. Gomme une seule directrice laissée arbitraire dans un mode quelconque de génération constitue, en géométrie comparée, une famille proprement dite, il est évident qae le groupe géométrique des surfaces rectilignes comprend nécessairement une double infinité de familles distinctes , dont les cylindres , les cônes , et les eonoïdes ne nous ont offert que les plus simples et les plus usuelles. Il n'existe pas jasqu'iei de type analytique assez général pour leur con-* venir simultanément , et néanmoins asseï circonscrit pour les caractériser exclusivement. Si jamais on parvient à l'instituer, on peut assurer d'avance qu'il devra contenir distinctement trois fonctions arbitraires indépendantes entre elles, afin de correspondre au nombre naturel des directrices qu'exige alors l'entière détermination de chaque espèce, et de pouvmr se modifier convenablement, d'abord envers les classes, ensuite ii l'égard des familles.

On rendra plus sensible encore une tdle nécessité en conri* dérant la principale division géométrique des surfaces réglées, selon qu'elles sont développables on non dévelôppaUes , è'es^ à-dire suivant qu'elles peuvent on non être envisagée» comme formées d'éléments plans juxteposés, ayant toute la longueur de la surface dans le sens de chaque génératrice, et iafimmeot petits senlement dans le sens perpendicidaire; condition évidemment indispensable et suffisante pour permettre, en effol, de déployer testes ka parties de la surface sur un mAue j^n à

SECONDE PIATIE, GHAnTHB SIXIÈHE. 53ft

h SQiie les unes des aatres, sans lacane ni oanfasion. Parmi les trois familles de surfaces recUlignes que nons ayons étudiées, les deux premières sont déyeloppables , parce que deux posi-^ lions consécutives de la génératrice y appartiennent toujours à un même plan ; la troisième ne Test pas , faute d'un tel caractère fondamental. £n ayant égard à cette distinction générale , il faut reooffinaitre que la classe des surfaces déyeloppables , qadque ne constituant déjà qu'un cas particulier de ce vaste groupe géométrique , est elle-même trop étendue pour comporter, au moins sous fm'me flme , une yéritable équation collective , dans l'état naissant où se trouye encore la géométrie comparée , qui n'a pu jusqu'ici fournir, à cet ég^rd , que le caractère analytique indirect trouyé par Euler d'après la théorie générale de la courbure des surfaces, éyidemment réservée à l'analyse transcendante. Cette commune équation des surfaces déyeloppables, devant être moins étendue que celle du groupe total des surfaces reetilignes, et devant pourtant convenir à une infinité de familles proprement dites, contiendrait nécessaire* ment deux fonctions arbitraires. Il est aisé de le confimer direetonent, d'après chacune des deux origines géométriques que Ton peut assigner en général , à de telles surfaces. Toute surface déyeloppable peut d'abord résulter du moayement d'un I^n assujetti à toucher à la fois deux surfaces fixes quelconipies, en considérant le lieu des droites qui joignent ses deux points de contael, et dont l'ensemble remplit naturellement la condition f(HMbtmentai6 imposée ci-dessus au développement d'une surface reetiligne. Sous ce premier aspect , il n'est pas douteux que le type analytique de cette classe géométrique devrait né* ceasakement contenir deux fonctions arbitraires, afin de cor-respondre à la double source de yariation inhérente à une telle définîtioD i si les deux surfaces directrices étaient égales et paralMiM,ilflii rtsidterait la famille des eyliadresj eeUe ées

51^0 GÉOMÉTEIE DANS L*ESPACB.

cônes correspondrait à leur simple simUitade , jointe au même parallélisme; one infinité d'autres familles inconnues dérive*raient de nouvelles dispositions mutuelles. En second lieu , on peut aussi concevoir une surface développable conune l'ensemble des tangentes à une môme courbe à double courbure, d'ailleurs quelconque. Cette seconde définition n'est pas , au fond , moins générale que la précédente , puisque , les généra trices consécutives de chaque surface développable devant nécessairement se rencontrer, la suite de leurs intersections forme graduellement une certaine courbe qu'elles touchent toutes ^ et qui est évidemment propre à caractériser la surface correspondante, où on la qualifie ordinairement & arête de rebrotissemerU. Or, sous ce nouveau point de vue , il est pareillement évident que l'équation collective de cette classe de surfaces devrait naturellement contenir deux fonctions arbitraires distinctes , en vertu du dualisme analytique de cette courbe caractéristique , qui , successivement supposée cylindrique, ou conique, ou sphérique, etc., produirait une infinité de groupes secondaires, au moins aussi étendus que nos familles proprement dites.

L'ensemble des réflexions précédentes est très-propre à caractériser nettement la difficulté fondamentale qui empêche aujourd'hui, et qui peut-être interdira toujours dans la plupart des cas, la pleine formation des types analytiques destinés à représenter les groupes géométriques plus indéterminés que ceux dont nous avons considéré Tappréciation spéciale. Si, en eflet , de tels obstacles essentiels existent déjà envers la plus simple catégorie, où la génératrice ne comporte que quatre paramètres variables, ils doivent naturellement acquérir beaucoup plus d'intensité à l'égard d'assemblages encore plus vastes^ relatifs à des génératrices plus compliquées, dont la conception analytique exigerait trois couples de constantes arbitraires, comme pour les surfaces circulaires , ou , à plus forte raison ,

SECONDE PAETIE, CfiAMtRE StXiÈME. èkl

^atre oonples» quant aux surfaces paraboliques , et ainsi suc*oessivement, suivant le nombre de points déterminant propre à chaque génératrice.

163. Tous les systèmes de génération envers lesquels les divers motifs précédents doivent nous faire renoncer, soit maintenant , soit môme à jamais , à la formation des équations collectives introduites par Monge, ne sauraient dès lors permettre une étude générale aussi satisfaisante, à beaucoup près, que cdlé des groupes géométriques dont les types analytiques sont convenablement établis. Néanmoins, on peut encore résoudre , envers chaque surface particulière d'une telle nature , les deux questions fondamentales qui consistent , soit à former son équation quand sa génération est complètement déterminée, soit , réciproquement , à reconnaître le mode de génération d'après l'équation donnée.

Pour le premier problème, il faudra toujours partir du couple analytique le plus général , et pourtant le plus simple, relatif à la génératrice proposée , yi(^, ^> s , ^, ^ , c, d...,) =0 ctyi («r, j^, z, a, b, c, d..,.) = 0. Cela posé, on y réduira les paramètres indéterminés /z, b, c^ d...k un seul , en ayant ^ard à l'ensemble des conditions qui déBnissent le mouvement de la génératrice, soit que cette ligne doive glisser sur des courbes données , comme dans le cas le plus ordinaire , soit qu'elle doive toucher constamment des surfaces données, ou suivant toute autre prescription géométrique. Si cette réduction nécessaire restait impossible après avoir tout pris en considéra** tion, la définition serait, par cela seul, reconnue insufiOsante, et propre uniquement à constituer une famille , ou une classe , ou quelque groupe géométrique encore plus étendu , au lieu d'une espèce déterminée. Après une telle préparation , l'équation de la surface cherchée résultera toujours de l'élimination de Tuni^iie paramètre ainsi conservé entre les équations de h

6fc2 «éOXâniB DANS l'espacs*

génératrice. Yu qa'il importe peu d'ailleurs qpeceUe préalable subordination des constantes arbitraires soit explicite ou seulement implicite, on évitera souvent de s'imposer d'inutiles entraves algébriques eu concevant plus largement rensemble de ce calcul, consistant à éliminer tous les n paramètres primitifs de la génératrice entre ses deux équations et les n — 1 reliH tions qui doivent spécifier son mouvement , sauf à choisir judicieusement, en chaque cas, la meilleur mode d'élimination.

Considérons maintenant le problème inverse, où il s'agit de reconnaître si une surface donnée/ (:r^ ^, 2i)=o peut être engendrée par une certaine ligne ^^et de découvrir le mode de génération. En procédant également d'après le couple analytique le plus général et le plus simple qui convienne à cette génératrice, y (ar,^, z, a, 6, c, £/...)==0, 4*(a-,^, », a,*,c, rf...)«0. il faudra que la ligne puisse être contenue sur la surface , sans que tous ses paramètres a^ by c, d.,. soient entièrement déterminés, et en laissant l'un deux totalement arbitraire , tousl^ autres lui devenant subordonnés selon des formules géométriquement admissibles. Si, en effet, cette condition est rempUe, elle garantira nécessairement que Téquation de la surface donnée pourrait dériver de celles de la courbe proposée, en éliminant entre elles cet unique coefficient variable. Toute rôpération analytique consistera donc, sous Faspect le plus étendu , à éliminer deux des coordonnées jc^y^z, entre les équations de la ligne et celle de la surface , afin que Téquation finale relative à la troisième coordonnée puisse devenir identique d'après des valeurs réelles des divers paramètres de la génératrice en fonction de l'un d'eux , pour exprimer que cette ligne s'applique totalement sur la surface dans clmcune de ses positions. Quand la surface proposée sera ainsi reconnue susceptible d'être engendrée par la ligue considérée, l'eMemUe

SEGOIiro PARTIS, GHAPmS SIXIÈBIfi. $^3

de œs coBiiltioas détermioera en même temps le mode de génération.

164. Appliquons d'abord cette double méthode oniverselle à la théorie générale des surfaces réglées ou rectilignes. Considérons-y , en premier lieu , la formation de Féquation d'après les trois directrices qu'exige alors rentière détermination du mouvement de la génératrice, a:=az-{-0L^ jr=:bz-{-^. Dans le cas le plus simple , ces directrices seraient trois droites, sans intersection mutuelle , et dont Tune , si les axes sont totalement disponibles, pourrait être prise pour axe des ;», en dirigeant les axes horizontaux parallèlement aux deux autres , l'une de celles-ci pouvant même être supposée dans le plan des 0?^. Les équations de ces trois directrices seraient donc j?=0, ^=0, puis iî=:0,^ = c, et enfin j?=/?, z=q. En vertu de sa rencontre perpétuelle avec les deux premières , la génératrice aurait pour équations y= ojc^ ^=:bz-^c^ où la troisième intersection exigerait la relation ap=bq'{-€. Si l'on y élimine les paramétres variables aei b, on obtient aussitôt Téquation de la surface du second degré cherchée ,

qxjr -j- cxz — pj'Z = qcx.

Malgré sa grande simplicité ^ cet exemple intéressant suffit ici à manifester la marche générale d'une opération déjà convenablement expliquée en principe.

Pour caractériser nettement les cas où le mouvement de la génératrice est défini autrement que par des directrices, il convient d'apprécier ici le mode de' formation de Téquation de chaque surface développable , que l'on croit mal à propos ess^tiellement inaccessible à l'analyse ordinaire , et qui pourtant n'exige , au fond , que la simple théorie du plan tangent , déjà complètement applicable , dans ce traité élémentaire , à toutes les équations algébriques proprement dites. Cette, ques-

5^( ^fitolrtniB DANS L'figPAGB.

lion générale serait d'abord facile à traiter, si la satface dève» loppable qae Ton considère était définie par son arête de rel^ronssement , dont les équations , f (x, y^ x)=0^ ^ (x, ^, js?)=0, fourniraient aussitôt celle d'une tangente quelconque , d'après l'ensemble des deux plans tangents ,

l'équation cherchée résulterait alors de l'élimination des coordonnées auxiliaires x,j ^„ z^^ entre ces deux équations et les deux relations 9 7 (x, y X, , z.) = 0, ^(x,, j^, , z,)=:0, qnicar ractérisent ce point de contact. .Quoique le calcul soit plus pénible dans l'autre système géométrique propre à la définition des surfaces développables , l'analyse transcendante n'y est pas réellement plus indispensable. Supposons , en efiet , un plan mobile assujetti à toucher constamment deux surfaces données ff(x^jry z)=:0 et ^ (x,^, z)=sO. Il suflSra, pour instituer convenablement la solution , d'y introduire , à titre de variables auxiliaires, les coordonnées respectives x,^ y^, z,, et -r, , ^,, xr, , des deux points de contact , dont la droite de jonction constitue ici la génératrice de notre surface développable. Les deux plans tangents correspondants auraient pour équations

et

Or, l'identification continue de ces deux équations, afin d'exprimer que le plan mobile touche à la fois les deux surfaces fixes , fournira d'abord les trois relations

f». +»a ?». +«a fV, f«.