SECONDS PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. S

entre les six variables auxiliaires, d'ailleurs assujetties déjà par leur nature aux deux conditions T(J:•or,»^,)=Oet^Ka;„^,, J?J=0. Si , à ces cinq relations nécessaires, on joint les deux équations de la génératrice

Z, 2, Za— Z,

on pourra totalement éliminer les six coordonnées introduites , de manière à obtenir, entre les variables naturelles x,^, z, Féquation de la surface demandée , quoiqu'une telle opération analytique dût le plus souvent devenir d'ailleurs presque impraticable, même envers des données fort simples. Pour en mieux saisir l'esprit , le lecteur devra pourtant s'exercer à l'accomplir dans quelques cas faciles, et au moins à l'égard de deux sphères, où les indications géométriques fourniraient directement une complète vérification spéciale.

Ainsi envisagée, la théorie analytique des surfaces dévelop-* pables trouverait naturellement une large application dans le problème général des ombres , maintenant conçu de la manière la plus étetadue , c'est-à-4ire en supposant , au corps éclairant anssi bien qu'au corps éclairé, une figure et une grandeur quelconques. Car, en déterminant la surface développable circonscrite à ces deux surfaces , sa combinaison avec chacune d'elles y caractériserait la ligne de démarcation, soit entre la partie eflScace et la partie superflue de la première, soit entre la partie éclairée et la partie obscure de la seconde ; ensuite, sa trace sur toute autre surface opaque donnée y marquerait le contour naturel de l'ombre portée. Il importe de noter, an sujet d'une telle application , qui indique spontanément la distinction nécessaire de l'ombre à la pénombre^ que le lieu développable ainsi obtenu se trouvera toujours composé de deux surfaces différentes , puisque le plan tangent peut être considéré dans deux sortes de situations très-distinctes, selon qu'il laisse les

546 GtoMÉTKIB DAVS t'ESPACK.

deux surfaces fixes d'un même c6té oa qu'il passe entre elles. Pour deux sphères, ces deux élém^its du lieu cherché seraient deux c6nes circulaires droits , engendrés autour de la ligne des centres par les deux couples de tangentes communes aux deux grands cercles correspondants. £n un cas quelconque, on doit donc trouver finalement une équation exceptionnellement décomposa ble en deux facteurs, dont Fun servirait ici à déterminer Tombre proprement dite , et l'autre la simple pénombre, con* formément aux exigences spéciales de cette application.

165. Qaant à reconnaître , en second lieu, d'après Téqualion d'une surface donnée , si elle appartient à tel système désigné de génération , la marche générale expliquée au n"* 163 pour cette recherche inverse se simplifie beaucoup à l'égard des sur*, faces réglées, vu Textréme simplicité de leur génératriGe* Tout se réduit ainsi , en effet , à substituer, dans l'équation proposée, f[x^y^ z) = 0, az+a et 6z+6 au lieu de x eXy^ afin d'assujettir l'équation finale en z ,y*( az 4- a , &z+ 6, 2)=0^ à devenir complètement identique , en disposant convenablement de trois des paramètres a^b , ol^^ par rapport au qaa* triéme , qui doit rester arbitraire. Cette méthode n'étant , eu outre, nullement entravée par Viodétermination des coefficients de la surface , on pourra l'appliquer aussi à découvrir sous quelles conditions un genre géométrique donné peut devenir rectiligne» suivant les relations que cette prescription nécessaire imposera encore après avoir facultativement annulé trois des termes distincts en z , en vertu de la disponibilité des trois paramètres. Pour caractériser nettement cette élaboration analytique par un exemple décisif , et néanmoins fort simple, appliquons-la aux surfaces du second degré , parmi lesquelles il importe de discerner celles qui soi\t réglées ^ en déterminant d'ailleurs leur mode spécial de génération rectiligne.

Ces calculs seraient trop compliqués et leur^ résultai]» Irop

SSCONM PÂlTIB > GHAPITltB SIXIÈME. ÔVÎ

eofOfas , si on les opérait directement sur l'équation la plus générale de ces surfaces

axf'+b^^'+cz^+djcy+exz+fyz-i-gx+hy'^kz = 1.

Il faut donc commencer par la simplifier autant que peut le permettre le libre choix des axes rectangulaires , même quand OD deyrait y distinguer ainsi plusieurs types séparés , dès lors successivement appréciables. Une telle préparation suit nécessairement la même marche que dans la question analogue de géométrie plane , quaut à la simplification préalable de Téquation générale des courbes du second degré , en changeant d'aliord la direction des axes, afin d'opérer la séparation des yariables , et déplaçant ensuite l'origine seule pour modifier les termes inférieurs. La première transformation , qui est, de part et d'autre , la plus importante et la plus délicate , introduirait ici , suivant nos formules de transposition , trois angles disponibles, qui permettraient d'annuler, en général, les trois termes où les Tariables sont mêlées; ensuite, la distinction rdaii?e à l'existence ou à l'absence d'un centre conduirait aisément à diriger les simplifications complémentaires. Mais l'embarras du calcul consisterait , surtout sous le premier aspect , à constater suffisamment que la réduction est toujours possible dans tous les cas que l'on doit avoir en vue ; ce qui exigerait, a l'égard des constantes angulaires, la considération d'une pénible équation finale du troisième degré. Quoique rien ne pût dispenser régulièrement d'une telle opération algébrique si on voulait réellement accomplir cette préparation en un cas particulier, on peut néanmoins éviter complètement cette lourde discussion , quand il ne s'agit , comme ici , que de constituer, en génénd, les plus simides types analytiques propres aux diverses surfaces du second degré , et destinés à diriger, sous un rapport qofllcoQqiie , leur étude spéciale,

5bS GÉOM^THIB DÀNâ L*SSPACe.

Pour cette nouvelle appréciation , il faut utfliser pins Urg^ ment qu'on n'a coutume de le faire la notion générale des diamètres propres à ces surfaces , en s'aidant , d'ailleurs , des connaissances aqquises sur les courbes correspondantes. L'application directe de notre seconde méthode des diamètres ferait reconnaître , envers les surfaces quelconques du second d<^, aussi nettement qu'à l'égard des courbes de ce genre, la nature commune de tons leurs diamètres. Mais la même eonsidératioD qui nous a déjà dispensés de ce calcul en géométrie plane peut également nous l'épargner ici, en réfléchissant que le diamètre immédiatement résulté de l'équation complète ci-dessos rapportée, en y dégageant l'une des variables , est évidemment un plan ; or, ce lieu se rapportant à des cordes qui , au fond , sont arbitraires envers la surface ^ vu l'entière généralité de Téqoation proposée quant aux situations , il s'ensuit pareillement, de cela seul , que tous les diamètres sont nécessairement plans dans toutes les surfaces du second degré. Il faut d'ailleurs noter que toutes les sections planes de ces surfaces sont des courbes du même degré , que nous avons déjà reconnues être constamment symétriques soit en un seul sens , soit en deux rectang[alaires. Cela posé, on doit d'abord distinguer deux cas, solvant que ces sections n'admettraient jamais qu'un axe unique, oa qu'elles pourraient aussi en comporter deux , c'est-à-dire selon qu'elles seraient ou non susceptibles de centre. Si la surface proposée ne pouvait fournir que des coupes paraboliques, en y considérant une certaine série parallèle de ces sections, le lien de leurs axes, nécessairement parallèles entre eux , formerait un plan diamétral autour duquel la surface se trouverait symétrique, puisqu'il serait partout perpendiculaire aux cordes correspondantes , si la direction des coupes était convenablement choisie : dans ce premier cas ^ essentiellement exceptionnel ^ ^ surface n'est symétrique qtf en un seul $eii9 , comiqe te com*tf

8EG0NDB PABtiE, CHAPITRli SfKIÈBIfi. 6k9

qui la composent exclusiTement. Quand les secUons. peuvent aussi devenir elliptiques ou hyperboliques , ce qui doit évidem-* ment constituer le type normal, qu'il faut ici avoir seul en vue, une pareille série parallèle pourra fournir deux suites rectan* galaires d'axes partiels , d'où pourront résulter deux |dans diamétraux perpendiculaires à leurs cordes et d'ailleurs entre eux. Toutes ces surfaces sont donc symétriques autour de deux plans rectangulaires. Ainsi , en y plaçant les plans des jcz et des yz^ Téquation deviendra nécessairement

afin de ne contenir aucune puissance impaire de x ni de y, La possibilité de séparer les variables, en faisant même disparaître deux des termes du premier degré, se trouve dès lors aisément démontrée. Quant aux simplifications ultérieures, il y faut distinguer deux cas , selon que la surface est ou non susceptible de centre. Car, pour Fun , l'origine pourra être transportée en ce centre, sur l'axe actuel des z, de manière à écarter aussi l'unique terme du premier degré qui eût été conservé, en ramenant la surface au type

que nous emploierons alors habituellement : il prouve aussitôt que de telles surfaces sont pareillement symétriques autour du troisième plau coordonné. S! la surface n'a pas de centre, le terme kz ne pourra pas disparaître; mais on pourra enlever le terme constant, en plaçant l'origine à la rencontre delà surface avec l'axe des z, qui seul était déjà pleinement fixé. Il importe d'ailleurs de sentir que l'absence même de centre assure alors l'annulation spontanée du terme en ^% d'après le choix primitif de deux des plans coordonnés ; car, sans cela , la surface

aurait évidemment un centre , dont l'ordonnée verticale serait

k ^ — . Cette circonstance analytique est parfaitement walogue

k celle que imnis ayons expliquée envers les sections eonkioes, où l'on ne peut séparer les Tariables sans qne l'on des carrés soit simnltanément éliminé , quand le lien géométrique est caractérisé par le défaut de centre. Ainsi , cette derniéK classe de surfaces du second degré est finalement réductUileau type

Pour compléter cette discassion préparatoire , il faudrait maintenant revenir au cas exceptionnel , où la surface n'était symétrique qu'autour d'un seul plan ^ comme ne comportant que des coupes paraboliques. En supposant l'axe des z perpendica* laire à ce plan , l'équation deviendrait , d'après cette symétrie ,

Mais la nature géométrique de ce cas exige d'abord que a et à s'y annulent spontanément , afin que les deux traces verticales ne puissent être que des paraboles; la même circonstance deviendra ensuite indispensable quant à c, d'après un pareil motif envws la trace hmizontale. Dès lors , en plaçant l'origine au basard sur cette dernière trace , qui sera ainsi devenue recti* ligne , on aura finalement l'équation

A l'inspection ^ on y reconnaît aisément , d'après nos principes généraux, une surface cylindrique, à base parabolique.

L'ensemble de la discussion précédente conduirait donc à distinguer trois types analytiques, z*=zdy-^ex^ ax^^-^-hyr^z^ ax^ 4" ^y + ^2;' = 1 , pour les surfaces du second degré , suivant qu'elles sont symétriques en un sens unique, ou en deux sens rectangulaires, ou enfin en trois pareillement' rectangulaires. Mais le premier cas, ne convenant qu'au seul cylindre parabolique , doit élre essentiellement écarté, sOit parce qu'une tdie surface est déjà suffisamment connue, soit parce que son

SECONDE PAUTIS, 'GHÀHT*K finUËME. ^1

éqsfttioQ peut y h la xigueur, rentrer ^ao^ le second t;pe« en y anQulant Tua des carrés. Il ne £aitt distiagiier finalameiit, parmi les surfaces da second degré, que deux dasses différentos, selon qu'il e&isle ou non un centre. C'est uniquemeni à ces deux types, a•c•*-fZ^f '+ es' = 1, aj;'4-Ay=2, qua nous devrons maintenant appliquer la méthode fondamentale, destinée à caractériser les surfaces rectilîgnes.

Toutefois , avant d'accomplir cet examen^ il convient de discuter sommairement chacune de ces deux équations déOnitiye^, afin de teconnaitre d'avance, d'après la forme générale de cçs surfaces, en quels cas il convienl de poursuivre une telle appréciation , sans la compliquer inutilement par la considération des surfaces dont la nature exclut directement toute semblable génération.

Envisageons d'abord les surfaces du seco«id degré qui oui un centre, pour discerner, d'après le type aj:'4r-/»y+c^'= 1, les divers cas géométriques qui peuvent y résulter des différenis signes attribuables aux trois coefficients a, 6, c, dont l'un fi|u moins doit être toujours positif. Si, en premier lieu, les <lettx autres le sont aussi , il est évident que la surface sera fermée et continue , chaque coordonnée y ayant une Ijmite sfipérieure, sans aucune limite inférieure : le xxomé'ellîpsoide rappelle alors très-nettement que toutes les sections planes sont elliptiques. Il est aisé de constater, d'après l'hypothèse de z constant, que cette surface peut résulter du «aouvemeui d'une elUpse horiioutale, dont le centre parcourt l'axe vertical, tandis que ses demiaxes constituent, en chaque position, les abscisses horizontales qui correspondent à une même ordonnée dans le» dwi: traces VOTticales de l'ellipsoïde. Ces deux directrices , aa:^ +cx^ == 1 , bjr^^cz'' =1, ont toujours le même axe vertical : mais leurs axes horizontaux ne seront égaux qu'autant que la surface serait de révolution, si ou siqjposait as=zb.

&52 GÉOMlhUB DANS L'ESPACE.

Quand Tun des coefficients a^ b,c^ deviendra négatif, la surface ax^-^fy* — cz' = l setronvera nécessairement indéfinie, sans cesser d'être eontinne , puisque les valeurs de z ne seront assujetties à aucune restriction quelconque. Les deux directrices verticales seront alors des hyperboles , ayant le même axe non transverse, etTellipse génératrice poura s'agrandir à l'infini , en partant de la situation caitrale, où elle a les moindres axes. On désigne cette seconde surface sous le nom à' hyperboloïde â une nappe. Elle peut encore être de révolution, lorsqu'on suppose égaux les deux coefficients positifs.

Faisons enfin l'hypothèse inverse, où deux coefficients deyiennent négatifs. Dans ce troisième cas, ax''\-by^ — cz^=. — 19

les valeurs de z sont assujetties à une limite inférieure \ / - 9

sans comporter d'ailleurs aucune limite supérieure ; en sorte que la surface est illimitée , mais discontmue. L'axe vertical commun des deux hyperboles directrices est alors leur axe transverse , et le mouvement de l'ellipse génératrice est interrompu entre leurs sommets. C'est pourquoi le lieu , qui serait encore de révolution si on égalait les deux coefficients de même signe, est qualifié A*h%ip€rholiHde à deux nappes.

Les deux hyperboloïdes sont les seules surfaces du second d^ré sur chacune desquelles on puisse indifiëremment tracer des paraboles, des ellipses, ou des hyperboles, suivant la direction du plan coupant : leur forme générale dispense, à cet ^rd, de toute appréciation analytique. On peut rapporter à chacun d'eux le cas du cône, elliptique ou hyperbolique, où l'équation devient homogène par l'annulation du terme constant, en sorte que le centre se place exceptionnellement sur la surface , dont il constitue alors le sommet proprement dit.

Considérons maintenant les surfaces dépourvues de centre, d'après le type aa:^+by = z^ qui indique naturellement deux

SBCOmË PARTIS, CHAPITRB SIUÈME. SS3

hypothèses géométriques , selon que les deux coefBcients a et h auront le même signe ou des signes opposés. Dans le premier cas, les sections horizontales seront encore des ellipses parallèles, semblables, et ayant leurs centres sur Taxe vertical: mais le mouvement de l'ellipse génératrice sera maintenant dirigé par deux traces paraboliques ayantle même axe et pareillement tournées. La surface s'étendra donc indéfiniment d'un côté du plan des xy^ sans pouvoir pénétrer de l'autre côté : elle a reçu le nom de paraholoïde elliptique , destiné surtout à rappeler que ses sections planes, toujours elliptiques ou paraboliques , ne sauraient jamais devenir hyperboliques.

Quand les deux termes du second degré ont des signes opposés, les deux traces paraboliques sont alors tournées en sens contraire, et l'ellipse génératrice se transforme en une hyperbole, dont le demi-axe transverse, toujours indiqué par la rencontre de l'une de ces paraboles directrices , est parallèle à l'un ou à Fautre des deux axes horizontaux , selon que le plan de celte hyperbole horizontale est au-dessus ou au-dessous du plan des XX 9 V^ coupe la surface selon deux droites remarquables , parallèles aux asymptotes de ces deux séries de sections hyperboliques semblables. Pour mieux caractériser cette dernière surface , la plus difficile à bien voir parmi toutes celles du second degré, il convient d'y considérer la nature générale des sectioas planes , d'après la méthode du n"" 145. Or , on trouve aisément que la constante composée qui distingua analytiquement les trois courbes du second degré est ici — iab côs'6 ; en sorte que, aei b étant de signe contraire , la section ne peut jamais être elliptique, et se trouve ordinairement hyperbolique, sauf le cas parabolique correspondant à tout plan vertical. Tel est le principal motif de la dénomination de paraboloïde hyperbolique affectée à cette surface, qui évidemment ne sera jamais de révolution^ taudis que Tautre paraboloïde en est susceptible.

66b aioiflfanuB dans l'bspacb.

166. Après cette dîscussioD préliminaire , noos pooyoBS aisément discerner , parmi les cinq surfaces da second degré , celles qai comportent une génération rectiligne. Gomme toute surface réglée doit élre à la fois illimitée en tout sens et cootinue, il est clair que rbyperbolojde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique doivent seuls être soumis ici à un tel examen analytique, qui d'ailleurs confirmerait envers les trois autres cas une évidente exclusion géométrique.

Pour la première de ces deux surfaces, la substitution prescrite, j:=5=wz-f-aî^=«2j4-6f dans l'équation

tfx'+éjr»— cz* = i, conduira aux conditions d'identité

tendant à déterminer les trois paramètres a, byO,, relativement à § , qui y restera arbitraire , suivant la règle fondamentale. Tout se réduit donc à examiner si ces trois formules , qui ne sauraient évidemment devenir réelles envers rellipsoïde ou rbyperboloïde discontinu , le seront toujours à Tégard de l'hyperboloide continu. Or, l'appréciation géométrique des trois conditions précédentes ne laisse, à ce sujet, aucune incertitude, et dévoile en même temps le mode de génération. Car , la troisième relation sera d'abord satisfaite, aussitôt qu'on fera glisser la génératjrice sur l'eUîpse qui constitue la trace horizontale de la surface. En comparant le cœiBcient angulaire de la tangente i cette ellipse avec celui de la projection borizontale de la droite, il est aisé de constater que la seconde eoqditiou^ oblige la projection horizontale de la génératrice à toucher constamment cette courbe. Quant à la première relation» qui n'est qu'entre les deux coefiScients angulaires , son interprétation géométrique sera plus claire en l'établissant entre l'un d'eux et le cœficient linéaire corr^ppndant, à Taidc des deuj; autres

SBCONDE PARTIB, CHÂPITRS SIXIÈME. S&9

oofiditioiis. Oq parviendra ainsi à reconnaître aisément que diaque projection verticale de la génératrice doit être tangente à la trace respective de la surface. L'ensemble de ces conditions étant réalisable, Ffiyperboloïde à une nappe est donc une surface réglée , engendrée par une droite qui glisse sur Tellipse borizootale , tandis que ses diverses projections touchent sans eesfie les traces correspondantes de l'hyperboloïde. Comme ces tangentes sont menées d'un point extérieur à l'égard des traces verticales, chaque projection horizontale de la génératrice peut se combiner avec deux projections verticales distinctes « ce qui indique* en chaque point de l'ellipse directrice, deux génératrices symétriquement placées^ et par suite un double système de génération rectiligne. Une génératrice quelconque de l'un des deux modes devant rencontrer toutes celles de l'autre, on pourrait donc diriger aussi le mouvement de la génératrice en l'assujettissant à glisser toujours sur trois droites fixes , conformément h une définition précédemment examinée.

Considérons , en second lieu , le paraboloïcte hyperbolique, ajc' — by:=z z, La même substitution y conduira aux trois conditions

am* = bn^y 2amaL — ^bn^ = 1, aot^ = 6^*,

dont la dernière indique encore que la génératrice doit glisser sur la trace horizontale de la surface , maintenant composée de deux droites , symétriquement disposées autour des axes coordonnés. On aperçoit , sans plus d'embarras , le sens géométrique de la première, qui, assignant une direction constante à la projection horizontale de la génératrice , assujettit celle-ci à rester parallèle au plan vertical passant par l'une ou l'autre de ces deux directrices horizontales ; ce qui annonce directement une double génération , où la génératrice rencontjre alternativement l'une de ces traces en demeurant parallèle au plan de Taolre. Tout se réduit donc à constater si la seconde conA-

556 GiOMimB DÂH6 L*BSPAGB.

lion pent être pareillement satisfaite , ce qui se verra nettement après qu'on l'aura établie entre m et a, comme dans le cas précédent , à l'aide des deux relations extrêmes. Car, ainsi devenue 4a/7ia=l, elle oblige aussi la projection verticale delà génératrice à toucher constamment la trace correspondante de la surface, dès lors rangée parmi les conoïdes. La double génération permettrait également de substituer à cette dernière condition une directrice rectiligne , arbitrairement choisie , pour chaque mode , entre les génératrices de l'autre.

En résultat d'une telle appréciation, chacune des deux classes de surfaces du second degré renferme donc un cas à génération rectiligne , où le lieu résulte toujours du mouvement d'une droite sur deux autres droites fixes, en achevant de le définir, tantôt par une troisième directrice analogue , tantôt par le parallélisme à un plan donné.

167. Pour caractériser suffisamment nos principes généraux sur la formation et l'appréciation des équations propres aux surfaces quelconques appartenant à des groupes naturels dont le type analytique n'est pas encore connu , il convient de les appliquer aussi, mais plus sommairement , au cas le plus simple après celui de la génération rectiligne , c'est-à-dire aux surfaces circulaires. Nous n'en avons considéré spécialanent qu'une seule famille, la plus usuelle de toutes, celle des corps ronds proprement <Uts. On pourrait d'abord , en généralisant la définition de ces surfaces , composer aisément une infinité d'autres familles circulaires, dont l'équation collective serait assignable ; car, d'après une première extension, on pourrait concevoir le cercle génératenr, toujours assujetti au parallélisme , mais sans que son plan fût perpendiculaire à la droite décrite par son centre; en second lieu, on pourrait surtout remplacer successivement cet axe rectiligne par un axe parabolique , hyperbdique , héliçoïdique , etc., ou de toute autre forme quelconque :