SECONDE PARTIE^ CHAPITRE SIXIÈME

chacune de ces noayelles hypothèses prodairait une famille distincte , non moins étendue qae celle d'où nous sommes partis. Mais, il serait superflu de s'arrêter ici à l'appréciation spé-^ ciale d'aucun de ces cas , puisque le type analytique en serait toujours facile à former, suivant une judicieuse application des règles fondamentales du chapitre premier. Je dois donc me borner, à ce sujet, à considérer des groupes naturels dont l'équation collectiye soit encore inconnue. Le plus simple et le plus intéressant résulte d'un système de génération déjà signalé précédemment, où un cercle invariable se meut perpendiculairement à la courbe quelconque décrite par son centre. Ces diverses surfaces circulaires , déjà introduites , en géométrie comparée, sous les noms équivalents de canaux^ de tuyaux^ ou de tiibes^ comprennent évidemment une infinité de familles proprement dites, selon que le lieu du centre est une courbe plane ou cylindrique , ou conique ,pu sphérique , etc. : or, c'est seulement dans le premier cas que l'analyse transcendante leur a assigné un certain type analytique , consistant en une relation entre les deux dérivées partielles de la variable dépendante , d'après une propriété caractéristique du plan tangent ; mais leur équation collective n'est jusqu'ici nullement établie, même alors, sous forme finie, à l'aide d'une fonction arbitraire. Une tellelacune n'empêche aucunement de former l'équation spéciale propre à chaque cas , quand l'axe du tuyau sera donné, en procédant d'après nos principes généraux, déjà appliqués aux surfacesrectilignes.il sufiSra, pour le faire convenablement sentir, d'ébaucher cette application envers l'un des exemples qui semblent d'abord les plus embarrassants , parmi ceux qui ofifrent quelque intérêt géométrique , en considérant le tuyau hélicoïdal. Supposons donc que le cercle générateur

558 aÉCMénifB bans l'espacb.

dont le rayon demeure constant , ait son centre toajoar§ plaeé

sur l'hélice a: = /» cos -r-z, ^ =msin -j-z^ à laquelle son plan

reste continuellement normal. Les considérations spéciale» ior diquées au n'' 1 58 condniront aisément à former les équatioBS de la tangente à cette courbe , d'après sa projection iiorizontale connue et son invariable inclinaison sur Taxe du cylindre : il sera donc facile d'en déduire Féquation du plan «»>mal. l>ès lors y en ayant d'ailleurs égard au lieu donné du centre , les équations de la génératrice deviendront finalement

2Tr/ . 2îr 2jr\

fx— wcos— 7j +(\r— '«sm-T-yj +(z — 7) =

Il ne reste plus qu'à éliminer 7 pour obtenir Téqùation de la surface cherchée. Quoique cette élimination soit très-laborieuse, et que le résultat en doive être fort compliqué, elle n'est pas néanmoins aussi embarrassante que parait rindiqucr la nature de ces équations , à la fois algébriques et transcendantes envers ce paramètre. Car, il suffit de substituer, dans la seconde , l'expression de jî — y donnée par la première , et Ton parvient aune équation purement trigonométrique en 7, qui pourrait fournir sin 7 ou COS7 en résolvant une équation bi-carrée, de manière à obtenir enfin l'équation demandée, que sa complication interdit d'ailleurs de citer ici.

168. Quant à reconnaître , en sens inverse , si une surface donnée/ (j:,^, z) = 0 comporte une génération circulaire, il importe d'apprécier d abord une simplification générale de la méthode fondamentale du n° 163 , pour tous les cas où la courbe génératrice doit être plane. On peut , en effet , remplacer alors; cette marche universelle par une appréciation adaptée à une telle hypothèse , et fondée sur une application

SEGONM PAMTm , GHAtlTtS «XIÈUE.

Mnvcmbfe it la règle destinée à âétermiaer les sedkms planes d'ane surface quelconque. Ainsi , on substituera , dans Féquation^proposée i les formules générales du n"" 145, afin de comparer le résultat F (x', y, <?, 6,c)=0 an type plan de la oourbe considérée. Cette comparaison indiquera de quelle manière il faut disposer des constantes <p , 6 , et c relatives au plaii de la section , pour qu'elle s'identifie avec cette ligne. Si une telle coïncidence peut être établie par des formules réelles de ces paramètres , il ne sera pas encore certain que la surface donnée comporte la génération proposée. 11 faudra , de plus , fue toutes ces conditions puissent être remplies sans que ces trois constantes soient entièrement déterminées , l'une d'elles devant rester arbitraire afin que le plan ne soit pas immobile , et puisse passer successivement aux divers points de la surface : à défaut de cette indétermination , la courbe considérée ne se placerait sur cette surface qu'en une situation Gxe , et dès lors ne pourrait l'engendrer. Le plus souvent , le paramètre linéaire c demeurera indéterminé , et les deux paramètres angulaires <p et 0 auront des valeurs assignables , soit constantes , soit an moins relatives à lui , de manière à définir suffisamment le moavasient du plan. Quand la disponibilité de ces deux paramètres aura permis d'identifier complètement l'équation F(x', y, «p , 6 , c) = 0 avec celle de la courbe plane proposée , la génération qu'il s'agissait d'apprécier sera dès lors constatée^ et en même temps le mode en sera découvert ^ en éliminant le paramètre arbitraire c entre les diverses relations de coïncidence, ainsi transformables en conditions finales du mouvement de cette génératrice.

Cette méthode générale est surtout commode à l'égard du cercle, vu l'extrême simplicité de son type plan. Appliquonsla à l'examen de la génération circulaire des surfaces du second degré, en considérant successiYemeut , comme envers leur gé-

ggO GÉOViniB DANS 1.*BSPAaS*

BérationrecUligne, oellfis qui ontun centre et celles qpi ea maiMiaent.^

Pour les premières , la sobstitoticm ci-dessus prescrite , dans l'équaticm éMr"+6j^+<?jf*=l, y donnera

0= ûCOS'ç

-f^sin'r

x"— 2tf sinf cosç cosB 4-2&sin<p cosfcoso

xy + a sin* ç cos" 0 /'+ + ftœs'f co8'6 -Ksin'* 6

-hSUîysinÔ.y+^N -i, y désignant ici la constante linéaire du plan. Afin que la section devienne drculaîre , il suffit des deux conditions ordinaires

{b'-a) sin <p cos f cos 0=0, et a cos'<f 4- b sin'cp = [a sitfcp + b cos» cos'6 + c sin^e^

qui tendent à déterminer les angles <p et 6, en laissant y arbitraire ; ce qui déjà autorise à penser que ces surfaces peuvent en eflet résulter du mouvement parallèle d'un cercle. Néanmoins , avant de prononcer définitivement , il faut examiner si ces deux conditions fournissent toujours des valeurs réelles. Or, dans la première , on doit d'abord écarter le facteur constant b — a , qui ordinairement n'est pas nul, à moins qae la surface ne soit de révolution , auquel cas l'appréciation actuelle deviendrait évidemment superflue. Ainsi, cette condition nç peut être satisfaite que par l'une des trois hypothèses <p=0, ^ s= 90«, § = 90**, auxquelles correspondent respectivement , d'après l'autre relation ,

tango

En considérant successivement toutes les suppositions possibles envers les coefficients a, b^ c, il est aisé de constata que ïm

SECONDE PA&TIE, GHAPITflfi SIUÈMB. 561

dé ces trois systèmes est toujours acceptable, tandis que les deux autres ne le sont jamais. Car, pour relUpsoSde , où ces coeflicients sont tous positifs , si on suppose , par exemfde , a<^b<:j: , il est oMr que le second système sera seul admissible , les deux extrêmes conduisant à des valeurs imaginaires. La double valeur de taog 6 démontre que les seclions circulaires 9 toujours parallèles à l'axe moyen de rcUipsoïde , comportent deux situations symétriques-envers le plan des ary. On découvrira la loi du mouvement du cercle générateur en cherdiant le lieu de son centre, dont les coordonnées mobiles a/ et y sont y d'après l'équation précédente ,

ce qui donne , envers les axes fixes , suivant les formules de transposition , les coordonnées définitives

Si Ton élimine 7 entre ces équations , on voit que le centre dé« crit une double ligne droite contenue dans le plan xz^ et .pas*

sant naturellcmeot à Forigine, a: = zh — V — , z - les deux

signes de son coefficient angulaire coexistent successivanent avec ceux de tang 6. L'ensemble de celte discussion nous apprend donc que tout ellipsoïde peut être engendré , de deux manières difierentes, par un cercle dont le centre parcourt une droite perpendiculaire à Taxe moyen de cette surface , mais oblique au.x deux autres , tandis que son plan se déplace parallèlement à ce même axe , en conservant une direction invariable , d^ailleurs oblique au lieu du centre , à moins que l'ellipsoïde ne soit de révolution , auquel cas les deux systèmes de génération circulaire coïncident nécessairement. On trou-

S6k GÉOMÉTRIE DAMS L'ESPAC£.

coordonnée dépendante, et sartoat ensuite par la considération prépondérante des surfaces enveloppes , d*après laquelle Monge a si heureusement condensé, autour d'un très- petit nombre d'éléments fort simples , tous les groupes géométriques imaginés jusqu'ici. Toutefois, j'espère que l'ébauche systématique que je viens d'achever fera sentir à tous les bons esprits l'éminente valeur d'une création trop peu comprise encore par la plupart des géomètres , et signalera l'importance des nouvelles voies philosophiques ainsi ouvertes au véritable esprit géométrique, qui , après avoir essentiellement épuisé la géométrie générale proprement dite, doit surtout poursuivre désormais la géométrie comparée, aujourd'hui si confusément conçue.