PREMIÈRE PARTIS, CHAPITRE DEUXIÈME

atodM «rbil^ire x\ L'ordonnée LQ ou % de cette cordé , dé* dmte de la comparaison des triangles ALQ et ÂM'F, sera ex«

IHriméepair^ y/ -, ,en sorte que

d'où il résulte, oonformément à la forme sa^Kisée ^ que y sera moiiidre qne z , tant que jc restera inférieur k£,

A cette définition primitive de la cissoïde , il convient de joindre ici, d'après Newton, une génération remarquable par aa mouvement continu. Elle consiste, après avoir {nrolongé le dismètre AB lfig.26) d'une longueur AF égale au rayon, à faire moavoir un angle droit, dont un côté est delà longueur AB, de telle manière que , son côte indéfini passant toujours en F , Feitrémité Lde son côté défini IL doive décrire la perpendiculare DOD' : alors le milieu M de ce côté décrit nécessairement la cissoïde. Car, l'égalité des triangles rectangles FLI etFLO, oà, par construction, FO=sIL, donne FI =^=£0^ ce qui con* doit à reconnaître l'égalité des triangles FEI et LEO , d'où il régTilte FE» LE, et, par suite AEsEM, puisque AF et ML soQt tous deux égaux au rayon du cercle. Dès lors , la droite AM devenant parallèle à FL » les triangles AGB et FIX) seront égSQx , d'où BG» OL, et, par suite, LG égal et parallde à OB OQ AO. On recoimalt ainsi l'égalité constante des triangles isocèles AON et GLM, et, en ccfiséquence, des longueurs AN et GM, ce qui équivaut à AM stt:€N, caractère primordial de la cissoïde.

Cette seconde définition pourrait fournir un utile exercice de géométrie analytique ^ qne je recoimnande aux eonanençants, quand ils seront asse2 avancés pour surmonter ks, difficultés qa'dle ofiire à la reprodnetion difeotn de l'équation reetiligne, . ce qoi deviendra suttsamment poiaiblo dès k fin du ehafiire suivant.

8& GÉOMÉTRIE P|.ANJE:«

â7. II serait maintenant saperfla.de prolonger davantage la série d'exemples préliminaires qae j'ai jugée indispensable pour rendre déjà convenablement familière la conception fondamentale de la géométrie analytique. Toute la suite de notre étude ofirira d'ailleurs beaucoup d'occasions naturelles d'en indiauer d'autres de plus en plus difficiles. Du reste, le lecteur peut ici les multiplier spontanément , avec d'autant moins d'embarras que \dL plupart des définitions ci -dessus considérées peuvent en suggérer aisément de nouvelles ; c'est ainsi , par exemple, que celles delà conchoïde et de la cissoîde pourraient être facilement généralisées en y substituant, pour l'une à b ligne droite, pour l'autre au cercle, telle courbe qu'on voudrait. Je crois seulement devoir encore signaler ici, mais sans aucun examen , quelques définitions propres à fournir d'utiles exercices.

On doit surtout remarquer la double suite de courbes que Descartes a tirées du cercle. Les unes , fermées , se forment d'abord en projetant sur un rayon quelconque la projection de sou extrémité sur un diamètre fixe ; en redoublant la même construction envers la courbe ainsi obtenue on en déduit une nouvelle, et pareillement à l'infini. Quant aux autres, qui 8<»it illimitées, on forme la première en prenant , sur chaque rayon, le point dont la projection sur le diamètre fixe appartient à la perpendiculaire menée à ce rayon de son extrémité ,- chacune des autres courbes de cette suite se déduit de la précédente selon le même mode graphique, indéfiniment applicable. Ces deux séries delignesfournissent des exemples intéressants d'équations rectilignes de tous les degrés pairs, les uns simplement, les autres doublement. En y substituant au cercle primitif une courbe quelconque^ on pourra saisir, en générai, le mode analytique invariable suivant lequel son équation polaire produira celles des deux suites oorreq[Kuidantes : la subordination des équations rectilignes en résultera facilement.