L^ÉTUDE ÉLÉMENTAIRE DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

Pi'éambule. ( 1 leçon. )

Appréciation exacte de la science mathématique, envisagée dans son ensemble , d'après le vrai but final de toute recberche mathématique.

Division fondamentale de la science mathématique en deux parties générales, Tune concrète, l'autre abstraite. Objet propre de chacune d'elles , et leur coordination naturelle •

Division nécessaire du calcul en deux branches essentielles , Tune a/gcbrique^ Vautre arithmétique. Objet caractéristique de Va/gèbre proprement dite.

Distinction générale entre la résolution analytique des équations et leur résolution numérique. Caractère imparfait et équivoque de celleci, pourtant seule possible le plus souvent.

Objet propre de ce cours et son plan général.

Théorie fondamentale des équations algébriques* ( 7 leçons.)

i' Composition des équations. État général de la question. Réduction préalable de toute équation algébrique à la forme rationnelle et entière.

Double démonstration , a priori et à posteriori , du principe fondamental. Son vrai degré d'extension.

Décomposition , nécessairement unique , de toute fonction d'un degré (quelconque en facteurs du ))remier.

Décomposition , toujours multiple , qui en résulte en f.icteurs du second degré , ou d'uii degré supérieur.

Détermination directe , en général moins convenable , de ces derniers facteurs.

Caractère essentiel des fonctions à plusieurs variables de n'être pas ordinairement décomposabics eh facteurs analogues d'un degré moindre. Nécessité géométrique d'uue telle incompatibilité. Son ex-

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plication analytique d*aprèf la mesure de Tordre de généralité de la formule complète da oegré m k denx Tariables par le nombre des constantes arbitraires qu'elle contient. Réaction d'une telle apprécia* tion sur le cas primitif des fonctions a nne seule Tariable.

Relations générales entre les coefficients d*nne équation et ses racines , soit d'après sa décomposition en facteurs élémentaires, soit d'après la formation directe d'une équation susceptible de racine» don* nées.

Réflexions générales sur la manière dont ces lois concilient la réalité et la rationalité des coefficients avec l'imaginarité et Firrationalité des racines.

Usage général de ces lois , ou de la décomposition élémentaire qui les a fournies, pour traduire entre les coefficients toute relation donnée entre les racines. Divers exemples caractéristiques à ce sujet.

Théorème fondamental de Descartes sur les relations naturelles entre le mode de succession des signes des coefficients et lei signes des racines. Indications qu'il fournit souvent sur les racines imaginaires dans les équations incomplètes ^ et même dans les autres.

Principe relatif aux racines communes à deux équations données. Simplification correspondante qu'éprouve alors nécessairement leur résolution respective.

Usage général de ce principe pour simplifier la recherche des relations entre les coefficients d'après celles des racines, surtout quant aux relations binaires. Divers exemples de cette application, même envers des relations plus composées.

Examen spécial du cas de la réciprocité des racines. Théorie des équations réciproques. Abaissement nécessaire de leur degré.

2^ Transformation des équations. Position exacte de la question générale. Distinction nécessaire des deux sortes de transformations, introduites , les unes par Viète , les autres par Lagrange.

i'« classe , où chaque racine transformée ne dépend que d*une seule racine primitive. Mode général de formation de l'équation cherchée.

Application au cas où toutes les racines sont également augmentées à Tolonté- Suppression facultative d'un coefficient quelconque , et surtout du second.

Application au cas où les racines croissent proportionnellement. Appréciation des modifications facultatives qui en résultent.

Application au cas où les racines sont élevées à une même puissance , entière on fractionnaire. Appréciation d*un tel changement.

Application au cas de l'inversion des racines et à celui du changement de signe.

s* classe , où chaque racine transformée dépend de plusieurs racines primitives. Examen général des combinaisons binaires Mode de formation de l'équation cherchée; son degré naturel. Son épuration préalable en écartant les combinaisons afiectées de répétition. Propriétés nécessaires relatives à la transposition mutuelle des racines primitives dans chaque combinaison. Abaissement final du degré de la transformée, après lequel elle doit encore comporter des conditions caractéristiques, soit quant au degré, soit envers les coefficients. Extension générale de ces diverses notions et opérations à des combinaisons plus que binaires.

Application successive de l'ensemble de ces considérations à la tbéo-

rie généràlede l'equatioa anx sommes , de Téqnatioa ans: différences, de l'équation aux prodbîts, de Téquation aux quotients, et de celle où les sommes sont ajoutées à un multiple des produits. Appréciation des indications Jionvelles que Tétat de chaque transformée peut fournir sur les racines primitives , et surtout de celles que suggère le mode de succession des signes dans l'équation aux carrés des différences.

3o Théorie des fonctions ^métrigues. Position générale de la question. Sa restriction naturelle aux fonctions symétriques rationnelles. Leur division générale en simples et multiples.

Théorème préliminaire sur la composition de la fonction dérivée d'après les facteurs élémentaires de la fonction primitive.

Lois fondamentales qu'il fournit pour déduire des coefficients d'une équation les valeurs des sommes de puissances semblables , entières et positives , de toutes ses racines , jusqu'au degré de l'équation exclusivement. Indication de l'origine historique de ces lois remarquables.

Relation générale supplémentaire pour passer graduellement de ces puissances à toutes les suivantes.

Moyen d'étendre ainsi ces lois , ou , ce qui est préférable » par une transformation préalable , aux puissances négatives , mais entières.

Loi générale de réduction des fonctions symétriques doubles aux fonctions simples. Extension graduelle de cette loi aux autres degrés de multiplicité.

Remarque générale sur le nombre de coefficients qui affectent la valeur de chaque fonction symétrique , simple ou multiple.

Application nécessaire de la théorie des fonctions symétriques à la formation effective de toutes les transformées de seconde classe. Mode le plus convenable d'un tel calcul. Examen spécial des diverses transformations précédemment considérées.

Théorie de réllmination% {2lepont.)

Position exacte de la question actuelle. Sa restriction générale aux équations algébriques , rationnelles et entières.

1^ méthode f fondée sur la recherche du commun diviseur. Son appréciation générale d'après le principe des racines communes.

Examen plus détaillé de l'enchaînement graduel résulté des divisions consécutives.

Influence des modifications indispensables apportées aux divers dividendes sur la composition deTéquation finale. Altération possible» mais incertaine, de cette équation. Appréciation générale d'une telle perturbation comme devant être, quoi qu'on fasse, plus ou moins inhérente à la nature de cette première méthode.

Examen des deux cas exceptionnels, relatifs à l'incompatibilité et à l'indétermination.

Faculté générale que procure spontanément cette première méthode pour composer à volonté des équations susceptibles de conduire à une équation finale donnée.

2me Méthode , fondée sur l'introduction de fonctions algébriques indéterminées comme multiplicateurs des deux équations primitives. Détermination des coefficients de ces deux facteurs auziliiÛFif pour

rentière ëlnnination de rinconnue considérée. Appréciation générale de cette seconde' méthode. • '

3ne Méthode, fondëd snr la théorie des fonction« svmétriqnes. Son appréciation oompartftive. Théorème importent qo^éMe (bamit'ftp<n]h tanément sur le degré mazlAmm de ré<|^lon finale. Interprétation gëométrique'deeetteloi. • ' -: • . ^ -

Théorie des racines égales. ( i leçon. )

Objet propre de cette théorie. Introduction naturelle des fonctions dérivées dans nnfe telle recherche. • • •» e p.. .

Principe fondamental snr l'existence et la composition du dirisenr cointnun entre ta fonctfon donnée et sa dériTée. ' -'

' Syâtéiine de décomposition graduelle qui résulte de Téquation proposée en diverses éqnàtidns partielles , dontchacilne'es(fitfBeetëe| un seul degré de multiplicité. Mode limité à ta énppressiob'da totfte répétition , sans distinction de multiplicité.

Application de cette théorie slpéciïilé à la recherche des conditions d'égalité des racines. Examen particulier' dés defix éas èxtrétaiss, ûé moindre ou plus grande multiplicité possible. Inconréhiétitl pro^^retà cette méthode envers la' plupart dea cas Intermédiaires. 'Sôliilidli dî^ recte, en général préférable , de cet ordre de questions. - - . •♦

Relation, générale et nécessaire entre 1c$s ebàdit«Ons d'égalité et celles de réalité. Introduction naturelle du principe desfacine^ égalée dans la théorie fondamentale des knaximà ou McHmà. '

Résolution numérique des équations algébriques. ( 7 leçons,)

1** Limites générales des racines réelles. Vraie nature et destination principale de cette recherche préliminaire. Sa décomposition' naturelle en quatre cas, aisément réductibles à un seul.

Régla de Maclaurin , pour étaluei^ nne limite supérieure des racines positives de toute équation algébrique.

Méthode de^fewton ponrobteuir souvent des limites non formulées, knais plus favorables que la précédente.

âtahnition d*une liimite inférieure des racines positives , et ensuite des deux limités propl^ aux racines négatives. ' ' ^ <

Réflexions générales sur l'imperfection radicale de ces diverses évaluations normales.

5" Évaluation des racines commensurahles. Principe fondamental sur la natute des' racines fractionnaires que comporté toute équation à coefficients entiers: 'ftéductiongénérale qui en' résulte de la recherche des racines fractionnaires à celle des racines entières.

Restriction nécessaire des racines entières parmi les diviseurs du dernier' terme.' Système d'épreuves graduelles, Imaginé par Glaîraut, pour discerner facilement ceux de ces diviseurs qui conviennent à l'équation proposée. Essais prëliminaires propres à écarter d'avance beaucoup de divi^urs inutiles. >

Méthode pour déterminer exactement les racines incommensura* blés du second degt^.'

^ ÈPdluatiôn des ^ racines incommensurables. Exposition de la question : état préalable de l'équation. ' = . xtJ.x

Démonstration analytique et géométrique du principe fondamental des «^Institutions. Sa véritable étendtae«

Complément indispensable de ce principe par Texamen de toutes les comparaisons relatires aux deux subslitutiooB* Yériiîçftiiefflt #pédale 4'un tel examen envers les équations algébriques.

Indications générales que fournit ce principe sur l'existenco nécessaire de racines réelles, suivant que le degré de l'équation est impair ou pair.

. Distinction fondam^ale enUe la séparation des racines et leur évaluation.

Méthode de Lagrange pour la séparation préalable des racines, d'après l'équation aux carrés des différences. Son. «ppvéoiatioBi générale.

Méthode deFourier pour la séparation des racines, d'après leur énu<mération préalable. Observation fondamentale qui sert de basera eette méthode , et où rentre spontanément la remarque originale de Rolle.

Aperçu général de la grande théorie de Fourier pour déterminer d'avancé :1^ nombre des raeines r^eUbs ecnnpgpises dhns un intervalle donné. Réduction spontanée du théorème de Descartes à l'ensemble ^e ce^te théorie.

Modification spéciale apportée par M. Sturm à cette théorie générale pour le seul cas des équations algébriques. Appréeiation finale d*un tel amendement.

Usage de ce corollaire envers les équations à coefficients indéterminés, pour y découvrir les conditions relatives à un nombre donàé de racines réelles ou imaginaires.

Méthode d approximation ébauchée par Newton et' constituée par Fourier. Àppréciatiou géométrique d'une telle méthode., et des conditions indispensables à son application régulière.

Méthode d'approximation de Lagrange. Sa comparaison à la précédente., Cas de {^ périodicité.

i(o Théorie des racines imaginaires. Considération originale de Foncenex sur la démonstration générale de la décomposition nécessaire de toute fonction algébrique en facteurs réels du second degré , d'où résulte la forme coQstante des racines imaginaires. Modification apportée par Laplace à cette première démonstration, d'après des motifs qjai pourraient- être es sentieUement écartés. , Méthode générale, pour vameber, l'évaluation des racines imaginaires à celle des racines réelles « soit d'après leur forme nécessaire, soit par suite de la détermination équival^oto des faetenrs» réds du second degré. Appréciation et comparaison de ces deux modes. -

Résolution algébrique des équations des 3* et ft* degrés. (1 leçon.)

Méthodes pour ramener la résolution du quatrième degré à celle du troisième.

Résolution générale des équations du troisième degré. Extension et discussion de la formule ôbteniie.

* Examen spécial du cas irrédueiible. Transformation correspondante de la formule.

Procédé spécial de Viète pour la résolution directe de ce cas d'après l'équation de la trisecftion de l'angle. . -

RésolntlOD générale des équidoiMi liiiiMMs. ( t Ispoie.)

Applioatioii goiérale da thëorèine de Mm^re a le réflolntioii de tonte éjiomtioii biaome. Expresnon géDérale des radnei imagiiuûree de ronîté : leur nombra et leur conjagaison.

Sabordination naturelle de cei dÎTenet racines comme des pn»sances les unes des antres.

Comparaison génMe des deox cas retatifs an signe dn terme connn.

Décomposition générale des fonctions binômes en facteurs réela da second degré.

Appréciation des classes d*éqiiations dont la résolution algébricrae pent {graduellement résulter de la combinaison de la théorie des équations binômes arec Tensemble des noUons antériearcs.

DéTeloppeoMttt des fonctioos en sérict. (a leçons.)

Extension de la formule du binôme aux exposants firaeti<mnaires on négatifs. Vice de la démoDstration d'Euler à ce sujet.

Esprit général de la méthode des coefficients indéterminés ponr les transformations eu séries.

Dérelof^ment de a' selon les puissances de ». Détermination , •oit en série , soit sons forme finie , du côtoient que la méthode laisse a tronrer.

Série pour dérelopper log ( i + *) selon les puissances de x. Indication incidente de I inTersion des séries.

Séries relatïTes au déreloppement dn sinns et dn cosinus sairant les puissances de l'arc.

Série inverse ponr développer Tare selon les puissances de sa tan« gente. Nouvelle forme que prend alors la méthode.

Considérations fondamentales sur la distinction nécessaire entre 1 usage analytique et Tnsage numérique des séries. Inconvénients radîeanx qu'entraîne aujourd'hui la confusion trop fréquente de ces deux appréciations.

Usage analytique très-remaronable fait par Lagrange de la série exponenUelle ponr trouver la loi générale dn développement des pmssances d'nn polynôme quelconque. Détermination générale dn nombre de termes dn développement , d'âpre le problème des répartitions.

Usage analytique encore plus important de l'ensemble dea quatre sénés précédentes pour établir, sous les deux formes opposées, le rapprochement fondamental entre les deux couples élémenteires de fonctions transcendantes.

Application générale de cette relation capitale au calcul des imaginaires.

Considérations générales sur l'usage numérique des séries, et sur les conditions de leur convergence, ainsi qne sur la mesure des approximations qu'elles fournissent.

Application successive de ces principes aux séries précédentes , soit pour la construction des tables loganthmiques et des Ubles trigono-:

métrîqnet, loit pour 1 évaluation emnmode dn rapport de la cîroon* lerence au diamètre.

Sommation des suites. ( i leçon. )

Appréciation générale de la nature et derimportance d*un tel ordre de recherches.

Application naturelle de la méthode des coefficients indéterminés à la sommation des suites dont le terme général est donné. Conditions indispensables au succès de cette méthode, ainsi restreinte au cas des fonctions entières.

Emploi de cette méthode pour la sommation successive , d'une part des carrés , cubes , etc. , des nombres naturels , d'une autre part des nomhrea figurés, soit triangulaires, soit pyramidaux, etc. Coïncidence spontanée de ces deux sortes de sommations, dont chacune peut suppléer à l'autre.

Sommation spéciale des nombres figurés, d'un ordre quelconque , d'après le triangle ou carré arithmétique.