L'ÉTUDE DE L'ÂLGËBRE SUPÉRIEURE

Considérations fondamentales. {hleçons,)

Destination générale de Tanalyse transcendante. Nécessité , pour Tapprécier conrenablement , d'approfondir la notion fondamentale ^équation , d'après la distinction directe des fonctions en abstraites et concrètes.

Revue méthodique des cinq couples d'éléments analytiques quicon^ posent les fonctions abstraites actuelles. Appréciation spéciale du dernier couple. Définition exacte de ViàéQ d'équation. Appréciation spontanée des difficultés générales que présente l'établissement des équations.

Aptitude fondamentale de l'analyse transcendante à diminuer radicalement cette difficulté dans les recherches compliquées. Caractère de cette analyse, en la distinguant soigneusement de la méthode transcendante , qui remonte essentiellement à Archimède.

Nécessité de considérer simultanément , dans l'état provisoire où se trouve encore la philosophie mathématique , les trois conceptions principales propres à l'ensemble de l'analyse transcendante. Impossibilité de se borner aujourd'hui à une seule de ces conceptions équivalentes.

1° Concept ioh de Leibnitz y d'où méthode infinitésimale. CATSitihit essentiel de cette conception. Définition des différentielles. Appréciation des divers ordres d'infiniment petits. Principe fondamental de la méthode infinitésimale.

Aptitude nécessaire d'un tel principe à faciliter beaucoup la formation des équations. Généralité supérieure des équations différentielles.

Exemples des relations diflërentielles propres à la théorie des tangentes, a celle des quadratures, et à celle des rectifications.

iMlMttfeetiott logique é^ !« .méthode infinit^RiMle. JtttftificaHon dir«ot6 de 8ôn principe fondameiiUil par la doctrine de Gamot sut la eottipeâsatioa nécesMire dei erreurs. Étrangeté philosophique d'une telle justification.

i^ Coheéptwh de Néwion ^ tToà métkùde deé limites ou dei fluxions. Exposition de l'esprit général de cette méthode sous ces deux formes ëqtiiirftlentest Prineipo fS^damental des reisoorcei nécessaires qu'elle procure» Application à divers exemples.

Rlguettr logique ë'iiiie telle méthode. Sa moindre aptitude aux recherches un peu difficiles.

3® Çàncepiion'de Laffrtme* , ^oà méthode des dértpées, Explication A^ndânlentale de cette mAhode et der notations correspondantes. EjtemUe dei reneurces ()u elle peut offrir. Son aptitude beaucoup moindre aux questions un peu difficiles.

4<> Comparaisiû^n des trois eoneeptions. Identité fondamentale du coefficient différentiel , de la fluxion et de la dérirée. Arantages et inconrénients respectifs des trois méthodes et de leurs notations. Nécessité d^ Im ei^i^Qj^^^pcuiTenumeot sansi'a9treindr#ie««bliiiyffni^nt à aucune. Grayes dangers , soit logiques , soit scientifiques , inhérents IMÛound'Jiui à la fusion vicieuse tentée entre elles par l'irrationnel mélange des notations.

'. V ÏXivision générale de Vanaljrse iranseendanie., Distinctiop, fondamentale entre les deux calculs opposés qui la composent. Classifica- ^ioi^i^norale dei ^ues^io^s correspondantes , suivant que , par leur nature , elles n'exigent que le calcul différentiel « ou qu'elles dépendant seulement du^calci^l.intégral , ou enfin (qu'elles prescrivent l'emploi successif de tous deux. Exemple propre a caractériser chacun de cet trois cas généraux. . . .

.. ijxposition raisonnée du plan général propre à ce cours de calcul différentiel, résumé par le tableau suivant :

il. Des fonctions j i» A une seule variable, explicîles. . . ) 30 A plusieurs variables indépendantes, implicites. . . J20 Simultanées. Môme subdivision. 3. Changement de variable indépendante.

i (1. Transformations en séries.

1 t. L'analyse. \ 2. jhéotie des maxima et minima. I (3. Évaluation des symboles indéterminés.

20 Appliea lions priih 1 /a. Théorie des tangentes.

L cipales de ce cal- i \ 3. Théorie de la courbure des courbes planes.

cul à 12. La géomé-; 3. Théorie des courbes à double courbure.

trie j 4. Théorie des plans tangents , et classement

f des surfaces.

\ 5. Théorie de la courbure des surfaces.

DilTérentiation des fonctions explicites à une seule yariable. (2 leçom,)

DifférentialioDS des sommes et différences. Élimination spontanée des constantes.

Différentiation des produits. Extension de la loi à un nombre quelconque de facteurs.

Différentiation des quotients , soit d'après celle des produits , soit directement.

Diflërentiation d«t piii«*iioei propMnaiit dite , loit âir^clemenl » soit diaprés celle des produits. K^teosioa de U loi à tons exposants.

Diffëreotiation des exponentielles. Dooble démonfkratioa. Cas spécial de rexponeotielle népérienne.

Difiereptiation des logarithmes, soit directement, soit d*après les exponentielles.

Diflërentiation des fonctions trigonométriqoes et des fonctions circulaires.

Principe subsidiaire sur la difierentiation générale des fonctions dé fonction. ,

Exemples de la différentiation des fonctions composées.

Différentiations successives. Notion fondamentale relatÎTC à la variable indépendante. Comparaison générale des différenUelJes de tous les ordres aux dérivées ou aux fluxions correspondantes.

Différentielles successives des diverses fonctions simples. Cas de re* production des fonctions par la différentiation.

Différentiation des fonctions explicites à plosieun variables. (2 Ufont. )

Exposition précise de la question générale. Distinction fondamentale entre les différentielles partielles et la différentielle totale.

Supériorité naturelle de la conception de Leibnits sur celles de Newton et de Lagrange, quant à la pluralité des variables. Artifice général pour adapter néanmoins à ce cas la méthode des fluxions et celle des dérivées.

Notations différentielles propres aux fonctions de plusieurs variables.

Principe fondamental sur la loi de formation de la différentielle totale d'après les différentielles partielles. Démonstration de ce principe , d'abord par la méthode infinitésimale, et ensuite par les deux autres.

Nécessité de ce principe pour différenlier, en quelques cas, les fonctions même d*une seule variable.

Théorème général sur l'inversion des différentiations successives. Son extension totale aux différentielles d'un ordre quelconque relatives à un nombre quelconque de variables.

Développement de la différentielle totale du second ordre , et de tout autre , d'une fonction à deux variables. Extension de l'hypoilièse fondamentale sur le mode d'accroissement de toute variable indépen* dante. Loi générale d'un tel développement, soit à posteriori , soit surtout à priori.

Extension de cette loi à un nombre quelconque de variables. Formule de la multiplicité des dérivées partielles correspondantes.

Différentiation des fonctions implicites. ( i leçon.)

Appréciation générale de la question. Sa division nécessaire en deux cas, où l'implicite présente divers degrés.

i«'c/ix, relatif aux fonctions isolées, en n*y supposant d'abocd qu'une seule variable. Principe fondamental qui ramène leur différentiation à celle des fonctions explicites à deux variabjcs. Formule

pour le premier ordre. Ëxteniion naturelle de ce principe à un ordre quelconque;. Marche préférable envers les différentiations successÎTes pour les déduire graduellement de la première.

Extension directe. du principe général aux fonctions de plusieurs va riables. Appréciation de cette pluralité comme ne constituant, au fond, aucune nouvelle difficulté propre aux dijOTérentiations implicites.

3« cas, relatif aux fonctions simultanées, à une seule variable ou à plusieurs. Dernière extension spontanée du même principe fOndamen* tal , mais avec une complication rapidement croissante des formules de diiférentiation suivant le nombre des fonctions mêlées.

Transformation des coefiBcients différentiels, d'après le changement de variable

indépendante. ( 1 leçon, )

Appréciation générale de l'objet propre et de la destination essentielle de cette théorie complémentaire , sans laquelle les lois de diffé- ^ntiati on seraient souvent insuffisantes. Sa division naturelle en deux cas généraux.

!• Une seule variable. Formule fondamentale pour la transformation de la première dérivée. Appréciation générale du mode néces* saire de définition de chaque changement de variable.

Formules de transformation pour les ordres supérieurs , obtenues , soit par l'extension directe du même principe , soit , plus simplement, comme conséquences de la loi relative au premier ordre.

Application à divers exemples , et surtout à l'inversion des variables, à la substitution de Varc d'une courbe plane au lieu de son abscisse , enfin au passage différentiel des coordonnées rectilignes aux coordonnées polaires.

^ 2^ Plusieurs variables. Difiërence essentielle de ce cas avec le précédent. Extension générale du principe fondamental à ce genre plus compliqué de transformations différentielles.

Formules pour le premier ordre à l'égard des fonctions à deux variables. Marche à suivre envers les ordres supérieurs , quel que soit le nombre des variables.

Application au passage différentiel des coordonnées rectilignes aux coordonnées polaires dans l'espace.