CHAPITRE III

Théories préliminairefl relatiïes •* lo à la ligne droite ; 20 è la transposition

des axes.

28. Pour compléter cette indispensable introduction à l'ensemble de la géométrie analytique , il ne nous reste plus qu'à exposer deux théories préliminaires extrêmement usuelles, sans lesquelles l'explication des méthodes générales qui doivent constituer, notre principal objet se trouverait fréquemment interrompue par des considérations incidentes, dont la reproduction superflue y deviendrait bientôt aussi gênante que fastidieuse.

Théorie analytique de la ligne droite. Elle consiste essentiellement à trouver les deux coefiicients, linéaire et angulaire,

86 OéOMlsniE PLANS.

propres à Féquation de chaque droite , quiiiid , au Heu d'être immédiatenient donnés , ila doiyent résulter de tout autre mode élémentaire relatif à la détermination de la droite cherchée , d'après des conditions purement rectilignes. Judicieusement réduite à ce qui concerne sa vraie destination pour l'ensemble de la géométrie analytique, cette théorie préliminaire se compose seulement de trois questions essentielles , dont les combinaisons pourraient ensuite se multiplier beaucoup, maïs sans offrir presque jamais aucune utilité réelle.

l"" Équation d'une droite passant par deux points donnés. Spécialement envisagée , cette question ne constitue , au fond , qu'un simple problème de trigonométrie , où il s'agit , d'après les distances de deux points M' et M" ( fig* 27) aux deux axes OX et OY, d'obtenir Fangle « formé avec OX par la droite qui les joint , et la distance b où elle coupe OY. En nou9 bornant , pour caractériser une telle solution , à y considérer ici le coefficient angulaire, qui représente tang ex, si les axes sont rec-

tangulaires, le triangle M'iWN Texprimera aussitôt par —^^ — -^;

formule qui convient également au cas des axes obliques , en considérant la signification trigonométrique que prend al(»rs ce coefficient.

Mais, sans insister davantage sur ce mode spécial, il faut surtout envisager la question proposée comme un simple cas particulier du problème général qui consiste à faire passer une ligne d'espèce déterminée par un nombre suffisant de points donnés. Quoique cette recherche ne doive pas encore être formellement examinée , il convient néanmoins de sentir déjà que la marche analytique qui va maintenant l'accomplir envers la seule ligne droite , comporterait nécessairement la même efficacité si , au lieu de l'appliquer à l'équation ^ =:aj: + 6, on considérait toute antre équation générale.

PREMIÈRE PARTIBi GHAPITEK TROISIÈME. 9t

€e principe évident oomiate en ce que , lorsqu'une ligne pesée en un point donné, les constentes arbitraires de son éqaatton d<MTent satisfaire à la relation fournie par la substita* lion des coordonnées propres à ce point. Ainsi , la condition relative au powt M' aisiqettirait déjà les constantes inconnues a et & à la relation

qui , insnflSsante à les déterminer, permet de les subordonner VunekTautre. On y rapporte communément le coeiBcient linéaire au coefficient angulaire, demeuré seul arbitraire dans réquation de la droite, qui devient alors

formule très-usuelle, et fort expressive , qu'il impwte de retenir. En considérant maintenant le second point M'', on aura, antre a et A, une seconde relation y as ax^'^b^ qui , combinée atec la précédente , les déterminera complètement , suivant la

natare géométifique du problème. On trouve ainsi a s= "i--— ^.

Le coefficient angulaire d'une droite passant par deux points donnés est donc égal au rapport entre la différence de leurs ordonnées et celle de leurs abscisses, coiiformément à la solution trigoiiométrique. Il en résulte l'équation

dont la seule composition indique clairement le passage de la droite aux deux points. Dans le cas particulier où ces deux points seraient simplement ses intersections avec les deux axes, on aurait, par exemple, j/=:a,y=0, et j:"=0, y==6; Tèqnation prendrait la Terme

qa'il peut être utile de remarquer.

88 «ÉOMÉTRIB PLANE.

Un troMème pdnt étaat évidemment saperiu , son introdaction ferait nattre une relation emiditionnelle entre seâ coordonnées al'\y'\ etcellesdesdeux pruniers, afin que l'éqnatiOD déterminée d'après ceux-ci put lai convenir aussi. On aurait ainsi , pour chaque nouveau point, la condition analytique

ou , en langue vulgaire , pour que plusieurs points soient en ligne droite il faut que les différences de leurs ordonnées soient proportionnelles à celles de leurs abscisses.

2» Jngle de deux droites^ d'après leurs équcUions. Gomme cette seconde question est, par sa nature, particnli^re à la ligne droite , elle ne saurait comporter aucune solution vraiment analytique , comparable à la précédente. En n'y voyant donc qu'un simple problème de trigonométrie, on peut d'abord le résoudre aisément dans le cas, seal usuel, des axes rectangulaires, d'après ce principe évident que l'angle de deux droites équivaut à la différence de leurs inclinaisons snr une > ligne commune. Alors , en effet , les coefficients angulaires propres aux deux équations données ,

représentant les tangentes des angles « et od {fig* 28), cette relation générale v = <% — « , donne aussitôt

Si les deux droites doivent être rectangulaires , tang v devra

devenir infinie, ce qui exige la relation très-usuelle aa'4-l=0,

d'où a! s= : en sorte que. dans ce cas. les deux coeffi-

cients angulaires sont réciproques et de signe contraire ; con- ^ formément à l'évidente indication spéciale de la figure , m