PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME

l'an des angles devient ainsi le sapplément do compUdient de l'autre.

Avec des axes obliques , on n'aurait plus lang a ss <x , mais

tangot = '-| (n° 17), et le résultat prendrait la forme

plos compliquée

{a — a') sin Q

* "^ "^ l4-a/ï'+(a+a')cos0-'

dont il faut éviter de se surcharger la mémcrire , comme n'offrant aucune utilité réelle.

3° Intersection de deux droites données. Ce problème consistant à trouver, d'après les constantes propres aux équations de deux droites données ,

les coordonnées de leur point commun , on peut certainement l'envisager comme une question trigonomètrique , relative k la résolution de la figure rectiligne qui résulte de l'assemblage spontané des diverses grandeurs connues. Mais, outre cette voie spédale, quMl suflBt ici dindiquer, cette troisième question comporte évidemment , comme la première , une entière généralisation envers des lignes quelconques, et c'est seulemeiit ainsi que la recherche devient vraiment analytique. Les coordonnées des points tf intersection se distinguant algébriquement de celles des points particuliers de chaque lieu par leur aptitade exclusive à vérifier simultanément les deux équations , leur détermination résulte donc , en général , de l'opération analytique qui assigne les solutions communes à ces équations simultanées. Dans le cas actuel , ce travail algébrique ne présente aucune difficulté, et fournît

A'— ^ ab'—a'b

90 GtoMÉTEIB PLANE.

pour les coordonnées da point diercbé. Mais, aa liea de rete* nir CCS formules , il sera plus conunode ordinairement d'en reproduire l'équivalent envers chaque système de droites i le principe est seul important. On conçoit, en outre, que cette opération conduira à formuler la condition analytique du con* cours de trois droites en un même point, puisqu'il faudra alors exprimer que les coordimnées du point d'intersection de deux d'entre elles conviennent à la troisième.

Tels sont les seuls éléments essentiels qu'il faille admettre dans la théorie analytique de la ligne droite , communément surchargée de questions superflues, qui n'offrent qu'une combinaison, rarement utile, de ces trois problèmes fondamentaux. J'y joindrai seulemept celle de ces questions composées» qui , soit comme type, soit à raison de son utilité ultérieure , mérite une soigneuse appréciation.

V Distance d'un point donné à une droite donnée. Cette déter* mination exige évidemment que Ton forme l'équation de la perpendiculaire indéfinie menée du point M' {fig, 28) , dont les coordonnées sont jc',y, à la droite NA, ayant pour équation y == ax-\-fif ei qu'on en déduise les coordonnées de leur intersection K : la formule des distances conduira dès lors à Tex* pression de la longueur cherchée M'K ou p. D'après la première de nos trois questions élémentaires, l'équation de la droite M'K , en tant que passant par VL\ est

En tant que perpendiculaire à la droite donnée, on a , suivant

le second problème , a' = . Si dès lors , conformément à la

troisième questioti , on calcule , sans aucun vain artifice aigé* brique, les coordonnées du point de renomtreN, on en déduira finalement, pour la distance demandée , la formule, utile à retenir.

PBEHIÈRE FARfIBi ÇBAHnE TROISIÈME. 91

La solution trigonométrique y conduirait directement avec facilité, d'après le triangle rectangle NKM' , où Tangle N est égala celui dont a est la tangente; car, l'hypoténuse de ce triangle peut être regardée comme la différence entre l'ordonnée y du point donné et l'ordonnée correspondante ax^-^-b de la droite proposée.

Outre cette question composée, seule importante à men* tionner, le lecteur peut s'exercer utilement sur quelques autres combinaisons plus ou moins complexes. Je citerai surtout la formule remarquable qui exprime l'aire d'un triangle d'après les coordonnées rectilignes de ses sommets. En partant de la règle géométrique ordinaire, on pourra déduire de ces coordonnées, par des calculs peu compliqués si les axes sont rectangulaires, la base et la hauteur du triangle, d'où résultera finalement

€onf(Mniiément à rindioation géométrique directe, en concevant le triaogte M'M"M''' {fig. 29) comme la somme des deux trâpèses M'FM' F' et M"F'M'"F" diminuée da Irapèro M'FM'P'". Les commençants pourront aussi s'exercer , avec quelque utilité, sur la tl^éorie analytique de la ligne droite , en y vérifiant algébriqoement plusieurs théorèmes , déjà vidgaires géométriquement , sur les coavOTgences des trois droites qui peuvent résulta des trois c6tés d'un triangle de diverses manières : l» comme perpendiculaires menées des sommets opposés ; S» (xn&me joignant leurs milieux à ces sommets j â*" comme leurs perpendiculaires en' ces milieux ; V* enfin , comme bissectrices des trois angles. Tout Je mérite de ces exercices élémentaires Gonsist^a dans l'heureux choix des axes, qui simplifiera beaucoup des eakuls autrement, fastidieux. Au reste, après

92 OBOMnenaE plakc.

avoir calculé, envers des axes oommunsy les ooordoimées, en général fort distinctes, de ces quatre intersections , on pourra compléter cette opération en reconnaissant ainsi que trois d'entre elles sont toujours en ligne droite j proposition géométrique dont la démonstration directe serait embarrassante, mais qui d'ailleurs est fort oiseuse.

29. Théorie de la transposition des axes. Cette seconde théorie préliminaire, plus importante que la précédente , a pour objet propre de déterminer les modifications qpe comporte l'équation rectiligne d'une figure quelconque par suite du changement des axes correspondants. Il suflBt, à cet effet, d'exprimer, en général, les coordonnées d'un point arbitraire relativement aux anciens axes d'après ses coordonnées par rapport aux nouveaux axes. La subtitution ultérieure de ces formules invariables dans chaque équation considérée y spécifiera l'influence analytique d'une telle transposition , qui , en elle-même , se rapporte à un point isolé, à quelque ligne qu'il puisse ensuite appartenir. Or, l'établissement de ces formules ne constitue directement qn^na «impie problème trigonométrique, dont la solution n'offre aucune diflBcnlté essentielle. Mais, avant de s'en occuper, il im* porte de caractériser nettement la double destination générale de cette théorie indispensaUe , très-imparfaitement appréciée d'ordinaire. Il faut , pour cela, considérer séparément ses deux relations nécessaires avecla conception fondamentale delà géométrie analytique, soit en ce qui concerne la comparaison des lignes d'après leurs équations, soit quant à la simplification algébrique de chaque équation isolée.

Sous le premier aspect , la théorie de la transposition des axes est directement destinée à décider si la diversité actuelle de deux équations indique une véritable distinction entre les

lignes correspondantes , ou si seulement elle tient à une simple dîffi^ence de situation : ce qui doit radicalement dissiper uiie