PABMIÈRE PARTIE 9 CHAPITRE TROISIÈME

source fréquente de confufiion que dues avons reconnue , dès rc»igine, naturellement inhérente à notre système de géométrie analytique, où les idées de position sont seules immédiatement exprimables. Car , en Taisant subir à Tun des deux feux comparés une transposition d'axes indéterminée, on rén-

mra, dans un même type algébrique, toutes les modifications que le déplacement de cette ligne pourrait apporter à son éqnation. Si donc les deux lieux coïncident réellement, il faudra que cette équation, ainsi généralisée, puisse comprendre Tautre OQmme cas particulier, en disposant convenablement des constantes arbitraires relatives à la situation des nouveaux axes pour identifier les termes par lesquds ces deux équations différaient d'abord. Quand, au contraire, aucun système de valeurs réelles de ces diverses constantes ne pourra suffire à une telle identification, on aura pareillement constaté que les deux lieux sont réellement distinets. Les constantes ainsi introduites seront, en général , au nombre de quatre , deux linéaires , relatives au déplacement de l'origine, et deux angulaires, indiquant la direction des nouveaux axes : mais, comme, dans cette comparaison , rinclinaison des axes ne doit pas changer, ces deux dernières ne seront pas alors simultanément arbitraires ; en sorte que les formules de tranpositicm ne renfermeront ici que trois données Traiment disponibles.

fielativementàlasimplificationspéciale'd'une équation isolée, nous avons eu, au chapitre précédent , plusieurs occasions de reconnaître l'influence notable que peut exercer , à cet égard , le choix des axes. Or, d'un autre côté, les définitions géométriques sont souvent impropres à indiquer directement les axes les [Ans favorables : les cas que nous avons examinés feraient concevoir , à cet égard , des espérances fort exagérées , si on ne les jugeait pas, sous ce rapport, comme de véritables exceptions. Il faut donc, en général, penser que Téquation rectiligne

94 GÉOmlniB PLAVS.

d'une courbe pourra fréquemment ne pas avoir d'abord la forme la plus simple dont elle soit susceptible à raison du dioix des axes. Gela posé , la théorie actuelle fournit un moyen certain de déoouTrir toujours les axes les plus convenables, quelque compliquée que puisse élre l'équation primitive. En effet » il suffit d'y opéfer une transpositioa totalement indéterminée poisr découvrir aussitôt la situation des axes propres à y faire disparaître certains termes dont les coefficients contiendront les constantes arbitraires ainsi introduites. Ces quatre constantes seront ici pleinement disponibles , puisque rien n'oblige alors à maintenir l'ancienne inclinaison des axes , qui peut bien n'être pas toujours la plus propre à simplifier l'équation. Néanmoins , l'avantage de conserver des axes rectangulaires ayant ordinairement plus de prix que la faculté d'enlever un terme de plus en déposant de leur obliquité , les formules de transposition ne contiendront le plus souvent que trois constantes arbitraires , comme dans leur première destination.

Quoique ce second but de la théorie actuelle soit, par sa nature , aussi général que Tautre , il a réellement une moindre importance dans l'ensemble de la géométrie analytique Car, la découverte de l'identité des courbes, malgré la diversité des équations, est également précieuse envers toutes les lignes pos-* sibles. Au contraire , la simplification de chaque équation d'à-* près un choix convenable des axes ne saurait offrir le même intérêt pour tous les cas ; puisque la faculté qu'on acquiert ainsi d'ôter au plus quatre termes à toute équation devient nécessairement moins efficace à mesure que le nombre total des termes augmente par l'accroissement du degré. L'appréciation commune repose trop exclusivement, à cet égard, sur la considération des courbes du second degré, dont les équations peuvent perdre par là jusqu'au deux tiers de leurs termes , ou la moitié en maintenant la rectangularité des axes ; tandis que , dés le

PRBUÈRB PAftTIB» CIUmrMB noiSIÈME. 96

fnftrième degpré , ou même le troisième , la simpliflcation correspondaDte n'a plus qa'ane faible importance , da moins par rapport à l'ensemble des cas , quoique chaque dc^é ultérieur ftésenie d'ailleurs certaines occasions d'utilisar notablement une telle faculté analytique.

Après ces explicatious générales , relatiyes à la seuledifflculté essentielle de la théorie actuelle , il est aisé de procéder à Vé^ tabHssement direct des formules de transposition. Il convient toutefob d'y distinguer le déplacement de l'origine et le changement de direction des aies ; quand ces deux cas auront été formulés séparément, le cas général en découlera spontanément , si l'on conçoit les deux transpositions comme successives an lieu d*étre simultanées. Cette décomposition est d'ailleurs très-conforme à la nature du sujet, en ce qu'elle permet d'apprécier distinctement les motffications analytiques relatives & k simple translation des lieux et celles, plus profondes , qui résultent de leur rotation.

Snppoaona donc qu'il s^agiase d'abord de passer des axes OX etOT (/Sjf. 30) à un système parallèle ayant son origine en 0'. L'iospectiou de la figure indique aussitôt les formules

où a et 6 désignent les anciennes coordonnées de la nouvelle origine, en ayant soin de leur attribuer, en chaque cas^ les signes convenables, sans lesquels ces formules ne sauraient être suffisamment générales. On voit, parleur composition^ que non-seulement ledegré d'une équation ne pourra jamais éprouver ainsi aucun changement, comme il était aisé de le prévoir, mais, en outre, que les modifications analytiques correspondantes ne pourront jamais affecter les termes déplus haut exposant.

Considérons, en second lieu, le passage des axes OX et OY ( fy. 31) à d'autres axes OX' et 0¥', différemment dirigés au-

96 GBOBf^TRlfi PLANE.

tour de la même origine. Pour rapporter les coordonnées anciennes MP et OP aux nouvelles MF et OF, à laide des données angulaires, la difficulté trigonoméirique consiste à résoudre le quadrilatère OPMP', d'après deux côtés et les angles. Tout l'artifice de cette solution réside en une heureuse décomposition des côtés inconnus MP et OP en deux parties plus aisément appréciables , par les paraUèles FR et P'Q qui leur sont menées deF, artifice dautant moins difficile à retenir qu'il est essentiellement analogue à celui qu'on emploie commune* ment pour établir les formules de s\n{a±b) et cos(a±: b). On a

ainsi

a:=OR+FQ, ^=FR+MQ,

et dès lors on est assuré de la solution , puisque ces quatre inconnues auxiliaires appartiennent à deux triangles OP'R ei P'MQ , dans chacun desquels on connaît directement un o6té et les angles. En exécutant l'opération trigonométrique , on trouve les formules

ysinr+ysiuY^ a/sin (Y~X04-a:'sin (Y— YQ "^ SnY ' ^^ sinY '

où les grandes lettres désignent les angles formés par les axes correspondants avec Tancicai axe des j:; Cette notation expressive , émanée de celle de Carnot pour la géométrie à trois dimensions, dérive, au fond, de l'universelle notation géométriipie des angles , en y supprimant , comme inutiles , d'abord la lettre relative au sommet identique de tous les angles considérés, et ensuite celle qui indique leur côté commun.

La composition de ces nouvelles formules montre que le changement de direction des axes ne peut pas non plus altérer le degré d'une équation, suivant une appréciation naturelle qui dispose à regarder^ en général , ce degré comme constituant un caractère essentiel de chaque courbe : mais on voit

PUMiiaB PAKTIB, CHAPmB T&OISIÈIIB. 97

id que h rotation d'ane courbe poarra modiier tous les termes de son équation, sans excepter ceux du plus haut exposant, que la «mple translation ne pouvait atteindre. -

I Pour changer à la fois Vorigine et la direction des axes , il suffit d'introduire un système auxiliaire, ayant même origine qae Tun des deux systèmes comparés et même direction que Tautre. En combinant ainsi les deux sortes de formules , on obtient aussitôt les formules de transposition les plus complètes

j/sînX'4;r'8ÎnY , . a:'sin(Y--X')+ysin(Y— ï') ,

smY * smY '

qai circonscrivent exactement l'influence générale que le sim« pie déplacement d'une ligne quelconque peut exercer sur son équation.

Comme les axes primitifs sont presque toujours rectangulaires , il importe de remarquer la simplification qu'éprouvent alors ces formules. £n y supposant Y = 90'', elles prennent la forme très-symétrique ,

r^jCsinX'+ysinY', ^ = jc' ces X' +y cos Y',

sil'cHrigine n'est pas changée. Les nouveaux axes étant aussi le plus souvent rectangulaires, on aura^ fSï outre, Y' — X' = 90», d'où ï' = 90<'-4-^'î et y par conséquent, les formules deviennent

^==a/sinX'+ycosX', a:=x'cosX'--ysinX'.

On retient aisément l'opposition de signes qui altère la symétrie de ces dernières formules, d'après la considération évldcaite ^n la fonction y-|~^* doit alors demeurer invariaUe, comme relative à la distance du point à la commune origine, pareille* ment exprimable dans les deux systèmes rectangulaires : car, on ccmçoit ainsi la nécessité d'un tel contraste algébrique, dont le sens effectif peut enraite se spécifier nettensent, en ayant

•8 cirioiaiTfiic f%Axm.

égaré ^ BUT la igmre, à rbypotUie panicoUère a:'=sO. Ces remarfaes otft d'anUiit plas d'intérêt qoe ces iomuiles àBivemt être 9 au fond , les pins nsadies.

Afin de mîesx caractériser déjà la ]iriBciffile destiiuitioii générale des £oraiiiles ]iréeédeBles, appUquons-les à la reeonaaissanee de l'identité des courbes représemées |Mr les émx. équations

dont la diffi^ence affecte méose les termes du plos haut degré. Le calcul prescrit peut ici s'abréger beaucoup , en remarquant que Torigine est alors le centre commun des deux courbes, évidemment symétriques Tune etTautre autour des deux axes. Si donc les deux courbes coïncident réellement, leurs équations doivent être identifiables par une simple rotation des axes, sans déplacer aucunement Forigine. On substituera, par conséquent, dans la première, les formules

jE'=x'cos — ysinX', j^=x'sinX'-f-ycosX',

ce qui lui iéra prendre là faune

+c<»*K'| +co»*K'

4 YM «.'*-i.4a>b.>vi/w>.> vr

+ 4sin3X'cosK' — 4cos3X'sinX'

i^'y+icesX'sin'X' —isinX'cos'X'

jtfy^:^u

En la comparant à la seconde , après avoir rendu le premier eo^bâent égal à Tuniié , po^ éviter toute ooBdititti snperflne, fm voit âpie leur idenlificalioii exige d'^Kird la diaparitien des ésn demimrs termes j d'où résoUe ia relation «mqne

4 sinrcosX' (sinT — cos' X') = 0.

Lss facteurs sinX' et cosX' n'y fajQvaal être annulés^ pmaqut tes axas neserwiit pas eiwhi^és,4a valaur d0 X' résnlIoBa dm

PREMIÈRE INdRflS, «SJàHTRfi TROISIÈME. fl

tMam^ foi 4ome X' »: 45<'. (te s'assarera aisément ^ue lelte hypotfaàse satislût aux antres eofiditions iTidentifioatiôtt. àSm la aeowde courbe nfest rédleme&tqM la prettière q«i MJNttt tojwrné 4'«n dQmiwBtngle droit.

10. Qooiqne le passage du système rectiligne an système fdaÉreeoDSiftne, par sa nature, en géométrie analytique , mie ^ratimi Irès^diférente de edle dont nous Tenons d'établir fci Ms , padsqo^l s'y agit é'fm Trai ehangement de système , et non é^nne simple modification de constantes , c'est ici néan- «oiasfBil convient le mienx de poser les formules, indispensMas à «annaltre, ^'exigc «ne telle transformation, qui f^IlleiiM aordinaireme^ besoin d'être précédée d'une transpo- «Won tf'^^ss , destinée à la faeUit» autant que possible. Nous êippsseMns, en effet, que les axes du système rectltigne sont feâtangidaires, que l'un d'eux coSncMe avec Taxe polaire, et qae leur origioa eat placée au pôle. Quand ces conditions préalables ma aeroot pas rempUes , elles constitueront une difficulté p^Iiminaire , aisément lerée , en chaque cas , d'après les foriDides précédentes. Ce préambule simplifie beaucoup , et même «vaetérise miens , Foptoition propre an yrai changement de ifatèaie. Les andennes et les noatdles coordonnées d'un point qneleonqfie appartiennent alors à un même triangle rectangle, qui fûnrnit aussitôt, pour passer du système rectiligne au système polaire , les formules très-simples

xssucos?) ^=:iisin7,

u=Vy+j(f, tangf=î^.

B'après ieitr nature , on toit que les équations qui seront algikHqoes dans l'un des systèmes deviendront nécessairement teanaeendttites dans l'autre , et que l'influence réciproque aura

100 GtiOMÉTEIB PLAHB.

liea quelquefois , ce qui définit nettement le contraste analytique de ces deux systèmes , et caractérise Taptitude spéciale de dbacnn d'eux euTers certaines courbes , quoique beaucoup d'équations doiventd'aiUeursyétreiHresqneégalementcompliquées. 31 . La première partie de notre étude étant maintenant cobf plétée , le lecteur peut désormais en saisir ccmyenablemeDit le plan systématique , qui n'eût pas été d'abord suffisamment appréciable. Ge préambule indispensable constitue une introduction fondamentale à l'ensemble total de la géométrie plane : quelque extension analytique qu'elle puisse ultérieurement recevoir, toutes les notions s'y rapporteront toujours à la conception générale que nous ayons ici directement établie, pois éclaircie par des exemples su£Bsants, et enfin appuyée des moyens préliminaires convenables. Dès lors, la formation des méthodes générales qui constituent l'objet essentiel de la géométrie analytique se trouve maintenant assez préparée pour que nous devions y procéder immédiatement , sans nous préoccuper encore d'aucune application spéciale : teUe sera la destination de la seconde partie. Mais, après avoir ainsi appris à résoudre , envers une courbe quelconque , chacune des questions analy tiquement accessibles ,. il restera à combiner, dans la troisième partie , ces diverses conceptions d'aI)ord isolées , afin d'apprécier, en général , comment leur connexité mutuelle peut faire surgir graduellement des diverses équations l'ensemble des figures correspondantes. Ainsi, la seconde partie se rapportera surtout à la géométrie générale; la troisième sera essentiellement relative à la géométrie comparée. Enfin , pour achever de préciser autant que possible l'harmonie fondamentale entre les lignes et les équations, constituée dans la première partie , et développée dans I^ deux autres, il faudra réserver une quatrième et dernière partie à l'application spé* cialQ de ces méthodes uuivers^es envers certaines courbes