PREMIÈRE PARTIE» CHAPITRE TROISIÈME
choisies, oùridéemère de la géométrie analytique devra recevoir ane élaboration complémentaire , destinée à caractériser sa modification finale d^prés les convenances de chaque cas. Td est le noaveau plan didactique que j'ai trouvé le plus propre à faire dignement ressortir l'unité philosophique que doit ofrir désormais l'ensemble de la géométrie plane , en manifestant la participation distincte de chacune de ses parties essentielles à l'essor continu de la grande pensée que Descartes lui a donnée pour base invariable.
Il importe de sentir que ce plan rationnel n'est, par sa nature 9 aucunement restreint à la branche élémentaire de h géométrie analytique , quoique nous devions ici la considérer exdnsivement. La première partie est nécessairement aussi complète maintenant qu'elle doive jamais l'être , quel que soit le progrès ultérieur de la géométrie plane. Quant à la seconde, et par suite à la troisième , elles seront actuellement limitées par l'imperfection de nos connaissances analytiques, qui ne permettent pas d'aborder suffisamment plusieurs importantes recherches géométriques : mais elles ne feront plus tard que s'étendre davantage, quand une analyse supérieure rendra graduellement accessibles des questions qu'il faut écarter ici. n en sera de même essentiellement pour la quatrième partie , oà, faute des procédés analytiques convenables, nous ne pourrions immédiatement entreprendre l'étude spéciale de plusieurs courbes intéressantes , auxquelles on pourra ultérieurement appliquer les diverses méthodes générales. Notre plan ne devra donc jamais subir aucune altération essentielle, quelle que paisse être ensuite l'extension réelle des moyens analytiques , d'où résultera seulement son développement continu. Ainsi , pour convertir cette étude élémentaire de la géométrie analytique, en un système complet de géométrie, qui n'a jamais été institué ni m^e conçu jusqu'ici , il suffirait d'y joindre couve-
IflS
MbleoMuÉ, oonme J6 l'ai Mi^ dam le tone I*' le «la Mil»- M!pAte|mîlît?#, lea diverses dasiea ée qveiCiea» fèamèbriqmÊm qoi correapoiideiit am divers défiés priiiel|Miix de raMi^s» transcendaiile» tandiB que MQ8 derow maiaAeMa* MQS réte am spécaktioM sotBiaiDiiieiit aeeesaibki à la acale anaiyv» («dinaire.
wMÊom . iti
SECONDE PARTIE
THÉORIES GÉNÉRALES DE GÉOMÉTRIE PLANE, SUFFISAMMENT ACCESSIBLES A L'ANALYSE ORDINAIRE,
3d. Ceftlhéories sont a» oomtareée scyA, savoir :
i*' htt ihèorwàu nombre ie point» néMsmire à h éotevmimâm de dnqiie espèee de eonrfees ;
2^ La tMfMie des tangente»;
3b La Aéorie des asjmplalea;
4^ La théorie des diamètres ;
5^ La (iiéorie des centres ;
^ La tMorie de k simffitode dea conrbes ;
7* La théorie des quadratures, et , par soHe, dea rectlflcatiOBs et dM eiAatorea.
A rexoepHon delà seconde, de- la troisième, et de la septiêae, elles penrent être comptétement établies par Fanalyse ordimlre , sans qu'one andyae sop^ietne dotye réellement f ajeater jstmaiB rien d'ess^tiel. Quant à ces trois théories, lluiadf» transcendante est vraiment indispensable ponr leur ppwtufCT une entière généradité. Ce n'est qn^à Faide du calcul diflérenUel qfoe la théorie des tang^entes , et par suite celle des asymptotes, qui en constitue, au fond, un appendice naturel , peivvenl Mrc étendoês à toutes les courbes actuellement exprimables par nos équations. De même, la théorie des quadra* tmea eirig^, eBCÔre plus fréquemment , fempioi du calcul întcgnL liaia,^ fnatque ees ^truîft tbécries ne puissent, en effet.
recevoir ici toute la {Aémtiide doot elles sont raaoqilibles, il n'en reste pas moins indispensable de les y traiter soas un point de vne général , sans les rendre vicieasement adhérentes & ancnn des cas particuliers qu'elles pourront actaéUement embrasser. Outre Favantage philosophique d'une telle exposition, seule oonrorme au véritable esprit de la géométrie analytique , il est certain que, même envers la dernière théorie, la moins accessible , par sa nature , à l'analyse ordinaire , on s'exagère communément l'office de l'analyse transcendante , qai n'a pu réellement que perfectionner des recherches antérieures à sa formation, et iqui Font même historiquement déterminée. Notre théorie des tangmtes , sans rien exigor au delà des plus simples éléments d'algèbre , s'étendra immédiatement à tontes leB équations algébriques proprement dites , du moins après certaines préparations , à la vérité quelquef<MS gênantes. Sans comporter une telle extension directe , notre théorie des qna* dratures embrassera pourtant des cas assez variés pour qu'il convienne beaucoup de les ramener ici a une mardie commune, à laquelle l'analyse transcendante n'aurait ultérieurement, qu'à fournir des moyens de formulation et de dévdoppement mieux adaptés à la nature du sujet. Â l'un et à l'autre titre , ce pre- Hiier état didactique de la géométrie générale se trouve historiquement représenté par la phase géométrique, très-mémo* rable quoique peu prolongée , qui s'est accomplie entre DeS"* cartes et Leibnitz, sous les efforts convergents de F^mat, de Wallis, et d'Uuyghens. Du reste, autant il importe d'attribuer ainsi à l'analyse ordinaire toute la portée géométrique dont elle est vraiment susoe|»tible , autant il faut éviter de l'exagérer puérilement par une imitation f^s ou moins d^isée des. méthodes essentiellement infinitésimales.
Tontes les théories d-dessus énnmérées conviennent évidemment à des courbes quelconques, sans aucun mélMige de théor
SBeONDK PABSIB. 14MI
ries purement q[)éGiales. J'^ renvoyé à la quatrième partie une thème souvent qualifiée ifidûment de générale, celle des foyers, qui est nécessairement particulière aux courbes du second degré.
Quant à l'ordre que j'ai établi entre ces diverses théories , j'y ai d'ab(M*d considéré leur dépendance, et ensuite la facilité ainsi que la perfection respectives. Tous ceux qui s'exerceront à changer cet arrangement didactique reconnaîtront aisément, j'espère, qu'il ne comportç réell^nent aucune modification essentielle» ni même utile. Dans un traité directement relatif an système total de la géométrie générale, tant élémentaire que tcanscenduite , il importerait beaucoup de suivre rigoureusement l'ordre rationnel, que j'ai depuis longtemps établi au tome I" de ma Philosophie positive, et qui résulte naturellement des diverses sortes de moyens analytiques propres à l'entiëre appréciation de chaque théorie géométrique, suivant qu'elle dépend çeul^n^t de l'analyse ordinaire, ou qu'elle exige l'un des trois principaux degrés de complication succêssi?e de l'analyse transcendante , bornée d'abord à l'emploi du calcul différentiel , poussée ensuite , envers d'autres questions , jusqu'aux différentes branches du calcul intégral, et enfin, quant aux plus difBciles recherches , étendue même jusqu'au calcul des variations. Mais , ici , où nous ne considérons que les études géométriques plus ou moins accessibles à la simple algcère , il ne peut exister aucun semblable motif d'assujettir cet arrangement provisràre à une règle invariable, dont la discussioii ofirirait maintenant aussi peu de consistance que d'utilité.
1m fi
