CHAPITRE PREMIER

Tbi^Be 4» iNmbM d» ip»iplt Bée eMMfe. à Vwrtiéfe 4élmrinlaalii<iiL#ft ^haq|»

espèce de coarbes.

39. Qtioii|iie le prindpe général #ttiie fèUe r^le éoire éCife anssi ancien qoeFidëe mère de la géométrie analjrlifiie, ^pnfa^ assm-er qne , quanti j'entrepri», fl y a Thigt*ehiq ans , de réfênérer Fense^nemenf maHiématftpie, cette théorie n'étaft encore ni formnlée, ni même conçue, dàna son ensemble, en sorte que je dus alors la censtruire directement. Afaligré sa grande simplicité , cet important sujet élémentaire continue aujourd'hui à être habituellement enveloppé de confusion et dlnc^titude, au point que des géomètres, d^ailleurs habiles^ y commettent quelquefois de graves erreurs , fkute d'en avoir convenablement systématisé l'étude fondamentale.

Logiquement envisagée, cette première fiiéorie est éminemment propre à fournir le type spontané de la perfection que comportent Tes méthodes de la géométrie analytique , soit quant à leur généralité , qui s'étendra ici à toutes les équations possibfcsr, soft quant à leur facilité , le plus souvent poussée, à cet égard, jusqu'à dfspenser presque dé tout calcul effectif. Néaih moins , un tel modèle donnerait une idée exagérée de ce qui est communément réalisable, si on espérait mal à propos pouvoir obtenir des règles aussi satisfaisantes envers des sujets plus difBcites.

Pour déduire , de l'équation d'une courbe d'espèce donnée , le nombre de points qu'exige sa détermination totale, à la fois de position et de grandeur, il faut, avant tout, établir soignen* sèment un0 distinction fondamentale , ordinairement très-mal

SECONDE p^na, tàâjmxB pkehier. IW

eoBpie, ealre lé cas où ¥oa a directeBim Yèqpttinm kr ph» fMràk e^rrespondàiito à la ^finitio» propasée et cdai oà Ton ne oonnait d'abord qu'une équation plus ou moitts parHculiière^^ GttéNa dénominations sont id destinées à iadicfoer qâel'éqfoatisii coDTient à tontes les âtuatiOns possibles de la eowbe, oa qrfeBè e^ nsireiate à eertatees situations, faelqpietois méM» à me seide. Amst les équations y-Hjr'^S^^â»jr+ (fr'-fa^ -^)»d^ ^y:siiax^by aoiftt ks plusgéaérries da casde et de>la* ligne èreite^ tandis qne les éqoatioiis j^4a?*3s/^, s^^^^^f s^^^^v^ anenfNBJvd, pertkcdijres esrers les ménMfitligsesi On c0«k fond encore trop souvent l'équation la plus générale de dwcfMr espèce de courbes avec l'équation lir {Ais étendue du degré corraq^ndftnl ; ce qui est prescfue toujours erroné, mena» pouv leseeoBd degré, où l'éfuatlm la plus génàrale da cercle, aussi bien fae celle plus coa^pUquée de la (mrabole, sont loin de^ coïncider avec le tjpe analytique le plas complet : à mesure que le degré s'âèTe,.ees eas- se multiplient davantage, comme on le sentira bientôt , comparativement aux autres.

D'après l'explication précédente , l'équation la plus générale de disque espèce de courbes est , en tout système de coordimnées, néèesssdf emenf unique. Mais, an contraire, l'éqtiatiott pfiiit éM pMs ou moins particcliètiè, selon qfnftBe é^tespmtf àrdiessitmtioBfl pins on moins détefmtaées' : c'est s^i qefe',.pap eieD»|ile, y-+-jc»— â^x+tf»— r'=0, constitue évM^nment une' é^mllMléa cerdfe qui ifest ni lis {dus générâe ni fc plc«» parfi(Bnlièf«. Le diegré de particularité s'est^era analytiquemeivl diaprés le noinibre de constantes arbitraires que perd alors réqualioo la plus générale : en sorte que les deux équation» au cercfc j^^-i-ap'a&r^j^asârjr— 0?% quoique distinctes, sont également perttcidières, en tant que relatives à des posftfons aiHsf Mlreint«gé Cto aura Heu de reconnaftue ei-des»)iis que cette doiÉMiÛM faHiMeda M)iidire é» cMstanates arUlnÉM couf*-

108 OÉOM^TRIB PLANE.

porte nécessairement une limite Gommune à toutes les courbes, dont réquation la plus étendue ne peut jamais perdre ainsi plus de trois constantes.

34. Cela posé, considérons d'abord le cas où Ton connaît l'équation la plus générale de la courbe proposée : c'est le seul auquel doive se rapporter directement une telle détermination ; puisque cette équation est ici censée, en chaque occasion, immédiatement donnée , le problème consistant alors à trouver, pour les constantes arbitraires qu'elle contient , on système de valeurs propre à faire passer la courbe par les points indiqués. Soit donc

cette équation, où les inconnue sont les constantes, quelquefois nommées géométriquement /^aram^^re;^ d'ailleurs linéaires ou angulaires etc., qui doivent distinguer la courbe demandée d'avec toute autre de la même espèce. Tout point M' par où cette courbe devra passer assujettira ces constantes à la relation

f{ ^y y y <^^ ^, ^> df ....) = 0,

résultée de la substitution de ses coordonnées spféciales Jt^ ety au lieu des coordonnées variables jc et y. Ainsi le problème ne sera déterminé qu'autant que le nombre de ces conditions, ou des points qui les fournissent , se trouvera exactement égal à celui des constantes cherchées. Néanmoins, en se hâtant de rédiger, sous cette forme spontanée, notre règle fondamentale, on risquerait souvent de commettre de graves erreurs, en exagérant, quelquefois beaucoup, le nombre de points déterminant. Car, il peut arriver que les constantes arbitraires reafermées dans l'équation la plus générale soient plus nombreuses que les termes distincts qui les contiennent. Outre qu'une telle circonstance peut fréquemment résulter des transformations algébriques, elle peut aussi provenir de la nature même des

SSC05DB METIS, CHAPITRB PRBBUBft. 109

définitions. Si , par exemple » on considère le cerde oonune la courbe également éclairée par deux lumières , et qu'on place au hasard les axes rectangulaires, son équation générale contiendra certainement cinq constantes arbitraires , qui n'entreroot pourtant que dans trois termes. De même , et à un plus haut degré, l'équation générale du cercle pourrait renfermer un nombre quelconque de constantes , en cherchant le lieu d'an point dont la somme des carrés des distances à divers points fixes , aussi multiplies qu'on voudra , demeure invariable. Or, en tous cas de ce genre , il est évident que le nombre des constantes arbitraires indiquerait mal celui des pointa déterminants , parce que les valeurs partielles de ces constantes ne sont alors nullement nécessaires pour que la courbe soit pleinement individualisée , pourvu que l'on connaisse seulemimt les valeurs collectives des divers groupes 'algébriques suivant lesquels elles constituent les coeflBcients vraiment différents , et dont le nombre effectif doit ici indiquer la véritable solution du problème proposé. Sans cette indispensable restric* tien, les diverses transformations, soit analytiques, soit géo-» métriques, 'pourraient faire indéfiniment varier un caractère qui doit être essentiellement fixe. La règle fondamentale que nous cherchions doit donc finalement consister à opérer^ sur Téqaation générale donnée , une double énumération , en y comptant séparément et le nombre de ses constantes arbitraires et le nombre des termes distincts qui les contiennent : le moindre de ces deux nombres sera toujours celui des points qu'exige la détermination de la courbe correspondante ; s'ils étaient égaux, onr adopterait leur valeur commune. C'est ainsi, par exemple , que le cercle sera analy tiquement reconnu déterminable d'après trois points , de quelque définition que procède son équation générale. Il importe d'ailleurs de remarquer, en principe , au sujet de cette règle , que , par la nature de la

^ontmi , die çooTf eat également à tons les s jstèAies poisflââes 4e coordemiées. C'est la seule tbé(»rie géoérak de géométrie foi oomparte mt tel priviléige, émioettineiit propre à ea faefliier Tapfilicatioii.

35. San^osoBS maiiitâBaBt qae , suivant le cas le plus fré- -^liiieot^ la omrbe proinsée ne soit d'abord earactérisée aoalytifaement qae par une éipalion plus ou moins particulière en jooordoanées rectilignes , eomn» la plupart des courbes introduites dans la première partie de ce traité. Le seul moyen universel deeonnaitre alors le nombre de points déterminant eon- Wte à en déduire Téquation la plus générale, en y opérant nue transposition d'axes indéterminée, par la substitution des formaies

jcsfjtf cos.X'— :x sin.X'+<ï, ^=x* sin,X'+y cos. X'+^,

si les axes sont rectangulaires. Quelque particulière que puisse ^Irc l'équation primitiTe , et quand même elle ne eonviendrait qu'à une seule situation , une telle transformation l'aura toujours assez généralisée, puisque la position de la courbe à l'égard des axes y sera deraïue tout à fait quelconque, pourvu que l'on compte a^ b^ et X', comme trois nouvelles constantes en^èrement arbitraires. Ce second cas étant dès lors rentré dans k premier, il suffira d'appliquer convenablement la règle fondamentale , de la même manière que si l'équation la plus générale eAt été doctement donnée.

La stricte exécution d'une telle opération exigerait souvent de longs calculs pour le développement algébrique de la substitution prescrite , quand les exposants seraient un peu considéraUes. Mais il importe de reconnaître que Ton pourra fréquemment se dispenser d'accomplir cette substitution , en se bornant à llndiquer, ou même à la concevoir. Car, on n'a réellement besoin ici de l'effectuer que pour la double énumération qu^exige notre règle envers l'équation généralisée. Or^

SBGONDB Eâltm , «âfim PREMIER. iH

4e 0QS dnuL 4éiiotriMf«»ieiit$ j le premio*, œln des iCMUtaotos tEbitaims» peut 4ndtfiMttc»t toujaim 4tce fait d'a^Aoce , p«ûh fn'ilse i!éd«iet nécessweMaat à aigiiMBtor de Irotole nombre ■diqiié fAr l'éqnalion particalière domiée. Quant 4Hi déMBiteaneift dea tenues djatincte , il ne aerak oertaiROHieèt prati- 4ieable sans i&cerfit«de iiue d'après raccomfdisseBient effectif •dîme idle i^énènlisaticm analytique; mais aons aayons, en prindfe» -qu'il ne defieal 2*éeUement iodispensaUe qu'autant fne œ sombre de termes se trourera infàrieur a« nombre total des constantes. Ainsi , la première énnmération., temjours iamédi^teaMnt facile» iadiqutfa d'abord, en un cas qnet- «M^oei wwliBMie snpérieni?e<du nombre de points demandé, mifù déjà pent Atre qoelquefrâ fort préeienx : mais ^en outre , astte imKeation deviendra souvent défloiiiye* lorsque, sans ssanaltre «xaotement la nomlme effectif des termes propres à féqnalion dgénéraUsée, «n premier aperçu de l'ensemUe du €ikul au» proouffé la certitude que ce nombre ne swait pas maindre fne oefcn.des oenstantesi tant primitives qu'iiKtro-

£n iippUqnant cette ex|dication à la plupart des exemples «Ués dans notre prenuère partie , il sera aisé d'y découvrir le nombre de points déternunant des eoorbes correspmdantesi «K)iqae oonniws seulement par des équnlions particulières et ntee uniques, qu'il sere pourUnt superflu de généraliser foraMDfmant. C'est ainsi que l'équation du n* 19

cy + {c'-(P) x'^Ç {c'^iP)

Mque évidemment une courbe exigeant an plus dnq pomts pour sa détermination , et avec la certitude que ce nombre n'est pas trop considérable , puisque^ sans exécuter la subslitation, on reconnaît aussitôt que les constantes c, (f , et a, 6, X' entreraient effectivement dans cinq termes distincts. On doit

toatefob remarqaer, sur ce premier exemple , qœ le câs da tetde d=Oj fait exception à la justesse de cet aperça; car. Fane des constantes étrat alors donnée, il en réitérait eacore qoatre, ce qni excède le yrai nombre des points. L'anonu^ tiendrait ici algébriquement à ce qne, par une réduction spéciale , que manifesterait seule l'exécution dû calcul , les trois termes autres que ceux du second degré contiendraient exclasivement les quatre constantes arbitraires; géométrkiuemait , l'exception proviendrait de ce que l'équation particulière ne manque alors de généralité que relativement à r<Higine, et non quant à la direction des axes rectangulaires qui, en ce cas^ y pourrait être quelconque , en sorte que cette équation serait suffisamment généralisée par un simple déplacement indéterminé de l'origine, qui n'élèverait qu'à trois le nombre total des constantes arbitraires. Quelque satisfaisante que soit assurément cette explication exceptionnelle, la nécessité d'y recourir et l'usage qu'on y fait des lumières déjà acquises sur une courbe tant étudiée , doivent faire sentir avec quelle circonspection il faut appliquer l'abréviation indiquée , et combien il imp(H*te , en général, de se résigner à l'exécution du calcul prescrit, quand les motifs de dispense ne présentent pas une parfaite évidence. On conçoit d'ailleurs que , envers un grand nombre de courbes , certaines définitions peuvent quelquefois donner des équations particulières trop surchargées de constantes arbitraires. Mais ces diverses sortes de restrictions propres à notre considération abréviative n'empêchent nullement qu'elle né soit , en beaucoup d'autres cas , aussi certaine que commode.

Par exemple , l'équation commune des trois sections coniques , trouvée au n"" 33 >

indique aussitôt , et sans aucune incertitude , que le nombre de

SECONDE 1PÂRTIE, GHAPITBE PREMIER. 113

pcÛBts déterminant est cinq poar l'ellipse et hyperbole, mais sealement qoatrc pour la parabole, poisqa -alors n ^ 1 .

On tronTera pareillement, et avec encore plus d'assurance, va le degré supérieur, d'après l'équation des sections toriques (Qo 2â) , que ces courbes sont déterminables par cinq points , sauf celle que caractérise l'égalité des deux données linéaires^ et qui , à ce titre , n'en doit exiger que quatre. Pour la conchoide (n^" 24) , le nombre de points déterminant sera également 5, avec la même réduction dans le cas analogue d'égalité. Enfin , l'équation de la cissoïde (n'' 26)

montrera, sans plus d'embarras , que cette courl^) est déterminée par quatre points.

n serait également facile de constater, sur de nouveaux exemples , comprenant une infinité de courbes distinctes , que les équations de la forme

y"^ = ax^'y ou ^** = ax"" -{- ^j

indiquent toujours des courbes exigeant, les unes quatre points, les autres cinq, pour leur détermination : le motif de dispense algébrique sera d'autant plus évident que les exposants m et ;i seront plus élevés. On conçoit d'ailleurs que la théorie actuelle est déjà aussi complètement applicable aux équations dites transcendantes qu'à celles qualifiées spécialement ^ d'algébriqnes, sauf les difficultés analytiques correspondantes. C'est ainsi que la même méthode, pareillement simplifiée, démontrerait, d'après les équations particulières

yssba",y=asiabxy

<iue le nomlu'e des points déterminant y est encore égal à 5. Sans multiplier davantage ici de tels exemples, lerapproche-*

11& GÉOMÉTRIE FLAVS.

ment , à la fois analytique et g<H>niétrique , de tous les cas eiléa suggère aussitôt ceUe réflexion générale que le nombre de points nécessaire à la détermination d'une courbe ne dépend point essentiellement du degré, ni même de la nature, de son équation , et pas davanlage de sa figure essentielle. Nous trouvons surtout une exacte parité, à cet égard , entre des courbes qui , sous tout autre aspect, ne semblent offrir aucun caractère commun. Cependant une identité aussi importante ne doit pas, sans doute , rester isolée. L'ensemble de mes méditations sur la ^'éométrie comparée , dont l'étude, à peine ébauchée, est encore si mal conçue, m'a depuis longtemps conduit à penser que les courbes qui exigent le même nombre de points pour leur détermination présentent, par cela même, beaucoup d'autres propriétés communes. Mais l'état présent de la science n'a manifesté jusqu'ici , à cet égard, que l'exacte parité ainsi assurée à ces diverses courbes quelconques , dans la géométrie transcendante, quant aux degrés de contact ou d'osculalion qu'elles comportent envers toute autre figure: encore même cette analogie nécessaire est-elle, communément très-mal appréciée.

36. Afin de compléter notre règle fondamentale, il reste à y caractériser Tindispensable modification qu'elle doit éprouver lorsque, parmi les points que l'on fait concourir à la détermination delà courbe, on introduit quelque point smg'M/i«r,- c'està-dire, suivant Taccepliori géométrique la plus étendue, un point distinct de tous les autres par une propriété précise, d'ailleurs quelconque , à laquelle on a égard; soit que ce point appartienne, en effet, à la circonférence de la courbe, comme un point d'inflexion ou de rebroussement, etc., soit même';' en général , qu'il y adhère, intérieurement ou extérieurement, comme lin centre, ou un foyer , etc. De quelque manière que s'opère la singularisation , chaque point de ce genre devra toujours compter pour deux points ordinaires , parce qu'il don-