SECONDE PARTIE, CHAPITRE PREMIER

liera lieu à deux équations ^e condition. S'il est sur la courbe, il faudra, outre la condition commune

/(j/y, a^ 6, c, ^....) = 0, considérer aussi la relation quelconque

qui formulera sa propriété caractéristique. Quoique cette seconde équation puisse être fort diflërente de la première, elle participera tout autant à la détermination des inconnues a, b^ c^ d, etc., qui se trouveront ainsi tout aussi liées que d'après deax points ordinaires. Lorsque le point singulier n'appartient pas à la circonférence de la courbe , il faut concevoir , en général, que, par cela même qu'il est unique, ses propres coordonnées a, €, doivent dépendre , d'une manière déterminée, des constantes qui spécifient la courbe , suivant deux fonctions ,

dont la forme sera , dans chaque cas , exactement assignable , d'afvès réqimtion de la courbe, el le caractère du point. Donc, réciproquement , l^indication de ces deux coordonnées assujettît ces constantes, quand elles sont inconnues, à deux conditions distinctes, qu'on peut envisager comme tenant lieu, pour leur détermination , de deux points quelconques de la eourbe.

On peut aisément vérifier cette loi uniforme sur toutes les lignes introduites dans la première partie, et dont les définitions contiennent des points évidemment singuliers. Si, d'après la décoQverte , déjà accomplie, de leur nombre ordinaire de points déterminant, on examine, par contraste , k réduction spéciale qu'il éprouve spontanément quand on y môle ces points excei>tionnels, 0 sera facile de constater successivement, suivant les <MfimtiottS respectrves , que le centre du cercle » que chacun

116 GÉOl^IÉTRlE PLANE*

des points fixes inhérents à l'ane on à l'autre génération des sections coniques , que chaque point analogue propre à la notion des sections toriques, ou delà conchoïde, ou de la cissoïde, équivaut toujours effectivement, pour la détermination de la courbe, à Tobligation de passer en deux points arbitraires. La seule dérogation apparente à l'uniformité de cette loi additionndle, semble devoir résulter d'abord de l'inégale pluralité des propriétés des divers points singuliers. Ainsi , par exemple, un même point peut quelquefois élre un centre et on point d'inflexion : les sommets de Tellipse, primitivement définis par sa rencontre avec ses axes , sont aussi caractérisés par une tangente perpendiculaire au rayon correspondant, et ils se distinguent également comme points de plus grande ou de moindre courbure. En tous ces cas, on peut croire que l'introduction de tels points singuliers fournira de nouvelles équations de condition, à mesure qu'on formulera leurs diverses propriétés , en sorte qu'ils tiendraient ainsi lieu, dans la détermination de la courbe cherchée , tantôt de deux , tantôt de trois , ou de quatre , etc. points ordinaires. Mais il est aisé de sentir que cette objection générale est purement spécieuse. On peut d'abord l'écarter par une considération préjudicielle tirée de l'évidente absurdité qu'ofiBrirait ainsi la variation continue du nombre de points déterminant propre à chaque courbe par la découverte, toujours possible, de nouvelles particularités envers les points déjà singularisés, j à mesure que l'étude spéciale de la courbe serait plus avancée. Un examen direct fait ensuite sentir, en principe, que, par quelque caractère précis qu'un point singulier ait été primitivement défini et formulé, toute autre propriété quelconque qu'on en découvrirait ultérieurement ne saurait fournir aucune condition vraiment distincte; d'après l'enchaînement, sensible ou inaperçu, général ou spécial, qui existerait nécessairement entre les deux attributs géométriques , les relations analytiques

SBCONDB PARTIE, CUAPITEE PREMIER. 117

oorreq|K>ndantes se trouveraient » en chaque cas, essentiellement équiyalentes -, en sorte que la multiplicité de ces conséquences ne contribuerait pas davantage à déterminer les constantes cherdiées que l'équation initiale d'où elles pourraient toutes dériver, plus ou moins péniblement.

37. Pour procurer toujours à la théorie actuelle toute la perfection effective dont elle est susceptible, il faut enfin expliquer comment le principe analytique sur lequel elle repose uniformément devient souvent applicable sans connaître encore aocone équation rectiligne ^ même particulière , de la courbe proposée, et en consultant uniquement sa définition géométrique. On en concevra la possibilité si Ton considère que 1-équation ne sert ici que comme base d'un dénombrement qui peut quelquefois être suffisamment accompli d'après la seule définition. Car, si le nombre total des constantes arbitraires propres à l'équation générale se détermine toujours aisément par une équation particulière, il se déduit encore mieux de la définition même. Il suffit, pour cela, d'y analyser exactement les diverses données géométriques qu'elle indique comme indispensables à l'entière détermination de la courbe : chaque point fixe qu'elle contiendra introduirait certainement, par ses coordonnées, deux constantes arbitraires dans l'équation la plus générale , à laquelle il faut sans cesse se reporter mentalement ; il en sera de même pour chaque droite fixe , à cause de ses deux coefficients angulaire et linéaire ; chaque cercle entièrement donné qui s'y trouverait ferait naître ainsi trois con^ stantes ; chaque longueur ou chaque angle une seule, etc. Cette nouvelle abréviation de la règle fondamentale aura la même légitimité et offrira aussi la même chance d'erreur que celle précédemment appréciée, puisqu'elle repose sur le même motif analytique. On trouvera donc toujours ainsi une limite supérieure du nombre de points déterminant. Quand elle ne sera pas

118 C^ÉOlfiSTEIE HAm.

trop élevée , ce qui correspond an cas analytiqve oà le nom* bre effectif des termes de l'équation générale ne se troiiT6rdt point inférieur à celui des constantes , on le reooiinaldra géo*métriquement si la définition proposée est assez simple pour qu'on puisse s'y assurer que les changements simaltanés des diverses données ne pourraient jamais se compenser de manière à ne faire aucunement*yarier la courbe. GeUe ooûdUion est facile à vérifier envers les définitions déjà citées du cercle, des sections coniques ^ des sections toriques, de la concboïde , et de la cissoïde, ou l'on connaîtrait ainsi le nombre de points déterminant indépendamment de toute équation, en parfaite conformité avec le résultat analytique. Pour la signaler id envers une définition nouvelle^ où l'équation ne nous est réellement pas connue encore, j'indiquerai la cyeliUde ordinaire, engendrée par un point de la circonf^ence d'un cercle roulant sur une droite fixe , à partir d'une certaine position , et tournant simultanément autour de son centre avec la même vitesse : la méthode précédente conduit aussitôt à reconnaître, sans la moindre incertitude, qu'une telle courbe est déterminabie d'après quatre points. Afin de mieux apprécier cet extrême perfectionnement de la théorie actuelle , il faut d'ailleurs sentir que la définition proposée pourrait n'être pas mêoM purement géométrique . pourvu qu'elle soit, précise , et que , dn reste y elle se prête suffisamment à l'annlyse prescrite, elle conviendra pareillement à une semblable distinction. Qu'il s'agisse, par exemple , de la ligne suivant laquelle un poids doit descendre pour arriver le plus promptement possible d'un point donné à un autre point donné : quoique cette définition transcendante soit uniquement dynamique et très-difScile à mettre en équation, notre méthode subsidiaire y indique déjà clairement quatre points déterminants; ce qui sera ultérieurement confirmé quand on y aura reconnu la cycloïde.

SECOm)E PAETIB j CHAPITRE PREMIER. 119

La grande facilité propre à ce perfectionnement final de notre règle fondamentale , doit ici faire insister davantage sur le danger, ci-dessus caractérisé en principe, qu'offrirait, en beaucoup de cas , son intempestive application , quand le nombre effectif des termes de Téqualion générale se trouverait inférieur aa nornlve ainsi prévu des constantes introduites. Cette circonstance anal j tique correspondrait géométriquement ' à la possibilité de faire yarier à la fois plusieurs des données inhérentes à la définition proposée, sans que la courbe en éprou-ykl ancun changement réel , soft de forme , soit même de situation. Or, de tels cas, quoique fréquents , sont difficiles à constater clairement d'après la seule définition , surtout envers des courbes peu étudiées ou très-compliquées $ et , quand une fois on les a reconnus, il est presque toujours impossible d'y réduire convenablement la limite supérieure d*abord obtenue ainsi pour le nombre de points déterminant, il est aisé d'en citer quelques exemples caractéristiquos , même envers le cercle, la courbe la plus simple et la mieux connue : telle est sa définition comme courbe également éclairée par deux Inmië^, qui indiquerait aussitôt cinq points déterminants, parce que les deux points fixes, et le rapport donné, pourraient varier conjointement , comme je l'ai montré au n** 21 , sans que la courbe changeât aucunement ; telle est aussi sa déinition comme segment capable , où les deux points fixes et l'angle donné pourraient certainement changer de manière à ne pas affecter du tout le cercle correspondant ; telle est, enfin, éminemment sa définition, déjà citée, comme lieu d'un point dont la somme des carrés des distances à divers points fixes demeure constante. On peut ainsi juger des difficultés souvent insurmontables que susciteraient de semblables inconvénients envers des courbes plus compliquées et moins connues ; surtout en considérant que la recherche du nombre de points détermi-

Ii20 GÉOMÉTRIE PLAHE.

nant doit être natarellement , à raison de sa simplicité supérieure , le premier sujet d'études envers la plupart dés lignes. La règle analytique do n"* 34 est donc finalement la seule qai . comporte une universelle efficacité , et rien ne saurait dispaiser d'y recourir en général. Mais les inconvénients irrécusables que présente, en beaucoup d'occasions, l'abréviation subsidiaire que je viens d'expliquer n'altèrent nullement son heureuse aptitude envers les cas très-nombreux oùles conditions nécessaires de sa légitime application se trouvent étresuffisammentremplies. En terminant ici l'exposition de cette première théorie générale, il importe de remarquer que, quoique nous n'y ayons considéré d'autres conditions de détermination des courbes que celles de passer par des points donnés, comme étant maintenant les seules que nous sachions uniformément formuler, cependant l'ensemble des règles précédentes s'appliquera nécessairement à tonte autre sorte de conditions géométriques , exprimables chacune par une seule équation , à mesure que nous en apprendrons ultérieurement la représentation analytique ; ce qui devra beaucoup augmenter la portée et l'utilité des divers principes que nous venons d'établir.