CHAPITRE IL

Théorie des tangentes.

38. Cette importante théorie, base nécessaire du rapprochement fondamental entre les figures curvilignes et les figures rectilignes, repose tout entière sur nue convenable, définition de la tangente. Dans sa première acception géométrique, ce terme a été longtemps limité au cercle , où il désigne simple-

SSCONBE PA&TIE, GHAPITEE DEUUÈBIE. 121

' ment une droite qui n'a avec la courbe qu'un seul point cornmon. Il y aurait alors un vrai pléonasme à ajouter que tous les autres pointa de la droite doivent être extérieurs à la courbe, puisque cette circonstance résulte évidemment de la condition primitive, non-seulement envers le cercle, mais aussi quant à toute autre courbe fermée et non sinueuse. Toutefois, ce caractère additionnel deviendrait, en d^autres cas, indispensable , afin de distinguer suffisamment la tangente de certaines droites ne rencon^trant , comme elle , la courbe qu'en un seul point ; ainsi qu'on le voit, par exemple, dans la parabole, pour les parallèles à l'axe. Quoiqu'un tel complément rende la notion initiale susceptible d'une assez grande extensioà, en permettant de l'appliquer à toutes les courbes, bien plus nombreuses qu'on n'a coutume de le supposer, qu'aucune droite ne saurait couper en plus de deux points , il est néanhkâds aisé de reconnaître que ce caractère primitif ne peut nullement devenir la base d'une définition vraiment générale. Car, en beaucoup de cas, cette unité d'intersection ne constitue point une condition , soit nécessaire , soit suffisante , tendante à déterminer la tangente. Dans la cissoïde, par exemple {fig. 32), la tangente en un point quelconque M coupera la courbe en un second point N ; tandis que , au contraire , on pourra mener de M une infinité de droites difierentes , qui n'auraient que ce 8^1 point commun avec la courbe , sans qu'aucune d'elles assurément fût tangente : on voit même que cette condition ne saurait alors donner lieu à aucune question précise ; c'est ce <pi'offriraient presque toujomrs les courbes ayant plus de deux points en ligne droite. Mais, malgré cette évidente impossibilité de conserver, en général , l'acception initiale du mot ^ente^ les lois du langage et de la pensée imposent l'obligation de ne la changer que par une judicieuse extension, qui produise spontanément le caractère primitif pour les cas

particuliers anxqnete on l'avâit destiné d'Aord î cette importante prescription philosophique doit être wigneiwenient respectée envers toutes les conceptions scientifique» qai dérivent de notions vulgaires , afin de maintenir toujours la GontiDuité et l'harmonie logiques, qui seraient gravement troublées par une arbitraire altération technique des expressions eonooiunds. La définition générale de la tangente, telle qu'on la conçoit miintenant, satisfait pleinement à cette condilicm indispensable. Elle consiste à considérer la tangente comme la liante ren laquelle tend une sécante dont l'un des points d'intersection supposé mobile se rapproche indéfiniment de l'autre supposé fixe , jusqu'à ce qu'ils se confondent exactement. Si l'on continuait ensuite la rotation , l'intersection mobile passerait au delà de r intersection fixe; en sorte que, en chaque point d'aae courbe quelconque , la direction tangentrelle sert de ligne de démarcation entre les directions qui coupent d'un côté de ce point et celles qui coupent de l'autre côté. Quelque multipliées que puissent être les intersections, on n'en doit ici combiner que deux , puisque deux points suffisent pour déterminer une droite -. la confusion finale des deux premières ne décide rien envers les autres , dont la coïncidence avec elles ne Bammt être falcaltative , et constituera, en effet, dans la suite 9 le caractère propre de certains points exceptionnds.

On peut maintenant apprécier ce qu'une telle définition générale conserve spontanément de la notion initiale t car, envers une courbe quelconque, la tangente, ainsi conens, aura nécessairement un point commun de moins queles^drcilss qui en ont le plus; par conséquent, pour toutes les courbes qui ne sauraient offrir plus de deux points en ligne droite , la tangente se trouvera caractérisée , en effet, par l'unité d'intersection, suivant la conception primitive, dont tout le vice consistait donc en une trop grande restriction. Cette généralisa-

SECONDEE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. ItS

f ioB s'accomplU d'ailleurs d'nne manière parfaitement conforma % h destination fondamentale de la théorie des tangentes dans le système total de la géométrie ; puisque Tindispcnsable rap* prochement entre les figures curvilignes et les figures recti« lignes, base naturelle des principales spéculations géométrieques , suppose toujours qu'on ait d'abord déterminé la loi sui^^ tant laquelle varient les directions des côtés du polygone que Fûtt substitue mentalement à la courbe , ce qui résulte évidem* tfiebt d'une semblable considération des tangentes.

Afin de prévenir toute incertitude sur une notion aussi capt^ taie, il importe enfin d'y apprécier spécialement la nécessité d'opérer la coïncidence caractéristique des deux inlerst^ctions par la rotation de l'une autour de l'autre, et non d'après leur commune translation parallèlement à la position primitive. Ces deux modes seraient y sans doute , le plus souvent équivàleots; mais ils oe sauraient l'être toujours : ce qui suffit pour que leur diatinction doive être soigneusement introduite dans la définition générale. La cissoïde en offre un exemple très-sensible, si Ton considère en particulier le point de rebroussément O, où la tangente OB résulte de la rotation de OK jusqu'à ce que K et O se confondent; tandis que les perpendiculaires à QB 9 en se rapprochant de plus en plus de O, y produiraient aussi la coïncidence de leurs deux Intersections , sans y être mflleiDent tangentes : on voit même que cette coïncidence provenue de la translation ne déterminerait, au point de rebroussèment, aucnne direction précise; puisqu'un tel attribut y appartiendrait indifféremment à une infinité de directions obliques.

St. La définition fondamentale étant suffisamment établie, il faut maintenant concevoir la théorie des tangentes comme eomposée d'abord d'une question {»*incipa}e, consistant à déter- ■ûner, en chaque point d'une courbe , la direction de sa tan-

134 GÉOMÉTRIE VLANE.

gente , et ensuite de plusieurs questions accessoires qui , quoique également générales, ne constituent, au fond, que de^ conséquences ou des transformations de la première. C'est sur celle-ci exclusivement que portera ici le défaut actuel de généralité de notre théorie analytique , bornée aux ressources de l'algélnre élémentaire : mais la manière dont toutes les autres s'y sobordonnent sera déjà traitée aussi complètement que possible ; en sorte que l'extension ultérieure de la méthode des tangentes, à l'aide d'une analyse plus élevée, pourra être réduite à la question principale , sans qu'il soit nécessaire d'y considérer spécialement les questions accessoires.

D'après notre définition, si l'on conçoit d'abord, parle point donné (:r', y), une droite qui coupe la courbe, en un second

point (x", y), son coefficient angulaire sera -p — -j- : la recherche proposée consiste donc à trouver la limite rers laqueUe tend ce rappibrtà mesure que les coordonnées variables a/^ ely" se rapprochent indéfiniment des coordonnées fixes a/ et y. Si l'on y posait aussitôt l'hypothèse extrême, jc"=j:', y ==/, il deviendrait indéterminé, parce qu'on n'y a eu encore aucun égard aux conditions qui ôtent l'équivoque naturellement inhérente à cette coïncidence, et qui résultent de la situation continuelle des deux points sur la courbe donnée f ( j:,y )= 0. Ainsi, la difficulté du problème se réduit essentiellement à cette question purement algébrique : utiliser les deux équations de condition , f{ x\y ) = 0 et f(x'\ /' ) = 0, de manière à trans-

former la fraction -—, — . en une autre équivalente qui ne

puisse plus devenir indéterminée, quand on y supposera a:" = x' et y'=y. Cette transformation une fois accomplie, l'évaluation de ce rapport , pour cette hypothèse finale, déterminera immédiatement l'expression générale du coeffi-

SECONDE PARTIE, CHAHTftB DEUXIÈME. l^à

dent angulaire de la tangente , propre à la courbe proposée. On sarmoate cette difficulté algébrique, en retranchant les deux relations l'une de l'autre , aGn de mettre en évidence, dans chaque partie de cette relation composée,

ou le facteur y -^-y ou le facteur a:" — a/, de manière à dégager ensuite aisément le rapport cherché. Mais, pour expliquer convenablement cette opération , naturellement fondée sur la divisibilité connue de cC^ — IT par a — ^^ il faut maintenant spécifier la composition de l'équation proposée , que nous supposons algébrique , rationnelle , et entière , d'ailleurs d'un degré quelconque. En n'y mentionnant qu'un seul terme général de chaque espèce, son type sera :

Ay~ + Bx" +C a:^^ + D =0, en sorte que notre relation composée devient

La transformation proposée , n'y ofire quelque difficulté que relativement au dernier terme, qui n'est spontanément divisible ni par y — y ni par j:" — j/. Or, la nature algébrique dfe ce terme, où les deux variables sont mêlées, suggère aussitôt l'artifice préparatoire d'sq[)rès lequel il devient aussi convenable que les autres, en portant à le regarder comme tenant lieu de Tensemble de deux termes distincts, F un analogue à ceux en ^, Taatre à ceux en x^ suivant la décomposition évidente

qui transforme la relation primitive en

Tons les termes y étant maintenant divisibles ou par y —y on

126 ^OMtTKiB n.Aint.

par x"—£, on en déduit aiusildt, d'après les riglei cooihim,

y— y B (■x-'^+x'^j^+jr-v...+.r'^) + cy (j/^...4-jr

La transformation proposée étant ainsi accomplie, il suffit de poser maintenant j^"=y et a/' = j:'poiir que cette fraction détermine immédiatement le coefficient angulaire de la tangente ,

Au lieu de retenir cette formule, ou d'en renouveler la reeberche spéciale sur chaciy exemple, il convient d'y saiMr algébriquement le mode de dérivation de ses termes envers ceux de réquation primitive. Un premier aperçu comparatif montre d'abord que les termes en x de cette équation ont seuls influé sur le numérateur de ce résultat, et les termes en^ sur le dénominateur : quant aux termes en \ ey^ ils ont influé des deux parts , mais toujours comme uniquement relatifs tantôt à JT et tantôt à^. On voit ensuite que la dérivation a consisté à multiplier, en chaque terme de Tune ou l'autre espèce, le coefficient par l'exposant et à diminuer cet exposant d'une unité. Telle est donc la loi générale suivant laquelle le coefficient angulaire de la tangente résulte de l'équation rectiligne de la courbe correspondante, dans tous les cas ci-dessus carac* risés.

On en simplifie beaucoup l'énoncé et la notation par l'usage élémentaire d'une grande notion analytique, dont la haute importance géométrique va être bientôt appréciée directement, outre son immédiate efficacité comme moyen d'expression : c'est celle des dérivées proprement dites. Ce nom, devenu spécial depuis Lagrange , désigne, envers chaque fonction quelconque d'une seule vanaUe , le coefficient de la première puissance de

SECONDE P41TIB, ÇHAPITftB DEUXIÈHE. 127

raoeroiiMiiieiit de la variable dans le déyeloppement de Taceroissement de la fonction selon les puissances de celui de la variable. Qnand la fcmction contient deux variables , elle comporte naturellement deux dérivées distinctes , suivant que Ton eonsid^« le changement exclusif de chacune d'elles» en traitant fantre oonune une simple constante. D'après ces explications , il «6t aisé de constater que la loi précédente peut s'énoncer ainsi : le coefficient angulaire de la tangente est égal au rapport, changé de signe, entre les deux dérivées du premier membre de f équation proposée, relatives, l'une à r abscisse^ Vautre à Vor^ donnée, du point de contact. Car, chacune des parties de notre formule de tang a constitue évidemment , d'après la définition précédente, la fonction dérivée de la partie correspondante de féquation primitive. La dérivée d'une somme étant d'ailleurs nécessairement équivalente à la somme des dérivées de ses parties, il est clair que la même loi de formation conviendrait aussi an cas où Féquation eût renfermé plusieurs termes de diaque espèce, chacun d'eux ayant séparément participé au résultat comme son type unique. Nous allons bientôt reconnaître que cette énonciation définitive de la règle des tangentes ae constitue pas seulement une commode abréviation usuelle dé la loi algébrique ci-dessus obtenue , mais qu'elle exprime déjà le mode le plus général pour la formation du coefficient angulaire de la tangente envers une courbe quelconque , sauf la difficulté de trouver les dérivées de l'équation correspondante. Qaant à la notation analytique de cette même règle , il suffit d'y appliquer aussi le mode éminemment simple et lumineux yie Lagrange a introduit pour les fonctions dérivées , en modifiant seulement par un accent les caractéristiques des fonctions primitives ; en sorte que/'lx), y'(j:), iJ»'(jc), etc., désignent suffiaamment les dérivées respectives de/(^), f{x),^{x)j etc. Envers tes imptions à deux vwiables , il convient d'y distinguer les

128 GÉOMÉTRIB PLANS.

deux dérivées, non d'après le mode trop incertain que Lagrange avait déduit du déplacement de Faccent, mais à l'aide d'une sorte d'adjectif analytique, consistant à placer, en indice, au bas de la caractéristique , le nom de la variable considérée : ainsi ,/', (^,^) et/'j. {jc^y) indiqueront les deux dérivées de /(•^%r)» relatives, Tune à j:, Tautre à y. De cette manière , notre loi des tangentes pourra être analy tiquement formulée par cette expression , très-concise et pourtant fort claire ,

où aucune des indications essentielles n'est réellement omise. On pourra même , . après une suflSsante habitude , augmenter familièrement son laconisme sans altérer nullement sa netteté, en faisant seulement porter sur l'indice adjectif la mention spéciale du point de contact , ce qui permettra de supprimer les parenthèses, où il est trop lourdement indiqué. Aussi écrironsnous souvent cette loi sous la forme rapide

y*' tang.a = — —

où rien ne pourrait être supprimé sans introduire aussitôt une confusion radicale.

40. A ce mode éminemment élémentaire d'établir la règle des tangentes , je crois devoir en joindre un second qui , sans excéder d'avantage, au fond, les premières notions algébriques , permet déjà de démontrer suffisamment l'entière généralité de cette loi géométrique, sous la seule réserve des difficultés analytiques que nous offirirait actuellement son application effective au delà des cas que nous venons de considérer. Il repose sur la convenable appréciation d'un artifice envisagé d'ordinaire comme purement spécial, mais qui, mieux jugé» peut aisément devenir la base d'une véritable méthode générale.

SEGO]!n[>E I^ABTIE , GHAPITEB DEUXIÈME. 129

Cest celui par lequel on trouve commodément la yaleur du coefficient angulaire de la tangente quand le point de contact est sitaé à l'origine des coordonnées , en évaluant , dans Téqua-

tion delà courbe donnée , le rapport — pour j:=:a, ce qui est

le plus souvent très-facile. Si, par exemple, d'après l'équation de la cissoïde

00 veut connaître la direction de sa tangente à l'origine , on

aura

ainsi la limite du rapport de l'ordonnée à Fabscisse indéfiniment décroissante est ici 0, en substituant x se 0 , ce qui montre la tangente al(Hrs confondue avec Taxe de la courbe , conformé- * ment au résultat fourni déjà (n"" 26) par la définition.

Une telle considération peut évidemment conduire à trouver la loi générale du coefficient angulaire de la tangente en un point quelconque d'une courbe : car, il suffit de transporter l'origine en ce point (J:^ y), sans changer d'ailleurs la direction des axes ; ce qui oblige à changer x en jà-^x ety eay-^jr dans l'équation proposéey^j:, y) = 0, qui devient alors

/•(a/+x,y-hr)=o.

Toute la difficulté, afin de retrouver ainsi la règle des (an- Sfentes, consiste à bien discerner les seuls termes de cette nouvelle équation qui doivent être pris en considération quand on

éTalue ^ pour x ss 0, ^ = 0, en écartant avec soin ceux qui, ne

pouvant exercer à cet égard aucune influence, compliqueraient inutilement cette appréciation analytique. Or, il est évident

que , si on développe Féquation selop les puissances cirqi^pt?^ de X et de jr » sous la forme

A+Ba:+qr-|-ÏXr'-f-iUjr+Fy+, etc., =0,

le terme A indépendant de jc et de jr, coïncidaat sponlf^pépient avecy (j:', y), se trouvera annulé suivant Thypothèse indiquée, et que, après avoir ensuite tout divisé par j:, dans la vue d'introduire le rapport cherché , l'équation , devenue

B+C ^ +D^+^+F g) jr+, etc., =0,

ne conservera , lorsqu'on y posera j: = 0, j^ = 0,^ que ses deux premiers termes : en sorte que, à la limite voulue , le rapport

*^ sera exprimée par — -k*, sans dépendre aucunement des

termes d'un degré supérieur au premier. Si maintenant on rapproche ce résultat de la définition précédente des' dérivées , on reconnaitra aisément , avec un peu d'attention ,' surtout en ayant soin, pour plus de clarté, de n'opérer que l'une après Tautre les deux substitutions primordiales x'-\'Jc ety+j^, que ces coefficients B et C des preùiières puissances de a: et de ^ constituent précisément les dérivées respectives du premier membre de l'équation primitive relativement à J^et^, où l'on aurait, bien entendu, remplacé les coordonnées générales j:,^ par les coordonnées spéciales a/, y du point de contact. Ainsi se trouve directement établie la loi fondamentale des tangenteif, qpA ci-dessus u'était eqcore qu'un simple résultat de çakid, alors liçiiifé aux seuls cas considérés, mais désorms^^ étendu, d^ moius en principe, à toutes les équations possit^les, s^qf la difficulté purement analytique de trouver les dérivées convenables.

41. D'après les seules connaissances algébriques qu'exige ç^ ^aité , çeis dérivées ne pou|*ront être inuoQédiateqient (çfUfé^

SICOIfDl PAITIB, GBAFnrEB DEUXIÈME. 191

fae pour des fonctions algébriques proprement dites, qui soient en outre rationnelles, et même entières, ou, en d'autres termes, exclusivement composées 4e simples puissances des variables. La dériyation y consistera donc toujours à multiplier chaque cpefiScient par rexpo3ant correspondant , et à diminuer celui-ci d'une unité ; ce qui reproduira textuellement la formule obtenue spécialen^ent au n"" précédent. Mais , quoique ces cas soient les seuls où nous puissions ici déterminer immédiatement les tangentes, la loi fondamentale de cette théorie géométrique n'en est pas moins déjà complètement établie , en ne laissant plus à désirer que l'extension ultérieure des notions analytiques nirla formation efiective des dérivées.

Quand les équations données, quoique alg' briques, seront irfationpelles ou fractionnaires, notre règle des tangentes poqrra, même dans son état actuel, y devenir finalement applicablç 9 luais seulement après les préparations plus ou moins p^ible? destinées à enlever les dénominateurs et les radicaux. Si }'o!i 9 , par exemple , réqaatioa

OQ Otçfa d'abord le dénominateur en écrivant

xj^==l±x\/x,

et pois le radical en isolant et ciarant, co qui donnera , après avdr développé et transposé , l'équation

xY—a^^ ^y+X =0.

Cest uniquement alors que nous pourrons immédiatement appliquer la règle des tangentes, d'où il résultera ici

où l'on pourra , d'après l'équation primitive , mettre y en x de manière à obtenir finalement

132 ' GÉOMÉTIOB PLANB.

Dans les cas semblables, rimperfection actuelle de nos connabsances analytiques sur l'application eflective de la règle des tangentes consiste à ne poayoir obtenir directement cette expression définitive, à laquelle nous n'aboutissons que par un circuit algébrique plus ou moins laborieux , faute de savoir prendre immédiatement les dérivées des fonctions proposées. Il convient que le lecteur sente déjà , d'après quelques exercices spontanés 9 ces divers embarras algébriques, qui caractérisèreQt , à cet égard , l'état de la géométrie analytique entre Descartes et Leibnitz, etdont l'appréciation croissante constitua l'un des principaux stimulants qui poussèrent à l'invention de l'analyse transcendante. Les difficultés relatives aux dénominateurs sont toujours bientôt surmontées : mais il n'en est nullement ainsi pour celles que suscitent les radicaux. Si on pouvait partout , comme dans l'exemple précédent , éter ceux-ci en les isolant successivement afin d'élever ensuite aux puissamces correspondantes, une telle préparation ne serait pas très-génante. Mais cette marche n'est pleinement efficace qu'envers un radical unique, et ne s'applique aux radicaux simultanés qu'autant qu'ils sont du second degré seulement; encore faut-il , même alors , qu'il n'en coexiste pas plus de ciiiq : en tout autre cas, la suppression des radicaux exige, l'intervention des pénibles méthodes d'élimination propres aux équations algébriques d'un degré quelconque , dont Tusage devient presque toujours impraticable.

Pour faciliter, en beaucoup d'occasions, l'application de notre règle des tangentes , il convient enfin d'y remarquer qae si l'équation proposée est résolue par rapport à^, sous la forme

SECONDS PA&TIB, CHAPITRB DBUXliHB. . 133

h loi générale se simplifie , et devient tang. « = «p' (x) , la dérivée relative à^ étant ici 1. Ainsi le coe£Bcient angulaire de la tangente est toajonrs exprimable par la dérivée de la fonction qui représente l'ordonnée; ce qui nous permettra, dés ce moment, de le former plus aisément, quand cette fonction sera de l'espèce de celles dont nous savons actuellement trouver les dérivées.

Au sujet de ce principal problème ,, ainsi qu'envers les recherches secondaires qui vont s'y rattacher, il est presque superflu d'avertir expressément que toutes les solutions relatives aox tangentes conduisent aisément à celles qui concernent les normales y c'est-à-dire les perpendiculaires qui leur sont menées des points de contact ; quoique cette nouvelle forme d'une telle étude puisse d'ailleurs en augmenter souvent, sons l'aspect algébrique , les difficultés spéciales , elle ne saurait exiger jamais aucun nouveau principe géométrique.

42. La question fondamentale de la théorie des tangentes étant désormais suffisamment traitée, considérons maintenant la manière générale d'y rattacher successivement, selon leur complication croissante, les diverses questions accessoires qai peuvent en être envisagées ou comme des oonséquences ou comme des transformations.

Il faut d'abord examiner le cas où Ton demande une tangente parallèle à une droite donnée. On connaît alors la valeur spéciale du coefficient angulaire de la tangente, et il s'agit d'en déduire réciproquement les coordontiées correspondantes du point de contact. Notre règle fondamentale, qu'il faut seulement ici appliquer à une destination inverse, fournit aussitôt le moyen de mettre le problème en équation. Si f{x^y) =0 est l'équation de la courbe donnée , et^ = ax^h celle de la droite proposée , on aura donc ainsi , entre les coordonnées inconnues ^1 y da point du contact cherché, la relation

lâ& CtÉOMÉTaifi PLANÉ.

qui, combinée avec la condition nécessaire /"(i:', y) =0 , déterminera ces inconnues, sans que la question puisse jainaib ofirir d'autres difficultés que celles de Fexécutiou algebi^iqae. Qu'il s'agissse , par exemple , de la courbe y^=x\ et qd'oa veuille lui mener une tangente parallèle à la droite j^=a:, les équations seront, en supprimantles accents inutiles,

d'où il résultera jc = - et j^ = — - pour le point oii la tangente

est inclinée à 45''. Quand le problème sera impossible , on le reconnaîtra ainsi ^ comme de coutume, en trouvant des co(m> données imaginaires, ou tout au moins infinies si la direction donnée appartenait à la limite des tangentes d'une courbe indéfinie.

Supposons , en second lien , qu'on demande une tanf^enid passant par un point extérieur donné. En renversant encore M proMëme foodamental, on introduira les coordonnées fncDfi>^ nues du point de contact , d'après lesquelles Téqûatibii de Ift tangente serait

où il faudra exprimer la condition de passer au point donne (6, a) , ce qui fotirnira la relation

pour déterminer, conjointetbent avee la èôffffitidtt ^p<!r&tftbéè f{x\ /) = 0, les dbux incônnufis ^ ei y. Btî» Ml edurïto

SECOKBB PÀEtiË, GHAPITÀE DEUXIÈME. 13&

/ts j*3, oa trouverait ainsi ar'» et par datte y^ d'à^rèi réqoation

o/^— 6flur'" + 9aV — 4ê' = 0,

qui ne peut plos présenter que des difiScultés d'algèbre.

43. ConsidéroDs maintenant une troisième question f énérale qoi, quoique semblant purement préparatoire^ mérite d'être soigneusement séparée, soit à raison de son importance propre, soit en yertu du nouvel aspect sous lequel elle conduit à envisager l'ensemble de la théorie des tangentes : c'est celle où Ton se prppose de trouver la relation constante entre le coefficient angulaire et le eofficient linéaire de toute droite ^ = aar+6 tangente à «ne courbe donnée, indépendamment de la position particulière du point de contact. Une fois obtenue, cette rela-^ lioa caractéristique pourra indifféremment concourir à déterminer, suivant les cas , ou là droite ou la courbe.

On peut d'abord envisager cette nouvelle, recberfifae oomoie une simple conséq^^ou^e de la question fondamentale. Car, en introduisant encore , à titre d'auxiliaires provisoires, Ifs ooor^ données j/ et y du point de contact indéterminé , on eii^rimera la coïncidence de la droite proposée avec l'une 4ea tangoit^ de la cmabe/{a:,y) =z 0, d'après les déni fcwfluiles d'ideiiti«fication

il hë â'agira plus que d'élimther x! et y éiltré ces deux équations cl la condition spontanée/ {^^i/) == O, ce qui fournira la relation demandée etitre d et h. Soil, par exemple, la courbé y=ar3: on aura

130 GÉOMÉTHIE PL4ME.

et r^lkniimttoD donnera aiaéme&t * = --— ; en scwle que Téqoation

représimtera Fensemble des tangentes de cette courbe, si aj reste arbitraire, et saccessiyement chacune d'elles snivant les yalenrs spéciales de ce coefficient angulaire.

Cette manière de découvrir la condition cherchée est , par sa nature , aussi générale que la méthode des tangentes d'où elle dérive, et offrira même le plus souvent, outre cette pleine généralité intrinsèque, une moindre difficulté d'exécution qu'aucune autre. Mais il n'en importe pas moins de caflictériser ici soigneusement un second mode, non moins général en principe, quoique d'une application ordinairement plus pénible et moins étendue. Indépendant de la règle primitire , cet autre mode pourra, réciproquement, d'après l'intime connexitc naturdie des deux questions , en reproduise finalement l'équi*valent essentid. C'est même sous une telle forme que la théorie des tangentes fut analytiqnement créée par Descartes. Bien que l'usage ait ensuite justement conduit à préférer la forme mieux exprimable que nous avons expliquée d^abord , cet ancien mode conserve encore, en certains cas, une haute utilité scientifique, indépendamment de son importance historique.

Il repose sur le principe des racines égales , immédiatemeat dérivé de la définition des tangentes. Si une droite^ zszax-\-b touche une courbe/ (x, ^) ^ 0 , l'équation

f[x,ax+h) = 0

qui détermine les abscisses des points communs doit alors offrir, entre deux de ses racines, une égalité caractéristique, qui,