SECONDE PARTIS, GHA*PITEE DEUXIÈME

algébriquement formiilée , fourninn la relation àeahb propre à distinguer toute tangente d'avec une simple sécante. L'obligation de n'envisager que deux racines égales résulte évidemment de la vraie notion des tangentes, où deox points doivent seub être combinés; on conçoit, au reste, algébriquement, qu'un plus haut degré de multiplicité établirait, entre aetb^ plusieurs relations ; ce qui est manifestement contraire à l'esprit de la question, où ces constantes, quoique liées, doivent rester diacnne indéterminée. Quand l'égalité de deux racines entraînera ceDe d'un plus grand nombre, cette circonstance, nécessairement exceptionnelle , constituera naturellement le caractère aufiilytique de certains points singuliers.

Toute la difficulté étant ainsi réduite à exprimer, dans l'équa tion précédente , une telle égalité , cette question analytique est facile à résoudre , indépendamment de toute théorie spéciale d'algèbre, en déterminant, à la manière de Descartes, la condition de divisibilité du premier membre de cette équation en x par un facteur du second degré carré {x — A)', comme on le faisait avant la naissance de la théorie des racines égales proprement dite, dont l'intervention ultérieure sera d'ailleurs wdinairement beaucoup moins favorable qu'on n'a coutume de le supposer à la simplification effective des calculs. Le moyen le plus naturel , et presque toujours le plus commode , de formuler cette divisibilité caractéristique, consiste, comme on sait, à accomplir la division, pour annuler identiquement le reste du premier degré. On obtiendra ainsi deux équations , entre lesquelles il faudra éliminer l'indéterminée auxiliaire h , <[ni représente ici l'abscisse du point de contact; le résultat de cette élimination constituera la relation cherchée. En opérant ainsi sur la courbe;^' = or^, on retrouvera , mais plus péniblement , la condition ci-dessus obtenue.

Quoique le principe de cette seconde méthode comporte évi-

138 GÉOMÉtÈlE PLANB.

demmeat une entière généralité, son expression analytique eàî essentiellement bornée aux équatiohs algébriques propretneiit dites , rendues même préalablement rationnelles et entièlrdf . Car, dans une équation transcendante, ou simplement irratiottnelle, on ne saurait aujourd'hui comment découvrir directement la condition dé l'égalité de deux racines. Ainsi, la pté-^ mière méihode , ultérieurement âpplicableà tontes les équatiotjî^ est , en général , préférable , bien que le lecteur ne puisée aë^ tuellement remployer qu'avec les mêmes restrictions que pOW la seconde. Toutefois , celle-ci mérite d'être soigneusemèèii étudiée, outre Fimportànce générale du priticipe correspondant^ à cause des facilités analytiques qu'elle présente quèlquefbis ; quoiqu'elle soit, tout compensé, habituellement pliis péniide. Elle offre surtout un ^rand avantage envers les courbée du second degré, puisque la condition d'égalité s'y expritnet^ immédiatement d'après une formule très-élémentaire, saiià exiger ni la division, ni surtout réliminatioù subséquente, qui constituent les plus grands embarras algébriques de cette tbé^ thode.

De quelque manière que soit traitée cette importante qtiestioA du contact indéterminé, ellefburnit aussitôt le moyen de mettre en équation le problème général de géométrie (j[ui consiste à mener une tangente commune à deux cotirbes données : pdisque, en formulant ainsi chacune des conditions du problème , bii établira les deux équations propres à déterminer le coefficient angulaire et le coefficient linéaire de la droite cherchée. Qu'au demande, par exemple, la tangente commune aux deux cdûrbes,

on aura d'abord, pour la première, là condition de Cdntàêt déjà cdïtenue&^rT^vqtt^^À l'autre, il oonvieni évidemment de

SECONDE PÀ&ÎIE, GHAPlTEà DEUXIÈME. l3d

plréHirer la ^ecoùdé méthode, qui donnera ànalemcnt la conditiOll &• = a*+l : telles sont donc alors les deux équations du îâfi^léme ; en y éliminant b , totlt dépendra enfin de l'équation

MAoclAleau troisième degré, et qui ne eotoportera, eonfor* ttémemt à la figure, qu'un seul eouple de râleurs réelles de a.

44. Paltotis maintenant à la plus vaste et la p\m difficile de tjes «^estîdiîs accessoires , en cherchant d'abord , par la gênétalMlfon du problème précédent , la condition analytique d'un cèiitkct indéterminé entre deux courbes quelconques. Mais ici tt'fimi, ayaût tout , et c'est en cela que consiste, en principe , îâ toile difficulté jpropre à cette nouvelle recherche , il faut , dis-je , caractériser soigneusement ce qui constitue le contact ite deux courbes.

Rien tt'empéchè , sans doute , d'étendre immédiatement à une ligne quelconque la définition du lar 38 relative à la tangente proprement dite, en concevant , par exemple, un cercle passant en deux points distincts de la courbe donnée , et considérant la tksAtè vers laquelle il tend quand le point mobile se rapproche fndéfiniment du point fixe. Mais il existe évideniment , entre lésdeitxcas, cette différence radicaleque, toute ttgtife droite étant dêteHninée d'après deux points, tandis qu'un cei'clene l'est pas, itae telle limite sera essentiellement précise envers la première ligne, et au contraire vague, sans être arbitraire, quanta la Seconde : on pourrait, par exemple, choisit* à volonté le rayon du cercle, et alors seulement sa situation extrême deviendrait aussi déterminée que celle de la droite. Si , au lieu d'un cercle, (m ëonridéirait une parabole , dont la détermination exige un point de plus, la limite d'une telle relation serait éAcore plilD indéterminée, et ainsi progressivement à l'égard de courbes 1$B K flMMbbre dé points déterminant eroltrait peu à peu. (k

140 GÉOMÉTRIB PLANE.

mode primordial de définir le contact de deux courbes » d'après une servile imitation de ce qoi convient à la ligne droite 9 constitue dope une notion géométrique nécessairement imparfaite et même confuse , pour tout autre cas que celui qui en a. fourni le type spontané. Le seul moyen général de compléter convenablement une telle notion , en lui imprimant toajoars un caractère pareillement déterminé , consiste y suivant la grande conception de Lagrange , à imiter plus judicieusement la définition initiale, en y remplaçant, dans chaque cas, le nomt)re deux des points coïncidents par celui qui correspond k rentière détermination delà ligne introduite, trois quant au cercle , quatre envers la parabole , etc. C'est ainsi que , comme toutes les autres idées scientifiques , l'idée de contact , d'abord absolue, parce qu'on n'en avait apprécié qu'un seul cas, devient essentiellement relative , et comporte divers degrés de plénitude 9 ordinairement qualifiés aujourd'hui d'ùsculatUms, Mais cette manière, seule vraiment philosophique, de concevoir, d'après Lagrange , la théorie générale des contacts des courbes, ne peut être convenablement suivie que par l'analyse transcen- * dante„ sauf Tindication ci-dessous du mode selon lequel l'analyse ordinaire pourrait, en certains cas, l'ébaucher. Nous devons donc, après en avoir posé ici le principe géométrique , en renvoyer la constitution analytique à la géométrie transcendante, et nous borner maintenant à considérer envers les courbes ce degré élémentaire de contact déjà familier à l'égard de la ligne droite» et seul pleinement accessible à la préparation analytique que ce traité exige du lecteur.

Ainsi conçue, la recherche de la relation, alors aussi unique que dans le n*" précédent, entre les constantes arbitraires de deux courbes ,

par suite d'un contact indéterminé , devient aussitôt une consé-

SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. l&l

çaence naturelle de notre question fondamentale. Car , il résolte éfvidemment des déGnitions respectives, que les deux eoarbes ont dès lors en un même point une même tangente. Introduisant donc, comme auxiliaires, les coordonnées jceiy (ta point de contact, elles devront vérifier, outre les deux éqfuations proposées, la condition

qui exprime , d'après cela» la coïncidence des deux tangentes. Si donc, entre ces trois équations, on élimine ces coordonnées, on obtiendra finalemrat la relation demandée. Qu'on cherche, {Kir exemple , la liaison ieahb propre à rendre la courbe indéterminée

tangente à la courbe déterminée

il faudra donc éliminer x eiy entre ces deux équations et Té-

qoation

CeUe-<;i donne aussitôt ccs^b-^-^ay — ^% qui, substitué dans ^»= J7, fera trouver aisément ^, et par suite j:, en a et ^ .•

00 n'aura donc qu^à porter ces expressions dans la première

équation, et l'on trouvera finalement la relation 6 s^— - â^

là , comme au n** précédent , la question comporte évidemment un second mode de solation , d'après le principe des . radnes égales. Une fois;^ éliminé entre les deux équations proposées, il suffira defcHrmuIer, de la même manière que ci-dessus, l'^alité de deux rddnes dans cette équation finale propre aux ducissea des points communs. Pour les courbes qui viennent

1&.2 GÉOMÉTRIE Pl«AN9.

d'être cQxisfdérées , on aurai| , spivant la première, jr= ■ vy et Véquation finale serait

qui reproduit aisémept )a relation déjà obtenue par Vwtm méthode. L'application habituelle de ce second mode dpanei^t lieu à une simple extension des réflexions snflSsamment indi-* quées au m précédent envers les contacts rectilignes.

La principale propriété théorique de cette dernière méthode consisterait à nous permettre déjà de caractériser analytiquement, dans les cas où elle est applicable , les divers degrés de contact , dont j'ai tout à l'heure établi l'appréciation géométrique. Car, le principe des racines égales n'a besoin , pour cela, que d'une suffisante extension , en considérant alors Tégalité y non plus seulement entre deux* racines de l'équation finale, mais entre trois , on entre quatre, etc., d'après la divisibilité par (j:— A)^ ou (x — ^A)*, etc., selon qu'on chercherait le cercle , ou la parabole, etc., susceptible du plus intime coatact possible avec la courbe donnée. Il est aisé de sentir que l'on obtiendrait ainsi toujours autant d'équations qu'il en faudrait pour déterminer la courbe osççlatrice, sauf une seule constante arbitraire qui servirait à la faire passer ensuite, $i on le jugeait convenable, par un point particulier. Mais l'analyse transcendante fournira ultérieurement , à cette fin, des moyens bien plus comnj^odes^ même envers les courbes algébriques , auxquelles convient exclusivement le mode que je viens dindiquer.

jEïi revenant au «impie contact ordinaire fçff mjilé par une seule relation , on conçoit qpç les conditions de qe genre poop^p* ront désormais contribuer à 1^ détermination de» courbes, con^ joiotement avec leur passage qu certains points > unique pWnq-^ mène géoméUiqaç ^\ l'expression a94|y t|«u^ nous était loi^

SECONDE PARTIE y CHAPITRE DEUXIÈME. iJ^S|

Bûlivement possible : cette participation sera ^ ail|çuf> tou|Qi|rs assujettie à la théorie fondamentale da chapitre précédent, qui lient de recevoir ainsi sa première extension géjpiéf^le. Il sera maintenant facile, quand le nombre des contacts, reçtilignes oa conrilignes, sera par là jugé suffisant, 4e mettrq en équation ce pro))lème gédmétrique très-étendu et fort difficile , résultat ^finitîf de notre théorie des tangentes : déterminer ifne courbe d'espèce donnée tangente à certaines courbes entièrement don^ n^. Quoique le$ relations ainsi obtenues pour çalcqler lesi (gram^tres iuçonuqs de la courbe cherchée doivent étte &out Tftill inextricables , même dans le cas d'un cercle tangent à troi^ o^bespeuconipliquées, une telle considératiop n'en est pas i^^s éminemment propre à faire dignement apprécier l'ad-

i(iirai)le généralité qu'ont acquise les spéculatioi^s géométriques

sous un judicieux ascendant des conceptions analytiques , d'à- (Tés la grande rénovatiou cartésienne.

45. Après avoir suffisamment expliqué la théorie des tangentes, fi nous reste à considérer un exemple caractéristique aa'elle nous offre spontanément de l'aptitude naturelle des conceptions géométriques à perfectionner , à leur tour, les spéculations analytiques, en y facilitant, par une lumineuse représentation, la découverte des principes essentiels, comme je l'ai indiquée, en général, au début de ce traité. Il s'agit de rimportante détermination des maxima et minima pour les fonctions d'une seule variable , dont nous aurons d'ailleurs besoin bientôt à divers égards , et que celte heureuse intervention va déjà nous permettre d'étendre à des cas beaucoup plus variés et plus difficiles que ne semblent le comporter les connaissances analytiques purement élémentaires exigées ici du lecteur. Mais, avant tout, il faut caractériser soigneusement la nature générale de cette recherche, et même ensuite résumer sommairement les moyens préalablement fournis, à ce sujet, par Tanaïjse ordinaire.

ikk GÉOm^TRIE PLANE.

Les dénominations usitées sont très-propres à bien rappeler en quoi consiste ce genre de questions, car elles indiquent une idée de plus grande ou moindre yaleur qui, convenablement définie, distingue, en effet, ces états remarquables. Une fonction ne comporterait réellement ni maximum ni minimum si elle était toujours croissante ou toujours décroissante à mesure que sa rariable augmente, même quand elle tendrait indé<finiment vers une limite assignable. Mais si , comme dans la plupart des cas réels, la fonction est tantôt croissante et tantôt décroissante, chaque passage de l'un à l'autre sens sera marqué par un état maaimum quand la fonction cessera d'augmenter pour conmiencer à diminuer, ou par un minimum au cas contraire. Ces états critiques sont donc nécessairement alternatifs , en sorte que tout maximum tombe entre deux minima, et tout minimum entre deux maxima. On voit ainsi que la valeur maximum d'une fonction est en effet la plus grande, non de toutes absolument, ce qui est fort rare, mais seulement depuis le minimum précédent jusqu'au minimum suivant, et de même pour la valeur minimum .: c'est pourquoi l'usage a consacré ici l'emploi des dénominations latines , dont la traduction littérale indiquerait une vicieuse définition.

Dès l'origine des spéculations mathématiques abstraites ou concrètes, de telles recherches se présentent fréquemment. Mais l'analyse ordinaire ne fournit, à ce sujets que des ressources peu étendues. Sa marche propre consiste alors à traiter la question du maximum ou minimum de chaque fonction /(a:) comme un cas particulier de la question qui. consisterait à lui faire acquérir une valeur quelconque n : dès lors, si l'on peut résoudre algébriquement l'équation/ (x) = 71, la discussion de la formule j? = cp (n) indiquera les limites de n en deçà ou en delà desquelles x cesserait d'être réel, et par suite on aura aussi les valeurs correspondantes de x. Quoique ce principe

SEGONt>E PARTIB^ GHAPITRB DBUXIÈMB. 145

soit 9 sans doate, pleinem^t général , l'extrême imperfoctioQ de la résolution algébrique des équations en borne infiniment Fosage, quand Téquation proposée dépasse les quatre premiers degrés; ce moyen élémentail*e n'est même vraiment usud qa'autant qu'elle n'excède pas le second degré , auquel cas ce procédé est ordinairement le plus commode.

A la yérité, l'algèbre supérieure perfectionne beaucoup cette méthode primitive , en assignant un caractère direct et spécial pour les valeurs de n qm séparent ainsi , qnant à a:, la réalité de l'imaginarité. Ce caractère, d'abord indiqué spcmtanément par les formules du second degré , consiste dans l'égalité néce»^ saire des deux valeurs de x susceptibles de devenir tantôt réelles et tantôt imaginaires. On peut, en effet, concevoir géné* ralement , d'après la nature de la question , que Tétat d'^alité correspondant au maximum ou minimum distingue toujours ce passage de la réalité à Timaginarité. Il suffit , pour cela , de remarquer que ta fonction reprend nécessairement, après le maximum ou le minimum, les mémps valeurs qu'auparavant, avec ou sans symétrie : ainsi , tant que la valeur n n'est pas le maximum ou le minimum, il lui correspond deux valeurs distinctes de j: si elle est possible^ et ce couple^ devient imagi*naire si elle est hors de la limite ; à la limite même , ces deux valeurs coïncident , parce que l'état de n est alors unique* D'après cette considération fondamentale, le maximum ou te minimum de n se trouve donc caractérisé directement par la propriété de faire acquérir deux racines ^alçs à l'équatiim J{pc) — n £= 0 : ce qui permet à l'analyse ordinaire de détermi*ner ces valeurs principales sans avoir nullement besoin de résoudre cette équation , en se bornant à y formuler, comme je l'ai ci'dessus indiqué, l'égalité de deux racines. On divisera donc son premier memtare par (x — kf, et le reste ^ identique^ ment annulé , foumim deux équations tendant à d^tfirminer n

146 b«M£¥MB PlAttt.

HUi en ttiëmé teiMps % , 4oi , Mn A'étM iei nti àuilU&b*e Miperihi , tottstilne précisémeAt la tsléur ehmshée de x.

Mais , quelque prédeuiL qtie soit eh lui-^nétné oti fel pmgt*ès 'de la méthode prfnritite foisrnie pat l'analyïie offfnàfre pôitir là détermination des ttnaidina él iftinima , il se Inmre tiàtoretté^ ment borné aux foneKtons algébriques à là fois iralMlilliâlëè tt entières. Or, rinterYéKJItMn des oottrt^ ta ncfOS pèrttu^ttre ^'aDer déjà beaucoup (Mus Idin , outre Httb c'M d'elle qU'éttiaâè Mstoriquement là preanidi^ notion géuértile du j^Mtaidpe ^tëté^ idcnt, quoiqu'on puisse te MfeeVoIr atOouM'hUi tf^adé mani^^ fynremefift abstraite.

Imagrtnons donc la fdÉfetiot/(i:) représentée pàAM^orAMitfêejr d'une courbe dont x est l'abscisse (fig. SS). La seule inspectioa générale d'un tel t2d)leau fait aussit^ saisir un caractère proplhè à déterminer directement les points M", M\ RT", etc. loA la 'Courbé, ateparavant ascendante V défient descendààte , ourè<9- ))rôqaefnent , en (Considérant la n^rcbe corr€»poàflaàte 4èà tangentes. Tant que la {^nrbe monte , la taùgente fa?t à Vec i^^aite un amgle aigu ; cèl angle ^t, au contraire , obtus quand lu 'Courbe descend : or, dans le passage de Tun à TafAtrè cours , à l^iMtffnt ^écis du màxfmctm oti dti mfninitim, i'amgle «st 9 ou 180% et la tangente se trouve parallèle à Taxie. Ainsi là *redîerciie de ces points rentre dàtis la question , oMtessus tc9^ 'fée (n^* 4i), 0611 s'agit de ttien^, à tftte Courbe donnée ^ uÉë tthn^ente parallèle à une droite doiméè. On obtiendra 'donc les Tàlenrs de x propres au ifiaxfinuin ou au lÉriniitiQrin en anuM* iant lé coëlBBctent angulaire de 4a tangente , qui est ici/' [x). ^s noticàis d'^algèbre supposées dans ce traité ne permettront ta 'formation directe flè ^tie éq^êftion caraMéHstique/' {x)T^n t|n'miant i^e la fonction proposée ^a, ^'abord idgdbfiqiie> eft aussi ratimmelle et entière. Mail, outre que la régie fondanentule eM ainsi oômplAtement ddtmhrarte, amif les oonuoiff-

SECONDE PAUTIE, COÂPITRE DEUXIÈME. iV7

saoces analytiques qu'exigerait son application totale, nons pourrons déjà Tutiliser, comme la loi des tangentes d'où elle dériye , envers les fonctions fractionnaires ou même irrationnelles , d'après les préparations plus ou moins pénibles dont nous y avons reconnu la nécessité provisoire.

Un tel caractère est, philosophiquement, d'autant plus convenable qu'il constitue l'expression directe d'une remarque générale fréquemment suggérée par les divers phénomènes naturels qui présentent des exemples familiers de maximum ou de minimum , tels que les changements de la hauteur du soleil dans le cours de la jonrnée, Vinégale durée des jours ou des naits aux différentes saisons , etc. En tous cas semblables , les observateurs judicieux ont toujours senti que l'état de maximum ou de minimum se trouve spontanément distingué des états antérieurs ou postérieurs par une sorte de station spéciale, (jae rappellent quelquefois les dénominations consacrées, surtout quant aux saisons. Or, cette disposition stationnaire est heureusement exprimée d'après notre méthode géométrique, qui indique alors la direction de la courbe comme parallèle à Taxe.

Quoique ce caractère fondamental, et la règle analytique correspondante, doivent également convenir au maximum et au minimum, il ne faut gnètê craindre que l'on soit ainâi exposé à confondre ces deux cas extrêmes, qu'on séparera presque toujoufs sans difficulté, soit d'après les indications suggérées par la nature de la question , soit au plus par une sommaire discussion des valeurs voisines : en sorte que cette inévitable coexistence ne constitue ,' en réalité , aucun grave inconvénient de la méthode précédente. Toutefois , en prolongéant davantage l'appréciation géométrique , on découvrirait aisément un caractère secondaire propre à distinguer le maximum du minimum. Nous avons déjà noté que la marche de

la tangente est inverse de Ton à l'antre cas; pniaqneson inclinaison passe , dans le premier , de l'aign i l'obtus , et au contraire dans le second ; par suite » son coeflBcient angulaire passe du positifau négatif, et puis réciproquement. Si donc l'on imagine la courbe auxiliaire ^=/(x), dont ce coefficient deviendrait l'ordonnée, elle traversera l'axe aux divers points cherchés, mais en descendant pour le maximum , et en montant pour le minimum , comme l'indique la partie ponctuée de la fi|ure« La distinction demandée consistera, par conséquent, en ce que la tangente à cette seconde courbe devra faire avec l'axe un angle obtus lors du maximum et aigu lors du minimum : ainsi son propre coefficient angulaire , naturellement exprimé par la seconde dérivée de la fonction proposée, sera négati f dansle premi^cas et positif dans le second. On pourrait même , en redoublant l'emploi de cet artifice géométrique, apprécier aussi l'hypothèse intermédiaire y on/" (x) s'annulerait, s'il ne convenait pas de restreindre ici cette théorie à ce qu'elle ofire de vraiment essentiel. 46. Enfin, pour mieux sentir , à ce sujet, combien la géométrie y peut éclairer l'analyse , il faut remarquer que la considération des courbes nous indique spontanément la double imperfection radicale que présente nécessairement la méthode précédente » et qui d'ailleurs n'altère aucunement son importaiÉce,aux yeux des bons esprits qui , suivant une tendance aujourd'hui trop rare , reconnaissent TimpossibQité nécessaire de faire jamais acquérir à nos règles quelconques , même analytiques , une perfection absolue. D'abord , le caractère ainsi indiqué par l'équation fondamentale , tang. a = 0 , f{x) s= o , n'appartient pas exclusivement aux points où l'ordonnée est maximum ou minimum : il pourrait convenir aussi à des points d'inflexion tels que M',M'' {fig. 34} , si la courbe y était convenablement tournée. Ce cas est d'autant plus possible que, comme l'indique )a fig, 33 , il existe toujours quelque inflexion entre

SECONDS PAHTIE, CHAPITRE DEUXIEME. li|.9

chaque maximum ou minimam et les minima ou maxima qui le comprennent , et rien n'empêche que l'axe ne puisse ôlre placé parallèlement à la tangente correspondante, quoique cette coïncidence doive être exceptionnelle. Sous cet aspect, l'équation J\x) = 0 peut donc contenir des racines étrangères à la question proposée, et dont le mélange exigera, en chaque cas semblable, une discussion spéciale] plus ou moins pénible. Mais un inconvénient beaucoup plus grave de ce caractère fondamental consiste à pécher aussi par défaut , comme la considération géométrique le dévoile nettement, en supposant une courflë susceptible de rebroussement, sans que l'ordonnée y soit pour* tant multiple. Dans les points N' et N" {fig. 34), l'ordonnée est certainement maximum ou minimun , tout aussi bien qu'en K' et R", et cependant la tangente, au lieu d'y être paraUèle à l'axe, comme en ceux-ci , lui est perpendiculaire. C'est en vain que , pour garantir aux méthodes analytiques une perfection absolue , nécessairement interdite à nos conceptions quelconques, on a imaginé des distinctions sophistiques , d'après lesquelles il n'y aurait pas maximum ou minimum en N' et N" *. il est clair que la définition abstraite de ces deux états convient tout aussi litté- Paiement à ces deux ordonnées qu'à celles de K' ou K'^; sans la figure il serait impossible de faire sentir la diversité des deux cas. Il est plus judicieux , en reconnaissant avec franchise que la méthode établie est, à cet égard ^ imparfaite , de remarquer que les courbes de ce genre, spéculativement aussi admissibles que d'autres , doivent toutefois s'offrir très-rarement dans

l'expression géométrique des lois naturelles^ parce que les chan-

gements brusques, géométriquement représentés par les rebroussements , y sont, quoique possibles, éminemment exceptionnels, envers tous les ordres réels de phénomènes ; ce qui doit rendre, au fond, peu regrettable une telle imperfection. 47. Avant d'abandonner l'étude des tangentes, je crois devoir

160 «ÉOMiTftlB PLASTB.

caractériser sommairemeat la méthode , histprignement rer marquable, par laquelle Rober?al, tootencombattanti avec une aveugle obstmation, la grande rénovation cartésienne ^ rendit , à sa manière , un témoignage involontaire du besoin de génè^ ralii^tion qui préoccupait alors Tesprit mathématique, en teatant un effort , plus estimable qu'heureux , pour constituer , sans le secours des conceptions analytiques, une théorie générale des tangentes.

Cette méthode consiste à concevoir le mouvement du point (pi décrit la courbe proposée comme continuellement décomposable en deux autres , dont les directions et les vitesses relatives soient exactement assignables : la tangente devient alors ^ suivant la loi des mouvements composés, la diagonale du parallélogramme construit, selon ces deux directions , avec des côtés proportionnels à ces deux vitesses. Par exemple , la première définition de Tellipse (n"" 19) montre que le point décrivant s'y éloigne autant de Tun des points fixes qu'il se rapproche de l'autre :| on le concevra donc attiré par l'un d'eux et repoussé par l'autre avec des forces égales , et la règle de Roberval assignera aussitôt , pour la tangente , la bissectrice de l'angle quQ fait l'une des droites avec le prolongement de l'autre ; ce que nous trouverons plus tard exactement conforme aux résultat» analytiques. S'il s'agissait de Thyperbole , cette considération indiquerait la bissectrice même de l'angle des deux distances, puisque celles-ci augmenteraient alors ou diminueraient à la fois, et d'ailleurs toujours également. Quant à la parabole, la méthode de Roberval y conduirait aisément, d'après la définition du n"" 20, à la bissectrice de l'angle formé par les deux distances constamment égales. Enfin, pour citer aussi une

courbe transcendante, à laquelle on doit d'ailleurs s*étonner historiquement que Roberval n'ait pu appliquer convenablement sa règle , considérons la cycloïde ordinaire {fig, 35) , où,

SBCONDE PAiVm, QH49PI« DEUXIÈME. \^i

fpfïl^qi^t anifué de 4ftii^ flf«)iHYemept3 , Vm ^ transl^t^pp^ BWHeteniP!?^ 4 ]t bwe AB, V^iiJre dp rotation , é{^\is le §^^9 4a ia tWiÇRte Ml^ f ^ çerçlp çQf rp^jIftAdaM : pujsqup |'^rc MN est gQo^tnq^neiit ^^1 ^ te 4^i»PÇ^ Aî*î le» de^J; mQuveçiputf eJwWfttWrgp p»t eqpof^ îp} 1^ ï^i^we vites^jj j la tangente dqif ^fic «WP'dPr jyeç ^T, bl^spcjnpe pvideqtp de V^^i^le KML.

^^ |ipijr^j}je$ flipplip^tippjs qi|Q çQDQpprtp q^e^uefois cettç flfl^^lp^ llfl (toiyppt dire awcftp? illu§iq^ sur sa çpnpralité

W«Wj W'W BP PPW»!t F^"W gi^'ep recourbât qiux con- «WMa»|ai»lFttïues,^e ^fçop ^ Reproduire , sou^ upe autfp tffWt W^P*^^ jriRijtive dps |pï}^eflte§i s^nf gue rintefl^iu^ dç ç^ fiQflSiWrf tiftïJS dy^awisiueç ea eût 4'aiUe.urs auqffimml ^MffiïWrP 1^ IPFfpM?»- Ç^r, en jmaginant aii^si le Tgs^t djéçff xY^pt 9WW^ » en général , de deux mouYements , l'un ]^f\ff^\i^ , V^ulire yprtiçal , la difficulté d'estimer le rapport ^ yllPSSP? QPU$j||$^er^ toujours à déterminer abstraitement la li^lite 4ja r^raort entre ^'^croissement de Fordonnée et celui de r^hspisse, ^ WWpe que la sec^onde position du mobile se rapgrot^e wdéfiçjmept de l^ prewi*?'® • pï^isque, si le mouvement |i^^ étfp SJtJipo^ iiolforipe d^n3 up sens , horizontalement par ^mAp} U^^ *W^^ l'ôJr^SRSsi verticalement, ^ moiçs ^ue le trajet ne fût recti%pp ; çç f0 Q}aigerft ^ ffftff ffiRspr^Sf ^^ Yitesse correspondante , à considérer Télévation verticale d'un point qui tende à se confondre avec le point donné. On revient donc rinri néeoBMtiromeBt , el A'afrts «ne eûnception fiu& ^nible parce qu'elle est moins directe, à ce problème analytique qui constituera toujoifi^ Ja d}%;ifJ^ fo/i^Oîentale de la théorie générale des tangentes : évaluer la limite vers laquelle tend le rapport de la différence de^ or^noâss à celle des abscisses , entre-deux points d'une courbe donnée dont l'un se rapproche indéfiniment dell'autre.

152 ÙÉOMÈÎtM PLANE

Il ne faat point, an reste , mentionner cette méthode de Roberyal sans signala* soigneusement les graYes erreors qae pourrait déterminer son application irréfléchie. En considérant , par exemple , la définition dn cerde (n<* 21) comme lieu d'nn point dont les distances à deux points fixes sont en raison constante, une telle règle semblerait assigner, pour la tangente, tout aussi clairement que dans les cas déjà cités ^ la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux distances : et cependant il est aisé de reconnaître que cette construction serait entièrement fausse. De même , la définition commune aux trois sections coniques (n"" 23) paraîtrait aussi indiquer une tangente dirigée suivant la diagonale du parallélogramme déterminé par les deux distances constamment proportionnelles : or, ce résultat, exaet pour la parabole, serait certainement erroné pour l'ellipse ou l'hyperbole. Ces exemples montrent suffisamment que la méthode de Roberyal , outre son inaptitude éyidente à une vraie généralisation, ne deviendrait même rigoureuse que d'après certaines précautions , à l'égard desquelles ceux qui désireraient une plus complète appréciation pourront utilement consulter le travail spécial de M. Duhamel , où ce sujet accessoire est essentiellement épuisé. Il serait ici superflu d'insister davantage sur une conception qui n'oflBre réellement aujourd'hui qu'un simple intérêt historique.