CHAPITRE III

Théorie des asymptotes.

48. Ge terme est naturellement destiné à qualifier deux lignes quelconques qui tendent continuellement l'une vers

SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. Ig3

Faitre , de manière à se rapprodier aotant qu'on voudra, sans cependant pouvoir jamais s'atteindre. Mais on l'emploie presque toujoars oomme substantif, pour désigner surtout les droites qui présentent enva*s certaines courbes une teBe relation. Les asymptotes rectillgnes sont , en effet , les seules dont la détermination puisse contribuer beaucoup à Cadre mieux connaître les courbes correspondantes. Elles sont directement propres à dissiper toute incertitude sur le sens de la courbure d'une (ourbe dans la majeure partie de son cours , puisque la courbe doit nécessair^nent être toujours convexe vers son asym[^ote , à partir du point où la tendance se caractérise, c'est-à-dire dès la dernière sinuosité : une courbe qui se rapprocherait indéfiniment d'une droite en lui tournant sa ocmcavité, ne saurait éviter de la traverser.

Outre ce motif fcmdamental de restreindre ainsi la recherche des asymptotes, il faut d'ailleurs reconnaître que cette question, si on Fenvisageait dans toute son étendue , serait d'une natinre beaucoup trop vague pour comporter jamais aucune solution vraiment générale. Car, denx lignes asymptotes d'une troisième pouYant toujours l'être aussi l'une de l'autre, toutes les courbes: sosceptibles d'asymptotes rectilignes peuvent , par cela même , être disposées de telle manière que chacune d'elles soit asymptote des autres, en faisant convenablement coïncider leurs asymptotes respectives. Il ne saurait donc exister aucun type f équation assez général pour embrasser réellement toutes les asymptotes curvilignes d'une courbe donnée» puisqu'il s'en trouve nécessairement parmi les courbes algébriques de tous les degrés possibles, et pareillement parmi les courbes transcendantes de toute espèce. Si on a cru quelquefois posséder des méthodes analytiques propres à une telle destination, c'est certainement faute d'avoir assez Compris l'étendue nécessaire de cette question. La recherche ne peut devenir sufflsamm^t prér

ihk GBOialTBIB PI.ANB.

cise qa'aiitant que Ton spécifie dans quelle ioHe de coQtbes oa dans quelle forme d'équations on cboiajt les asymptotes. Or , ainsi conçue, ladétwmination des asymptotes curvilignes résiste naturdlement , au moins en ce qu'elle peut offrir de yrainieiit utile, delà théorie des asymptotes rectUignes, eonmm on le reconnaîtra à la fin de ce chapitre.

Cette dernière théorie étant donc , à ce doiAle titre , la senle qui dolYe essentirilement nous occupa, il fout maintenant expliquer les deux méthodes très^istittcteB > qnoiqM nécasaai^ rement équivalentes» que comporte son institntioni soit d'après la théorie des taogentes > mt mdépendamment. Mais , av«nl tout, pour éviter des diseusaîons superflues, il eMvient 4ei remarquer que les asymptotes parallèles eux axes cooi4oniiéii peuvent d'abord être spécialement obtenues sans diffil^ultay comoM la prenne partie de ce traité noue en a oQmrt quddfws exemples spontanés , en reconneissant » presque à rinspeetîcNi 4s l'équation proposée, ^pie l'une des variabi^s y devient infini^ d'après une certaine valeur finie de l'autre î sons la réserve toutefois des explications qfi^ j'aprai natuffsUement U^u d'UnUr quer cirdessous sur le vrai sens général d'uQe Mie cppditioil analytique.

49. £n rapprochant eonveuahlement la dé(iiii|iot 4fi9 asjropf totes de oelle des tangentes, il est aisé da seiUir que loata asymptote constitue la limite néce^aiine d'wa m^ cf9fWfWv dante de tangentes, ou, en d'aiUres termes, peut étee Ofkjmfim comme une tangente dont le point de contact s'est éloigné jk rinfini : car, en même temps que ce point s'appro^ ai^si 4^ ra^rmptote , la direction de la tangente , déUm^wéa par I4 coïncidence finale qui la caractérise • te^ évidfPMpant é S0 confondre aussi avec celle de l'asymptote $ pourvu d'aiJUe^ra qu'on n'applique jamais une telle comparaison qu'é partir de la dwnière sjmosité, <A l'aiympMviqp çs^n/msm^ ):i^lkifmi4

SECONDE PARTIE , /CHAPRIIE THOBIÈME. 1&&

sçsmifiest^. Tel ^ le principe , émioemmeni simple et gé^é- 13} ,. de la prewèfe wéibode dep asymptote» ^ la seule pleiaement universelle, parce qu'elle comporte naturellement la même extension que la méthode des tangentes , dont elle oBre seoteoifiQt une Qoavçlle application. On voit ainsi qi^ , pour dôtmnioer le coe^ient angulaire et le.çoefficjmt linéaire Birppres à Tasymptate , il suffit de supposer ingnùsit les coordfHWM ^^ point d(9 contiaçt dans les deuj: formules rdatives k xmt^pwnh^ iffi/^nnw^ confor«i4ment au chaiHlr^ précédât, .

11» TâletNTs con^espoodantea da a el 6 feront flonnalfare Texisteiifte, te Dovbre» et la situatipu des ssyvqilDtef durckées. Qnanl tH cai dlrapofisibilité , il faut bien distingser, sutyant Tesprit é» h question, ttiti« les courbes iermées et les eourbes indéfinies. Pour les premières , si , par inadvertance , on y poursirîvait une recherche évidemment contraire à leur nature, ce calcul SQ avertirait maebkialement ^i attribuant \ a^Khèi^ valeurs imagiBaôres ^ puisque k supposition de Tune des variables infi« nie y rendrait Vautre imaginaire. Mais, epvers les courbes indéfinies, qui s^les compoirtent ralsonnad>lement une tette êtade, la valeur extrême de ^ ne saurait être imaginaire, ni , pir SQÎle, celle de Zr ; car, soit que la courbe ait ou n'ait pas f aqmqptotes > il existe a^rs une limite ftéoessaire de la direo^ lion des tangentes, d'ailleurs toujours utile à connaître. L'exis* ieace ou l'absence des asymptotes sera donc annoncée par la cohérenœ ou l'indompatibllité entre ces valeurs réelles de ^s et de 6: eu termes plus précis, les ai^mptotes obliges seront ainsi indiquées ou interdites suivant que Ton trouvera b fini ou infini.

Si, dansTusage de cette méthode, les commençants éprouvaient d'abord quelque diffieulté à calculer direoteaient les

156 GÉOUÉTAIE PLANE.

hypothèses x= oo , ^= oo , ils pourraient en éhider aisément rembarras, d'après la précaution algébrique de transformer

préalablement :r et^ en- et -, afin de supposer ensuite ^ = 0 ,

u=0, quand la formule aurait été ainsi convenablement préparée. L'habitude d'un tel expédient finira d'ailleurs par indiquer spontanément le moyen de s'en dispenser, en faisant bientôt ressortir les principes relatifs à la substitution directe de l'infini , laquelle , quoique moins simple que celle de zéro , consiste essentiellement à ne cœiseryer , dans chaque formule algébrique, que le terme du plus haut degré.

Cette première méthode des asymptotes n'offre yraiment d'autre grave inconvénient analytique que la diflBculté très-fréquente de discerner ainsi les valeurs extrêmes de ^ et de 6 , qui s'y présenteront souvent sous une f(Mrme d'abord indéterminée,

0 oo

soit-, ou^, ou tout autre symbole équivalent. Ala vérité, l'a-

nalyse transcendante fournit ensuite des procédés propres à compléter une telle solution, en dissipant presque toujours une semblable équivoque. Mais, outre que l'obligation d'y recourir complique alors la détermination, les faibles connaissances al* gébriqu^ que j'exige ici du lecteur nous en interdisent l'usage ; en sorte que cette imperfection naturelle doit actuellement esa-

traver beaucoup Tapplication d'une Jelle méthode , d'après le peu de portée des artifices que fournit , à cet égard, l'algèbre élémentaire. Sans doute^ il serait vicieux de regarder cet inconvénient comme strictement propre à la question in*ésente ; car, il est inhérent à toute évaluation qudconque des formules analytiques, et pourrait aussi survenir pour une situation finie du point de contact. Toutefois, il faut reconnaître que, surtout envars les équations algébriques proprement dites, que nous considénms ici principalement, des coordonnées infinies occa-

SEGONDB PARTIB. GHAPITRE TROISIÈIIE. IKf

rioDneront plus fréquemment que d'antres ce graye embarras, le senl conseil général qui^ sous ce rapport, convienne maintenant an lecteur, consiste à réduire d'abord» dans cbaque formule à évaluer , les deux variables x et^ à une seule, d'après réquation proposée, et à préparer ensuite Texpressicm de manière que la variable indépendante n'y entre que d'une seule manière , ce qui ne sera possible que dans les cas sulfisaounent simples : quand cette dernière condition aura été remplie, Tindètenmnation cessera nécessairement.

Soit, par exemple, l'équation commune des trois sections coniques (n** 23)

On aura ici

a^ss, — : eto=^^

Rapportant tout à a: , il vient

\/{n^—i)x' + 2dx—d' \/(rî'—i)x'+2dx'^d\

n sufiBt de diviser par x les deux termes de chaque fraction pour que cette unique variable n'y entre plus que d'une seule manière, de façon à dissiper toute indétermination ; car, alors

-+n'-l rf-rfff^

^ ^ , \xJ

d comme -devient nul quand x est inflni , on trouve enfin , sans

équivoque

158 GliOHÉTftlG PLANE.

Saitant notre appréciation générale, ces taletifS ne sont imaginaires qne dans Tellipse , où n est infériear à 1 . Pour l'hyperbole , oô /i> 1 , elles indiquent deux asymptotes syntétriquement placées envers Taxe de la courbe et s'y croisant sta centre , ainsi qoe le lecteur peut aisément le constater. Quant à la parabole , où /z =s 1 , la valeur de a est nulle, ce qui assigne Taxe comme la limite unique de la direction des tangentes ; mais b devient infini , ce qui constate l'absence d'asymptotes.

Considérons encore l'équation On y trouve

d'où

<3g= , . et fc'sr — .

La seconde formule ne présente aucune équivoque , et donne 6=0 pour ^ = 00 . Quant à là première, il suffît encore d*y tout diviser par x" , en écrivant

VW^'

X n'entrant alors qu'une seule fois, on trouvera aussitôt» d'après ar=oo, ^z= — 1. Ainsi, l'équation de l'asymptote est finalement^ = — j:, qui indique ta bissectrice du second angle des a^es.

Quoique ces exemples pussent faire illusion sur la hcilité de surmonter les inconvénients algébriques propres à cette première méthode des asymptotes , il serait superflu de les multik plier ici davantage , puisque nos réflexions générales ont déjà suffisamment caractérisé de tels embarras , dont la troisième

SECONDE ^AEftE, CttA^jftlB TROISIÂUE. iS9

iMHife fle ce fraité noiis fournira de fréquentëé ocif^aàf otis de seti- Hf qnécraleBielit la gratité.

50. Ge»i sni^totit comme sjyontanément dégagée d^utie telle ilk|iélfectioii pratiqâe^ qae se recommande , envers le^ courbes UgâbH^aes prof^-ement dites , la seoonde méthode des asymp- WOA, qtill faut maitttéttatit expli^elr. Diteetemeiit indépen- Mît fc ta théorie des tangentes, Te principe de cette méthode iMIHMe i mAr^ dans tonte asymptote , ane droite dont deux intéTicciollÉ avec ta courbe se sont éloignées à ri&flni. Pour Mèit apiMciet eettte iôotitoeption , iï fant enti^ager séparément riHÉfiRMe d'nne teBe hypothèse enterè dià(}ne ilitct^eeiion. St, MM la eôlitée BG {fig. 9%), dont AD e^t Tasymptoie, on consièète mie ^élsante quelcdiiqne M'M'', tonrtiant autour dé M', de Mte manière que M'' s'ett éloigâe indéfiniment j il est clair que, t la Hmite M'N, au ddft de laquelle lé second point M'' réparâttraft sur l'autre parHe Ae la courbe , la droite sera devenue pâr^èlé à Tasymptote : quand le point M'' sera à l'infini , il appartiendra, en effet, indifi&remmcnt à la coarbe et à l'asymptote. <3e ipfrèmiér mouvement , exactement inverse de celui qui produit les tangentes , détermine donc , en chaque point quelconque de la courbe , une direction fixe , parallèle à Fasymptote , ou , fAuls généralement , à la limite de la direction des tangentes. Or, si maintenant on fait aussi varier )e point M', en opérant une pareille rotation en un point de plus en plus éloighé ^ur la courbe, et par suilb de plus en plus rapproché de l'asymptote, il en résultera une droite qui , toujours parallèle à fcSle-ci , tendra à se eonfondrè avec elle , comme d'après utte tHiflslatfon directe. Ainsi , Tasymptote constituera natureBe- Iftent la Ifmritë finale dès sécantes dont deux intersections otit ^Dsparu à Tlnfinl. La niécèssité de se borner à deux intersecliod», ttns rien préjuger sur les autres quelconques, résulte ici, "ISbmilie dates la théorie des tangentes , du nombre de points

180 aiOMÉTRIB PLANE'

propre à déterminer une ligne droite. Un seul point à Tii commun avec la courbe ne caractériserait pas sufifisamment Tasymptote , en tant que pouvant également convenir à toutes ses parallèles; mais trois points seraient superflus, et ne sauraient môme être facultatifs , pas plus qu'envers la tangente : la disparition ou la persistance du troisième point après Téloignement des deux premiers dépendra de ce que , suivant les cas , la droite ainsi obtenue serait également asymptote ou simi^ement sécante envers une autre partie de la courbe proposée.

II suffit de rapprocher une telle conception de celle qui sert de base à la première méthode , pour sentir aussitôt TéquivaleDoe nécessaire des deux principes : puisque, d'après la coïncideiice finale qui définit les tangentes, une tangente dont le point de contact s'éloigne indéfiniment constitue naturellementunedroite ayant à l'infini deux points communs avec la courbe. Mais, afin de mieux apprécier ce rapprochement fondamental , il importe de partir d'abord du contraste préliminaire ci-^dessus caractérisé , quand la première intersection a seule disparu , et en édaircissant d'ailleurs le discours par l'exdusive mention des courbes qui ne comportent pas plus de deux points en ligne droite. Nous avons ainsi reconnu que, en chaque point d'une courbe indéfinie, il existe nécessairement deux directions trèsdistinctes selon lesquelles une droite ne coupe qu'une seule fois la courbe : l'une, celle de la tangente^ variable d'un point à un autre , laisse toute la courbe adjacente d'un même côté ; l'autre y parallèle à l'asymptote, ou à la limite de direction des tangentes, est toujours la même en tous les points , et pénètre dans la concavité de la courbe : la première résulte d'une rotation qui rapproche indéfiniment l'intersection mobile de l'intersection fixe; la seconde provient d'une rotation inverse, qui, au contraire, écarte indéfiniment l'une de l'autre. Or, ces deux modes si différents d'établir l'unité d'intersection tendent à se

SECONDE PABTIE, CHAPITEB TROISIEME. 161

confondre , à mesure que le centre commun de ces deux rotations opposées s'éloigne de pins en plus : et les deux liniilcs partielles coïncident nécessairement quand ce point est à Tinfini. Telle est l'explication générale de l'équivalence fondamentale de deux conceptions qui , sous un certain aspect , semblent d'abord contradictoires.

Quoique cette nouvelle manière d'envisager les asymptotes coïncide géométriquement avec la précédente, la forme qui lui est propre conduit à une métbode analytique très-différente de la jM'emière, et ordinairement bien plus commode, mais seulement envers les courbes algébriques. II suffit ainsi , en effet , pour déterminer les deux coeflBcients de l'asymptote chercbée /=£«:-}-&, d'éliminer^ entre cette équation et celle de la courbe donnée/ (x, ^) =3 0, afin de constituer l'équation finale^

de façon que deux de ses racines deviennent infinies ; ce qui fournira deux relations , d'après lesquelles on calculera a et b. Hais , quoique ce principe soit pleinement général , on ne saurait prescrire aucune règle fixe quant à la manière de formuler une telle condition analytique, soit à l'égard des équations transcendantes, soit même envers les équations algébriques surcbargées de fonctions fractionnaires et surtout irrationnelles. C'est seulement pour les équations rationnelles et entières^ d'un d^é quelconque d'ailleurs , et de la forme ,

Ax--}-Rr~-' + Cx"-'+etc... + Kx+L=0,

([ne l'on peut nettement caractériser d'avance l'existence de

deux racines infinies , en y concevant x remplacé par - , afin

de ramener ce cas à celui des racines nulles. Le lecteur le

moins exercé aux spéculations algébriques pourra ainsi consta -

162 GÉOttfiTlUE PLANE.

ter aisément qu'une première racine infinie suppose annulé le coefficient du plus haut degré, et que chacune des autres exigerait l'annulation de l'un des coefficients suivant;» d'après l'ordre naturel des exposants. En développant de cette manière l'équation/ (X , ax-}- ^) = 0 , on obtiendra donc les deux ooq^

dilions

propres à déterminer a et 6 Si leur accomplissement entratne exceptionnellement l'annulatiou d'un ou plusieurs des coefficients suivants G, D, etc., l'asymptote obtenue se trouyera convenir aussi à autant de nouvelles parties de la courbe.

L'entière appréciation de cette méthode et sa judicieuse appli-< cation exigent' également que l'on s'attache à bien interpréter chacune de ces deux conditions algébriques. D'après sa formation, la première, A =0, sera naturellement indépendante de 6, tandis que l'autre le contiendra avec a; ce qui pourra faciliter beaucoup l'évaluation successive des deux inconnues. On voit que cette circonstance algébrique correspond à l'importante remarque géométrique ci-dessus expliquée, que la disparition de l'une des intersections , en laissant làubsister Tatilre , détermine la direction fixe de la droite , quel que puisse être son coeiBcient linéaire; en sorte que l'indépendance nécessaire du coefficient angulaire envers celui-ci se trouve ainsi confirmée analytiquement, outre son évidence directe. Cette sépararation spontanée des deux parties de l'opération est donc pleinement conforme à la nature de la question , et constitue l'un des principaux avantages de la méthode actuelle. Judicieusement utilisée, elle tend à simplifier extrêmement les calculs dans un grand nombre de cas. Si, en efiet, on procède d'abord à l'évaluation propre du coefficient angulaire de l'asymptote, suivant l'esprit d'une telle recherche^ on pourra former l'équatioa correspondante , A = 0 , en substituant seule-