SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME

ment jr s= a:r , puisque , b n'y deyant pas entrer, elle sera la même que pour ^=0. Or, cette substitution monôme*, très-* facile à pratiquer, et d'après laquelle on déterminera a par Vannulation des termes du plus haut degré, équivaut réellement à ce que renferme d'utile une métliode mal à propos qua-

lifiée de nouvelle , où Ton cherche la limite du rapport - pour

X et X infinis, sauf à calculer ensuite, quant au coefficient linéaire , la limite correspondante de ^ — ax ^ il est aisé de sentir que cette prétendue innovation ne constitue qu'un simple changement de forme dans Tancienne méthode ; et que cette récente transformation, très-défavorable envers le coefficient linéaire , n'offire véritablement , à F^ard même du coefficient angulaire , aucune utilité qui mérite une mention plus spéciale. 11 importe d'autant plus de séparer ainsi habituellement les deux parties de la recherche des asymptotes, que la détermination propre du coefficient angulaire correspondant constitue, par sa nature , une question commune à toutes les courbes indéfinies, avec ou sans asymptotes, indiquant, pour chacnnç d'elles , la limite , toujours utile à connaître , de la direction des tangentes. Enfin , il faut aos» remarquer que cette première notion offrira «eiile^ en beaMoap de cas, ime véritable difficulté; parce qu'une judicieuse discussion préalable de Té- ^ntion, ett même de la simjde défiaîtioii , imposera souvent aux asymptotes possibles des restrictions spontanées relativement à ienr coeffident linéaire , dont il sera 4é8 lors superflu de s'occuper distinctement. C'est ainsi, par exemple, que la dodde symétrie de Thyperlx^ nous avertit aussitôt que , si ceUe courbe a des asymptotes , elles doivent se croiser symétriquement an centre; en s(»*te qu'il suffira de déterminer leur oorifident angulaire j par la simple sobstitotion de ax an lieu if dans l'équation ci-^hssw conridérée, ce (f^ reproduiFa trèsdsénail le résultat déjà oblena.

jefr GJBOMETEIE PtANE.

En appliquant rensemble de cette seconde méthode des asymptotes à l'équation

on aura l'équation finale

(a'+l) jç^+Za'bx' + Zab'x+ib^—i) =0, d'où

a3+l=0,et3a'6 = 0;

ce qui conduit ka= — 1, et 6=0, conformément à la première méthode. On voit ici que l'autre terme en x s'annule simultanément, en sorte que la troisième racine ne peut alors éviter d'être pareillement infinie; ce que] nous reconnaîtrons plus tard spécialement conforme à la nature de cette courbe, où l'asymptote s'adapte également aux deux parties^

Soit encore l'équation

on y trouve les deux conditions

qui donnent a ^*—l , ^sI; et, par suite, l'asymptote est j^-}-x=l: on reconnaîtra semblablement qu'elle convient aussi à toute l'étendue de la courbe.

51. Quoique les deux méthodes générales que nous avons successivement établies soient les seules vraiment usuelles que nous devions appliquer habituellement dxOL courbes algébriques, il ne sera pas inutile à l'instruction logique du lectear déconsidérer sommairement une autre méthode qui semble d'abord très-distincte des deux. précédentes, et qui, mieux appréciée , ne constitue , au fond , qu'une transformation, d'ailleurs nullement avantageuse, de notre seconde méthode. Cet exemple caractéristique pourra couU*ibuer à foire éviter cette déplorable fécondité, qui, portant essentiellement sur le style