SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME

aiuilf tfqae sans atteindre réellement la pensée géométriqae, encombre trop souvent les ouvrages mathématiqaes d'une vaine répétition de }a même notion sous des formes diverses j dont la plapart doivent être écartées.

Le principe de cette troisième méthode reposerait sur Tinflnence algébrique de la coïncidence de Tasymptote cherchée avec l'un des axes des coordonnées. Si Taxe des x est asymp tote , l'équation, devant fournir deux valeurs infinies de a: pour ^=0, devra manquer des deux termes en a: du plus haut exposant. Quand cette condition ne sera pas spontanément remplie , elle indiquera que Taxe actuel n'est point une asymptote de h courbe proposée : mais on conçoit qu'un tel effet analytique résulterait du choix de l'asymptote pour axe. Donc, en opérant, dans l'équation donnée, / (j:, y) = 0, une transposition d'axes totalement indéterminée, cett Substitution,

/(je/ cofl X'+y cos Y'+a, x' sin X' +/ sin Y' + 6) = 0 ,

permettra de discerner les valeurs des constantes introduites a, €, X\ Y', propres à l'accomplissement de cette condition , d'après l'annulation des ooeiBciénts totaux des deux plus hautes puissances de x seul ; et l'asymptote cherchée se trouvera détermittée.

En considérant l'ensemble de cette opération analytique, on sent d'abord qu'elle contient d'inutiles complications, puisqu'eUe ne fournit que deux équations pour calculer des incon* mes qui semblent y être au nombre de quatre. Gela tient à ce que le caractère adopté exige seulement que Fasymptote soit prise pour axe des x^ sans rien prescrire envers l'autre axe, ce qui permet et même prescrit de ne point changer celui-ci , en sorte que l'on peut et doit supposer Y'x= 90"*, et a =s 0 ; la disponibilité de ces deux constantes ne saurait faciliter en rien* l'accomplissement effectif des conditions convenables , et snrchar-

gcraii Inatilement les calcals. L'équation précédente se rédait donc , an fond , à

/(o/cos.X', :c'sinX'+/+6)-=0, '

Or, comme op n'y doit Qpfileppept c(mi4<ifor qw )M ferRies en 3d saul ^ on pourrait wcpra facilita l^or fonmUoii w pwm( d'ii?9Dceyx=:0| ee gai donnmi, w d^mi^ Uep, l'^WiliP^

/(jc' cos X', jt/sinX'+Q =0,

où il s'agit d'annuler les coefficients des iRxa^ terpies prépondérants y afin de déterminer |es inconnues X' et 6, ^ni rpprésepr tept le coefficient angulaire et le coefficient linéaire c|e l'asjfrpiptote cherchée. Ainsi dégagée dg toute sppeffl^ité algébriijn^, cette opération équiyaut évidemment à former les 4eux équations propres à la s^nde méthode ^ avec cette unique innovation, nullement favorable^ que l'angle X' y entrera maintenant par son sinus et soa cosinus, au lieu de sâ seula tangepte.

Cette appréciation finale d'une méthode gn'nn v^ip ^ppar^il an^Iytiqn^ présente d'a))prd très-spécieusem^t compie distincta^, peut suggérer anx élèves et aux prof^seurs d'utiles rapprochements semblables fuyeir; plusijsiuni ^u^res gpe$tiops, qu'il ne convient pas de mentionner ici.

52. Aucune de nos jdeux niéUiodes n'étant arrêtée p^r ('indé^jDrmination des coefficients dans les ^qpa^pnçi p^K^sées, pourvu que les exposants soient spécifiés , cjiaçpp^ d'elles , appliquée en seps inverse , oopdpit aisépjient à fo^mpler les conditions analytiques de l'a^ymptotisme entre une copr]i)e, donnée seulement d'espèce , mais incppnue de grapdeur pp djç position , et une droite entièren^ent donnée, Il suffira d/e ^chercher, d'après l'équation proposée ,

les coefficients angulaire et linéaire de l'asymptote correspon-

SECONDE PÀKTnC , CHAPITRE TROISIÈME. 16T

dante, saiVant celle des dcnx méthodes qne Ton croira devoir préférer, et d'en égaler l'expression aux valeurs respectivement indiquées par la droite donnée. On formera ainsi deux relations tendant à déterminer les constantes inconnues de la courbe a, 6, 7, etc. , conjointement avec d'autres conditions déjà formu-« lées y comme des passages ou des contacts : on vérifie ici que * foute asymptote équivaut à deux points pour la détermination d'une courbe quelcbnque, selon f esprit de notre première fliéorie , qui reçoit maintenant une nouvelle extension générale. L'opération est donc la même que lorsqu'il s'agissait de trouver Tasymptote : il n'y a maintenant de changé que la destination altérieure des deux conditions obtenues , où il n'est plus indispensable alors , si l'on emploie la seconde méthode , de dégager ks eoefficients de l'asymptote.

Cette question conduit naturellement à la recherche des asymptotes curvilignes d'espèce donnée, dans le cas, seul vraiment usuel , où les courbes proposées seraient toutes deux susceptibles d'asymptotes rectilignes , en y constituant alors la coïncidence de ces a^ymptpt^s. |1 est d'ajbord évident que , si la courbe donnée a une asymptote , la courbe cherchée en devra admettre aussi , sans quoi leur asymptotisme mutuel serait cou* tradictoire. Gda posé, un tel asymptotisme pourra toujours être conçu comme consistant en ce que les deux courbes comportent une asymptote commune y et par conséquent cette question rentrera dans la précédente , après avoir d'abord' déterminé l'asymptote de la courbe donnée. Si f(x ^y)=0 désigne son équation , ^ (x, ^, a , €, 7, etc.) = 0 celle de la courbe cherchée, en adoptant la deuxième méthode , on substituera préala- Ueme&t^=ax4-& dans la première, afin de calculer, à l'ordinaire, les valeurs de a et 6 propres à l'asymptote ; quand eDes seront obtenues, on fera la substitution déterminée y^^ax-^b dans la seconde équation > et l'annulation des deux

168 GliOKÉTRIE PtANB.

plos haates puissances y formulera les conditions nécessaires de Tasymptotisme proposé, qui , ainsi conçu, ne contribuera jamais que comme deux points à la détermination de la courbe cherchée. L'introduction de l'asymptote commune , ultérieurement

^éliminée , aura finalement servi à faciliter beaucoup la forma-

* tion de ces deux relations.

53. Il ne reste plus maintenant qu'à considérer les conditions d'asymptotisme entre des courbes qui ne comportât pas d'asymptote rectiligne , et qui cependant peuvent être souvent asymptotes Tune de l'autre , conune il est aisé de le faire sentir par quelques exemples. C'est ainri que deux paraboles égales , placées sur le môme axe, sont nécessairement asymptotes l'une de l'autre , d'après leur seule définition : la comparaison de leurs équations le confirme d'ailleurs très-clairement en montrant qu'il existe alors une différence constante entre les carrés de leurs ordonnées , et, par suite , une différence indéfiniment décroissante entre ces ordonnées eUe-mémes. On trouverait pareillement que les deux courbes

sont nécessairement asymptotes l'une de l'autre ; ce qui comprend une infinité d'exemples distincts quoique analogues^ d'après l'indétermination des exposants p et q.

Le principe fondamental de notre seconde méthode s'adapte également à la recherche directe des asymptotes curvilignes , pourvu qu'on y définisse convenablement l'asymptotisme. Cette affection géométrique doit, en effet, autant que celle du contact, dont elle offre , an fond , une pure modification générale , être regardée comme susceptible de degré , suivant les explications du n"* 44 , où il suffit ici de remplacer la coïncidence des intersections par leur éloignement à l'infini. Une droite , toujours déterminable d'après deux points , ne comporte envers une

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courbe quelconque , que le moindre asymptotisme , oorrespondant à deux intersections infinies. Mais une parabole , dé* terminée seulement par quatre points , serait susceptible , à regard des mêmes courbes , d'un asymptotisme plus prononcé , où quatre intersections disparaitraient. Ainsi le mode ordinaire suivant lequel est posé le problème des asymptotes ne saurait être sufiSsamment précis qu'envers la seule ligne droite , et constituera , pour tout autre genre d'asymptotes , une recherche nécessairement indéterminée. En s'y bornant , il suffira donc d'éliminer j^ entre les équations des deux courbes considatées,

A^'i ^)=0, f(:r, y^ a, €, 7, etc.)=0,

et d'annuler les deux premiers coefficients de l'équation finale ; ce qni fournira deux relations entre les constantes inconnues a, 6, y, etc. de la seconde courbe. Un tel asymptotisme ne contribuera encore que comme deux points ordinaires à la dé-termination ultérieure de cette courbe.

Quoique ce procédé soit généralement applicable aux courbes algébriques, on conçoit que son usage deviendra souvent impraticable, à cause des difficultés analytiques que suscite réiimination . fondamentale , quand les deux équations sont assez compliquées pour qu'on ne puisse l'accomplir par substitution; ce qui oblige de recourir aux méthodes, spéculativement suffisantes , mais habituellement impraticables , que fournit, à cet égard, l'alg^re supérieure. Tel est le principal motif qui doit faire sentir l'importance de la solution ci-dessus expliquée envers les courbes susceptibles d'asymptotes rectilignes ; et où cet utile intermédiaire permet d'éluder heureusement ces graves embarras algébriques.

Pour que la recherche des asymptotes curvilignes devint , en chaque cas, aussi précise que celle des asymptotes rectilignes , il faudrait y pou^r toujours l'asymptotisme jusqu'au

170 géoMtrie plane.

d^gré inanlué par le nQmbre de points déterminant, comme ie Ta! expliqué, au no 44, à Tégard du contact. Alors, par e](emple , la parabole asymptote serait celle dont les quatre intersections avec la courbe donnée s'éloigneraient simultanépoient à l'infini ; ce qui fournirait quatre conditions nécessaires, ^'après l'annulation des quatre premiers coefficients de l' équation finale correspondante, où quatre racines devraient àla fois dey.epir infinies. En rapprochant conyenablement ces ie^x. graqjtjes questions géométriques ^ on reconnaît aue la iiiéai(3 équation permet de formuler , tantôt chaque degré de contact . tantôt chaqfie ^egfé d'asyn^pto^ism^ , eo y j^xprip^ant qu'an certain nombre de racines deviennent tantôt égales , tantôt infinies , la seconde relation y étant d'ailleurs bien plus facile à constituer que la première.

54. Afin de ne rien omettre d'usuel relativement & cette troisième théorie générale, il nous reste à y considérer sommairement , à titre de méthode subsidiaire propre à certains cas, un artifice analytique assez étendu ; quoique son importance ait été vicieusement exagérée , son judicieux emploi comportera quelquefois une véritable utilité^ pour trouver commodément diverses asymptotes , tantôt rectilignes , tantôt curvilignes. Il repose sur la décomposition de la fonction , algébrique ou transcendante, qui exprime l'ordonnée d'après l'abscisse , eii deux parties dont l'une s'anéantisse quand Tabscisse y devient infinie ; l'autre partie représente dès lors l'ordonnée d'une ligne nécessairement asymptote de la proposée. Si , en effet , on a

et qu'on suppose (j> ( oo) = 0 , il est clair que la différence de

cette ordonnée à celle de la ligne z = y (x) ne peut s'annuler

pour jc infini sans devoir finir par décroître indéfiniment pour des valeurs croissantes de x. On conçoit qu'il en serait ainsi , à