SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈBIE

plos forte raison , si les équations, an lieu de contenir j^ et s à la llemière puissance, en renfermaient d'égales puissances quelconques ; puisque l'asymptotisme existerait alors , d'après une remarque antérieure , quand même la différence des seconds membres , au lieu de diminuer , resterait constante : ce qui ppnrra augmenter un peu la portée de cet artifice, en n'obligeant pas à dégager totalepient j^. Il faut d'ailleurs reconnaître que, si la fonction f (x) est composée de plusieurs termes , on en pourra joindre telle partie qu'on voudra à la fonctiony*(^), sans altérer aucunement la remarque fondamentale, et de

inaQiëre à cAtenir de nouTelks asymptotes. Mais il est éTÎdemr ment indispensable de ne laisser dans la fonction «p {x) aucun terme autre que ceux qui s'annulent pour a: infini.

A l'égard des équations algébriques , que nous devons id avoir essentiellement en vue , cette fonction 7 (jc) se composera de puissances négatives, soit entières, soit même fractionnaires. Il n'en pourra point existeff quand rordoDoèesisra uiue fonction fatioBiidIe et entière de Tabseisse. En tout aytre ^as, leur inlrodoctioB s^a spontanée où deviendra facultative , en iévéLof^ pant convenablement les quotients ou l^s nc^icaux , suivant les règles de division ou d'extraction. Quoique ces dévdopper nenll doivent ordinairanent faire naître joac suite infinie de pireya tennes, cette circonstance ne saurait, évidemment, opposer aucun (4)^acl0 à la détermination des jaisjmptotes cor? respondantes ; pourvu qn-on n'y omette ^ueun des termes A exposants postttfis, on y poorra comprendre autant et aussi pe« qu'on voudra des anlita. Par ^:emple , envers l-éqnatioii

^•^ jc^=zi^ considérée ci-dessus, on aurait^ =— y^x^ — 1 , et l'extraction de la racine ne donnerait que le terme ^ affecté d'exposant positif; ce qui reproduirait aussitôt l'asymptote y = — X , d^à obtenue.

Outre sa restriction évidente , cet expédient analytique est

surtout imparfait en ce que la nature des asymptotes n'y saurait être facultative, eu sorte que le plus souvent il indiquerait des courbes fort oiseuses , sans déterminer les asymptotes rectilignes , qui seules peuvent habituellement offrir un véritable intérêt. Mais il importe néanmoins de connaître un tel artifice^ pour en faire un judicieux emploi dans les cas qui le permettront , comme nous aurons lieu d'en citer ultérieurement quel— ques exemples remarquables, au delà même des équations du second degré , trop exclusivement considérées à cet égard.