SBGONDE PARTIE , CHAPITRE QUATRIÈME

compliquées que la première , ils comportent néanmoins une commune équation , où le coefficient angulaire de ces cordes reste indéterminé, en sorte que ses valeurs spéciales y produisent tous les diamètres particuliers , quelque distincts qu'ils poissent être, d'après l'influence analytique plus ou moins intime de cette constante caractéristique. C'est une telle équation générale qu'il s'agit maiatenaut de déduire de celle de la courbe proposée. .

Bien qu'il convienne de traiter ici cette nouvelle théorie géométrique avec toute la généralité possible, il faut cependant reconnaître que , par sa nature , elle ne saurait offrir, comme les théories précédentes , et aussi comme les suivantes, un égal intérêt envers toutes les courbes. En effet, l'étude des diamètres ne contribue réellement à faire mieux connaître chaque courbe que quand ces lignes sont beaucoup plus simples que celle qui les engendre , et surtout lorsqu'elles sont droites. Or, au contraire , les diamètres constituent presque toujours , comme on le sentira ci-dessous , des courbes plus compliquées que celle d'où ils proviennent ; et c'est seulement envers les coarbes du second degré qu'ils deviennent indistinctement rectilignes. Cette théorie n'a donc pas , en général , autant d'importance géométrique que les six autres traitées dans cette seconde partie.

On peut l'instituer d'après deux méthodes analytiques bien distinctes 9 quoique également générales, au moins envers les courbes algébriques, l'une très-naturelle et fort directe, mais d'une application trop pénible, l'autre trop artificielle et trop détournée , mais finalement plus usuelle.

56. La première méthode , facile à concevoir, consiste à formuler spontanément chacune des conditions de la définition , en introduisant, comme variables auxiliaires, sauf leur élimination ultérieure , les coordonnées x\y\ et 3d\ y, des deux

17fr GEOMETRIE PLANE.

extrémités d'ane quelconque des cordes considérées. En nommant r et u les coordonnées indéterminées d'an point da diamètre, et m le coefficient angulaire des cordes correspondantes, on aura d'abord ainsi les trois équations fixes

auxqadles se ji^dront mtardkaMBt , ea chaque cas , les éenx éqaations spéciales

exprimant que les points introduits appartiennent à la courbe donnée /(x, ^) = 0. Il suffira donc d'éliminer , entre ces deux groupes d'équations, les quatre variables auxiliaires :i/,y , J^^^^y^ pour obtenir aussitôt l'équation finale f (£, u, m)=0^ propre à l'ensemble des diamètres considérés. Quoique le. premier groupe ne se compose que d'équations du premier de^ré , la double élimination à laquelle devra présider le second groope deviendra souvent presque impraticable,, quand la courbe donnée sera d'un degré un peu élevé , môme avec un petit nonlirei de termes. On sait d'ailleurs que l'extrême imperfectioa de l'analyse mathématique ne permettrait presque jamais une pareille opération envers les courbes transcendantes, si une semblable recherche y pouvait offrir un véritable intérêt.

Un seul exemple caractérisera sufiisamment ceUe méthode , sauf ses embarras analytiques, qu'il est aisé de concevoir en général , et que le lecteur devra i^écial^neut sentir par quelques exercices spontanés. Soit la courbe ^=x^; les deux équations variables seront ici y = x^^ y" =sx'^^ i en y ayant ^ard , les équations fixes deviendront

entre lesquelles il reste à éliminer x* et a:'^ Or cette élimina-

SECONDE PARTIE, CHAPITEE QUATEIÉME. 175

tioD s'accomplira aisément par sabstitution , d'après la Gombi- Daisoa des dcat équaticos extrêmes , qui adonne

flen résidtôinalement, poxir Teiisemble des diamètres, Téquatton

en t^prenant là holàtion habituelle des GoordObnées , quand elle ne comporte plus d'équivoque.

Si Toi) voulait seulement exécuter tlâ semblable calcul envers les conrbe8y=±x*o\if*=zJi^, tcutt peu différentes de la précédente, oti éprouverait des difflcaltés algébriques trèsoonsidérabfes.

57. Tout Tartidce de la secobde tnétbode repose sur cette observation évidente que les deux extrémités de chaque corde acquièi^tit nécessairement des coordonnées égales au signe près quand on place Torigitte des axes au point correspondaiit du diamètre. Ainsi les points du diamètre peuvent être réciproquement caractérisés par cette aptitude analytique, qui ne saurait convenir à d'autres. Si donc on opère, dans l'équation donnée /(j:, ^) = d, un déplacement d'origine indéterminé, {Mir la substitution aocoatûmée à^ t'-\^xei u-\-y au lieu de jc et j^ , il faudra chercher la relation entre têtu propre à rendre la nouvelle équation J'it-^-x^u 4-^) = 0 susceptible de fournir pour X , et dès lors pour ^, deux valeurs égales au signe près 9 quand on y supposera y^=imx, équation de la corde coirespotidànte. En conséquence , la question consistera finalement, après avoir changé , d'abord x en^-f*-^ ^ y ^^^ tt-f mor , à découvrir la condition d'une telle opposition algébrique entre demc ràdùes de l'équation

OÙ < et li figuroront , à titre de constantei arbitraires , parmi

176 GEOMETBIB PLANE.

les divers coefficients. Or pour résoudre ce problème d'algèbre , il suffira de constituer la divisibilité du premier meaibre de celte équation par un binôme du second degré x^ — a^. L'élimination de Tindéterminée auxiliaire a , qui désigne ici Fabscisse spéciale du couple de points considérés, autre les deux équations que fournira' l'annulation accoutumée du reste du premier degré, conduira à la relation charcliée f (r, tt, /n)=:0, qui, géométriquement envisagée, constitue Féquation générale des diamètres de la courbe [Nroposée.

Cette méthode, quoique souvent pénible , sera beaucoup moins laborieuse que la précédente , comme n'exigeant qu'une seule élimination , au lieu de deux, entre des équations de degré supérieur, malgré que leur composition doive y être plus compliquée qu'auparavant.

Soit, par exemple , la courbe j^=x^. En y substituant t-^x et u-\'mx , au lieu de x eiy , on a finalement l'équation

a:*+*fa:3+6^»a:'-f-(4f3— m)ar+(f4 tt)=0,

où il s'agit d'exprimer la divisibilité par x^ — a% ce qui donne , en accomplissant la division , les deux équations

L'élimination de a* y conduit aisément à l'équation générale des diamètres

1 ^xy = m» 4- 1 ^mx^ — 64:c^,

beaucoup plus compliquée , comme on voit , que odle de la courbe primitive.

Envers les courbes du second degré» cette seconde méthode comporte spontanément une extrême simplification que nous devons remarquer déjà. On y est alors dispensé, en effet, de la division , et surtout de l'élimination consécutive , qui en constitue le inrincipal embarras algébrique. L'équation en x étant