SECONDS PARTIE , CHAPITRE OUATRIÈME

seulement da second degré , la condition analytique fondamentale y devra directement consister dans l'absence des termes da premier degré. Tout le calcul se réduira donc, en ce cas , à la simple snbstitulion préalable det-^x et u-^mx au lien de x eiy, l'équation générale des diamètres résultera aussitôt de Tannulation du coefficient total de la première puissance de jc. 58. Pour procurer convenablement à Tétude effective des diamètres tonte l'utilité qu'elle ccMnporterait dans la géométrie comparée, il importerait beaucoup de pouvoir suffisamment oonslituer la théorie inverse qui nous permettrait de ne

poursuivre une telle appréciation géométrique qu'envers les courbes dont les diamètres qffriraient une assez grande simplicité, qui maintenant ne saurait être facultative. Ce retour de l'équation commune des diamètres à celle de la courbe primitive constituerait donc, en général, une question plus intéressante que la recherche directe. Mais , dans l'état présent de la science, nos ressources sont, à cet égard, comme je vais l'expliquer, extrêmement bornées, par suite d'une grave lacane analytique , d'ailleurs très-fâcheuse en plusieurs autres

occasions.

La nature éminemment simple et directe de la première méthode, la rend seule propre à une telle inversion, qui semble devoir s'y borner à substituer les forftnles fixes dans l'équation donnée 9(^, u» /n]:=0 pour l'ensemble des diamètres. Mais, quoiqu'ayant ainsi éliminé les coordonnées du diamètre , et introduit celles de la courbe, on ne saurait envisager ce résultat

comme constituant réellement l'équation de la courbe primitive , parce qu'il s'y trouve à la fois deux points indéterminés de cette courbe, au lieu d'un seul. Néanmoins, on en déduirait

178 GJÉOJIIÉTEIE PLAIgE.

aisément l'équation cherdiée, si Ton y pouvait séparer ces points 9 en sorte que chaque membre se rapportât à un couple unique de coordonnées : car, les deux couples y d^ant toa* jours entrer spontanément de la même manière y cette équation prendrait la forme

/(^sy)=/(Ay'),

qui indiquerait qu'une certaine fcHiciion des coordonnées conserve une valeur invariable en passant d'un point quelconque de la eonrbe demandée à un autre point quelconque ; l'équation de cette courbe sérail donc fiaal^nent

la constante c y devant resfbr naturellement arbitraire , puisque chaque système de diamètres peut correspondre à une infinité de courbes distinctes, quoique analogues.

Toute la difficulté réelle de la théorie inverse des diamètres se réduit donc finalement à ce problème purement analytique : deux groupes de variables entrant identiquement dans une équation donnée , transformer cette équation afin que chaque membre n'y contienne qu'un seul groupe. Maïs l'analyse actuelle ne présente réellement aucun principe propre à instituer ce calcul de séparation. On ne sait jusqu'ici séparer les groupes qu'autant qu'ils ne coexistent pas dans les mêmes termes : il suffit alors de transposer convenablement d'un membre à l'autre , suivant la règle analytique la plus élémentaire. II est. aisé de sentir combien rarement pourront suffire des ressources aussi étroites.

Pour en citer un. seul exemple caractéristique , proposonsnous de trouver la courbe dont tous les diamètres sont des lignes droites, perpendiculaires aux cordes correspondantes, et convergeant en un même point, où nous placerons l'origine. L'éqvi^tion des diamètres sera ici

^-|-/»tt=0.

SECONDE MKTIS, QHJLÈITKB QUATRIÈME. 179

qiti tbaf ni t ^ miré deux points qnelamqQes de la eoUrbe cherehée, la relation,

Qr, comme les termes où les points seraient mêlés s'y détruisent spontanément, une facile transposition l'amène aussitôt à la forme

ce qui donné finalement , f^ur la courbe déMaàdée , l'équaiiott

ot l'on reconnaît, conformément à la natore du cas , ui cerd^ de rayon arbitraire.

59. La grande complication habituelle des calcids relatifs k h formation de l'équation générale des diamètres , même en saivant la meilleure marche , et l'évidente inutilité d'une telle recherche envers la plupart des courbes , doivent faire attacher • beaucoup de j^Kx à une comâiode détermination spëdale des diamètre^ rectilfgnes, seuls ordtnalreitfèttt susceptibles d'un Véri^dHle intérêt , sans être obligé de tes déduire de cette équaflbfi eoMfjkJtbhé, oft Hs liraient d'ailleurs néoebaifëmeftt colnpiris. Or, il est facile d'ihsiituet' cette importante méthode sub^ Claire , d'après les formulei^ relatives à là transposition des axes , eh se ftmdant sur l'influence analytique des diamètres r^ctilfgnes, quand on prend chacun d'eux pour axe des abscisses avec des ordonnées parallèles aux cordes correspondantes. L& seule définition des diamètres conduit aisément à reconnattre , comme j'ai eu plusieurs occasiohsde l'indiquer dëns la preihiére iiartie de ce traité , que Féquation doit alors renfermer seulement les puissances paires de l'ordonnée» à&i que lés valeurs de céUe-d polluent être deux à deux égales au sigiie i^rès potir chaque Valeur de l'àbseissé , suivant un cal'âctêre ei^entiëRe^

180 GÉOMÉTRIE PLAHB.

ment analogue à celui qui forme la base de la seconde méthode générale. Une telle aptitude analytique pouvant donc suffire à caractériser les diamètres rectilignes , on les obtiendra , par une transposition d'axes indéterminée , d'après les formules

.r = a:'cosX'+ycosY'+^ï, j^=a:'sinX'+ysînY'-f-&,

si les atf ciens> axes sont rectangulaires, en cherchant à disposer des constantes angulaires ou linéaires ainsi introduites pour anéantir, dans l'équation proposée, tous les termes distincts relatifs aux puissances impaires de y résultées de cette substitution. Quand des valeurs réelles et finies de ces diverses constantes auront pu remplir toutes ces conditions, la courbe proposée admettra des diamètres rectilignes, envers chacun desquels on connaîtra ainsi un point , sa direction , et celle des cordes correspondantes. Au cas contraire , F absence de tels diamètres sera pareillement constatée.

Gomme ce caractère analytique ne dépend aucunement de la position de l'origine, pourvu qu'elle reste sur le diamètre, on ^ pourra, pour abréger les calculs, supprimer l'une des constantes linéaires a ou 6, sans diminuer réellement la faculté de satisfaire aux conditions proposées, puisque cela revient à placer l'origine à l'intersection du diamètre cherché avec l'un des axes actuels. Ainsi , les constantes arbitraires introduites sont toujours seulement au nombre de trois, et ne permettront par conséquent d'annuler à volonté que trois des puissances impaires de la nouvelle ordonnée. Si donc l'équation donnée en contient davantage, le problème sera ordinairement impossible. C'est ce qui a lieu dès le troisième degré, où les conditions seraient déjà au nombre de quatre , à cause des termes en y, j/y^ y«2:'% ety^; cette disproportion se prononce ensuite de plus en plus, à mesure que le degré s'élève. En considérant, à cet égard, l'ensemble des courbes algébriques, ou