SECONDE PARTIE, CHAPITRE OVATRIÈME

Toit donc qae rexistence des diamètres rectilignes, sans jamais être impossible en aucun degré , devient de pins en pins exceptionnelle au delà du second. Mais, pour celui-ci, les conditions y étant seulement au nombre de deux, le problème est, au contraire, indéterminé, et il existe une infinité de diamètres rectiligneSy ou plutôt ils le sont tous; puisque, la direction des cordes restant arbitraire , on pourra encore suffire aux conditions convenables d'après la seule disponibilité des deux constantes 9 angulaire et linéaire, propres au diamètre correspondant.

Une telle méthode de détermination spéciale des diamètres rectilignes conduit aussitôt , d'après une légère modification , à déterminer aussi les noces géométriques proprement dits , c'està-dire, les droites autour desquelles une courbe est symétrique; car ces droites constituent évidemment de simples diamètres rectilignes , qui ne se distinguent des autres que par leur perpendicularité aux cordes correspondantes. On aura suffisamment égard à cette circonstance caractéristique,* en employant , dans la substitution fondamentale, les formules

x= a/ cos X'— y sin X' +^, y=x' sin X'+y cos X'+ô,

où l'on a exprimé la rectangularité des nouveaux axes. Les œndîtions ordinaires ne pourront donc ici éire remplies qu'à l'aide des deux constantes arbitraires relatives à l'axe cherché : en sorte que l'existence de tels axes sera, en général^ encore pins exceptionnelle que celle des autres diamètres rectilignes ; leur situation deviendra même déterminée pour le second degré , sauf le seul cas du cercle , où cette anomalie analytique est aisément explicable.

Quand l'axe d'une courbe a été trouvé , et qu'il est placé de manière à la rencontrer, cette intersection constitue une espèce remarquable de points singuliers , dont la vraie nature dépend

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ensuite de la direction correspondante de la tangente. D'après la symétrie supposée, cette direction ne peut être, évidemment, que celle de f axe ou sa perpendiculaire , à moins qu'il n'y ait deux tangentes symétriquement placées autour de l'axe. Le point cherché sera dona un point de rebroussement dans le premier cas , ao nœud dans le dernier, et e» qu'on iioniaie im iommet dans l'autre cas.