CHAPITRE PREMIER

Notions fondamentales.

I. La géométrie analytique^ telle qae Descartes Ta fondée, est esseotienement destinée à généraliser le pins possible les diverses théories géométriqaes , d'après leur intime subordination à des conceptions analytiques, en soumettant les différentes questions à autant de méthodes uniformes, nécessairement applicables k toutes les figures convenablement définies -, soit 4iu'on se borne à la géométrie plane , qui doit ici constituer notre première et principale étude , soit que Ton considère, comme nous le ferons ensuite , des surfaces quelconques. Pour mieux apprécier cette destination caractéristique, il faut d'abcNrd reconnattre que la plupart des recherches géométriques, et surtout les plus importantes, quoique le plus souvent limitées primitivement à certaines figures , conviennent également , par leur nature , à toutes les f(Mrmes imaginables de ligne ou de surface. Telle est évidemment , par exemple , la détermination des tangentes , pareillement essentielle envers

3 GÉOMÉTEIH PLANE.

toutes les cqQri)e8 , comme servant lie base à leur iH^mpivaiion avec un système convenable de droites. II en est certainement de même à Végard des questions directement relatives à la mesure de l'étendue, et qui constituent l'objet Gual des spéculations géométriques -, soit qu'il s'agisse d'estimer la longueur d'une courbe, ou l'aire qu'elle termine» ou le TidniaeiGpi'âBgfiQdi^ sa rotation , etc., il n'y a pas de forme qui ne doive donner lieu à une semblable recherche. Les questions vraiment limitées à certaines figures , et qui ne compcx'tent pa« de généralisation réelle, n'offrent presque jamais qu'an intérêt très-secondaire, à moins qu'elles ne constituent, comme il arrive souvent, de simples modifications particulières d'une considération pleinement générale (*). Cette généralité spontanée des principales recherches géométriques étai|t aipsi pettetiaent reconnue , elle doit naturellement faire désirer une équivalente généralité dans les méthodes correspondantes. Or, telle est surtout l'inimeme supériorité de la géométrie rpoderae, constituée à l'état analytique par la cpnceptioa foodaipentale de De$,cartes. Avant celte rénovation décisive , les questions géométrique^ ne comportaient, çfx effet, que des solutions sjpéciales , où le méfue problème devait être résolu 4eiliouveau dans tous les ca9 connus, sans qu'on fùl utiliser ep aucune manière, faute d'une appréciation directe et abstraite, ce qioilpiir était nécjenssairement commun. Par exemple, les moyens qu'employait la géométrie ancienne pour mener les tangentes aux sections coniques

(*) Dans l'état présent de la géométrie, cette remarque ne rencontre peaU être d'exception importante qu'envers la seule théorie desfpyers, que i^ou^ reconnaîtrons être vraiment bornée aux sections coniques , sàn^ admettre , à l'égard de toute autre courbe , aucun équivalent effectif. Mais , même en ce cas, malgré la.spéciaUté naturelle d'un tel sujet, son extension directe ji ftrois courbes d'ailleurs fort distinctes y doit faire attacher presque autant de prix à une convenable généralité de méthode , que si cette recherche pouvait s^étendre à des lignes quelconques.

PEEWÉ&B tf>Aintt, ^HAntlII PRBtflBR. t

M taHitail anUoneiit, fi ce n'est comme exercice logiqae, k fidlftMP cette rechevche envcrt la cissoSde^ la ipirale, la rfcM4#, cÉC, dont cbaeuie a nltériciireniéBl exigé, à cet égard, de iMNiTeanx eSorla toBJonrs partieaUers, jvsqu'à ce ^ftAwmljne. carléMime «il esia élevé te tyslème desspéevte* ^tboe gêmmbùUfÊe^h wa yérif^te état ^iteeophiqae , en y ioititUHt mae kMMMie dmrabte entie Téteiidiie desméifaodei et citt0 de» qmtton»

Ortte ginnde conbafiioftayant jiyi'ici tiop'pen pénétrédbms l%MeigaJiMAtOfdiaaire , la gécnébie aoriytiqae a'y est eoi»* a|ipiréciéefM eomne propre à présenter Fétode dea sen mm noufdle forme , dont la mpégiatHé efntîte^ si 011 def«ic sebemer à m tel cas, serait assurément Ma^coHteaUMe. Mais , fh^lqiirtieiease ^e soit ooe expesilioa eà te» BÉéthodee géométriques aili^at trop étroitemeat a»x easpntiaalei» qtfoû y a eus trop éxclosii^meat en Tue, elte ne saimil altÉr« VeUtère généralité qni earactérise sponta- ■ément te^tMorîea aoaiytlqoefr, et que je m'eibreerat ici de IMra dtrectWiWit fessortir, comme constituant leiff principate ^eur, à Itf tetesdentnqiseet logique. Dan» Tancienne géomé^ Me, anenne' qneafion^ne ponyaft jamaià être Traiment épuisée, p«te|<rV resMI fëujours^ ë y traiter une inanité de nouveaux e^yBtàfseM^ souvent d^nssi grande efforts que pour FinstitutilBwd^nir nouvel ordre de redierclies. La géométrie cartésienne, aai contraiîpe , instRuant me meillenre économie de nos forces sfrtcÉhtiveS'^ ne vegairde^ comme Traînent importante que la urtatimt es nowcnes- méthodes générales, applicables à des 8a]^<neoi«'iitfacts^, et dont fii spécialisation envers certaines Onnes'ae pent plas^ ollrip que des difficultés secondaires.

91 SMvaat une t^lhf appréciation, ce système final de la saienee géométrique dèvrail? être rationnellement désigné par l»dftiemiaatlon de^ géeméirie générah, comme je Tai proposé.

depuis longtemps , dans le tome premier éd monSf/sième êe philosophie positive. Mais , vu la haute importance qu'on doit toujours attacha, surtout pour l'enseignement élémentaire , à conserver, autant que possible , les expressions consacrées , à moins qu'elles ne soient radicalement impropres, je 'crms devoir ici employer habituellement la qualification ordinaire de ^ géométrie analytique , en écartant toutefois avec soin le titre trop imparfait , et malheureusement encore plus usité , &appU^. cation de Vaigèhre à la géométrie. En expliquant cenvraablement cette dénomination Sanalytiqube, on y peut voiif en eAct, le résumé de l'ensemble des attributs qui caractérisent la now* velle géométrie , quoique une telle désignation ne se rapporte spontanément qu'à la uature des moyens employés , sans rappeler sujBBsamment l'appréciation du but , qui n'est ainsi indiqué que d'une manière indirecte , d'après son harmonie intiaie et nécessaire avec la marche annoncée. L'espèce d'équivoque qui s'attache naturellement au mot analyse et à ses divers dérivés, suivant qu'on l'envisage dans sa spéciale acception mathématique ou dans son universelle signification logique, tie sau^^ rait même empêcher une semblable destination ; car il est aisé de reconnaître, en principe, comme le développement de la science nous le fera de plus en plus sentir, que les méthodes propres à cette généralisation finale des théories géométriques doivent être éminemment analytiques^ selon les deux sens de ce twme. En considérant d'abord le sens spécial , qui s'étend à l'ensemble de la mathématique abstraite , il est certain que les théories géométriques ne peuvent être con valablement généralisées que d'après des conceptions analytiques, puisque la partie abstraite de chaque question est, au fond, la seule qui soit susceptible, à l'aide d'un judicieux isolement, d'une solution vraiment uniforme , en tant que seule rédlement commune à toutes les ligures imaginables* Soit qu'on envisage la détermi-