PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER
Dation des tangentes ou celle des qoadratQres , etc. , on reconnatt aisément que , les résultats devant nécessairement difKrer dans les diverses courbes, aucune autre voie que celle de l'analyse ne -pourrait suiBsamment sé]parer et convenablement traiter ce que le sujet oflre d'essentiellement uniforme au milieu d'une ioévitable diversité. Cette aptitude naturelle des conceptions analytiques peut même s'étendre jusqu'à indiquer de prédeux rapprochements entre des questions générales vraiment distindes ; ce qui constitue assurément la plus haute généralisatûm possible , que nulle autre marche ne saurait permettre. Les géomètres ont ainsi découvert , par exemple , dès l'origine dé ' la géométrie analytique, comme je l'expliquerai en son liett,' l'identité fondamentale des diverses recherches relatives à la mesure de l'étendue , et qui peuvent désormais se transforme)^ ■ les unes dans les autres, soit qu'il s'agisse de rectificëtiiottS' Otk ' de quadratores , ou même de cnbatures ; c'est d'après une ebmmune. appréciation analytique que pouvaient sefnleitietaf étt^' S9i«e8 des relations aussi remarquables , très-pro)^li[eâ M perftRv^ tionnement mutuel de ces différentes études. ^Sélis éé '^reMêr^' aspect fondamental, la géométrie générale 0si dondrés-justo- ' ment qnaUfiée d'analytique. ' "'
Mais il ne faut pas que, suivaol nue- teiklAUce ti^dp colit-^ ' mune , cet usage pleinement légitikne n^OUdlBse; en jpnKënafat la: forme pour le fond , à ineorporsti * vièiéifecÉkèÉt à la VMe %hb- ' métrie analytique des spéculatioits^qtif ncf'satirtiteRt Mappât- ' tenir, parce qu'elles n'otnsoC'^inl la généralité qui seule la caractérise essaitielleamal, «KuelqtKi^itenfdu et même itidc^pên^saUe que pnissey 4^4PlBiliettr8l'emilioi'au calcid àlgébrilqtiè. C'est ainsi que tatttrdaigtomètres oât 13 vainement cotitestéi' D(Bsetrta Vmigfaillté<idks sagir^ éôHs J^rètetfe'
que, longte«#iiivanll luf^^ ViAgMi^^âtt^déift fêful'ni certaines solutions géMiètnqnes; O» ydl ansisi; d'a^rèH la ihiéme mé-
pfige, annexer trop soaT^t eooope à la géoméitki miAftitpm la simple trîgoii(»nétrie , malgré le jadicieax exMiple i» Legeodre, qui, soivant ime irréensable Htdiesrtim Nutofi^pHi» Tavait li^iasée à la suite delà géométrie élémentftlre , dmit ell* ooostitue évidemment rinséperable comi^ém^nt* en tani qiHr pareillement relative à un problème purement spémal, quoique d'ailleurs d'une importance capitale. Une teUe confùsio»» qui semble dogmatiquement consacarée encore d'aptél vam vicieuse division scolasUque entre les problèmes déterminéa et ks pnH blêmes indéterminés (comme si toutes les questions géométrie qiies n'étaient pes, chacune selon son ginwe, néeessavemÉSI dètefjipnées, soit qii'<m y cberche un point, anoHgwon nteeime sHf f^ ) , s'oppose radicalement à toute saine appréeiation te vér^Mii^>Ç^H de la géométrie analytique. Il seraM mâoieimpeafir» b)/|,dfeyj|^^i^|inguer ainsi de l'andenTO géomélrie, où Ton erapbM aiif^^ Pfi^quf» dès les premiers pas, lecdoiil algébrique , qwl^ qf^§o%i^S^y^^(Âi cKrdînairemeDt moins étendu, et qu'il y soit so||mlf^fVl^NH^>tOÙa des fiormes beaucoup meîns convenaÉisf , â^sn>#i)p 4^ég!fîf^.dQs proportions, qui y constitue, ooranM pro«céi^(}pgili99)«;lI6qmi^^ot très^impardit de imtve a^èbre actuelle. Nous aurons fréquemment occasion de recounaitte, oo»tc^H^Wtrfi c^ttf grosse opinion, que de» théories gdemélriqW9.iW^WV<^^)éfObimniffilt f^^ malgré quelecstail
y ij^i^pchfQf limi»4M4i4^(m9<d'a(u4re»spéettftitte oà fl a be^MK^ff^tte; Vffk sAf^n^it^t^nuUelnent um teUe quattficttlfaih ,61 \:m m^:Vfm)fi^^t èi(to «e^onAs acceptiovarienlieqne du,jQ[Haif^tyï^im^i4<^rl#^fiéw#^ veirfi^4A4)'^l34IWtiwf^Aj^^ encore.
^TQfimàmm^tm^yfmim^^ à «s nounreau
tii9^9^^[éQm^tri|ihg<ili^Alft d^fcfétfeféminftKtiwnti analytique, c'e^lfMî^f »mi#<l9i;hIW^ 4^^^ ft» AeafeqMBrtions n'y
étaiirif pmPWerjai«i«fk/l)(M0âfléQ8o^ Màhn
PRBMIÈRJS pjntB , csAimn premibr. f
(TéiéiDeiito anlfbriiK», dont les diverse» oomMnâlsoi» e&etdreg sont, dircontrairef, eit^ômemènt nndtîpliées, la généralité ées ndtiÉùom ne pesf j être obtenue que d'après la séparation àbstm^ det diO^réiftes cùndilions élémentaires , seules sosoeptiUesd^étre traitées, chaccme à part, sons on point de yne général. Au contraire, l'esprit de la géométrie ancienne était tonloora essentiellement syntbétiqnc, et par snite spéeial , pois-' qne les diverses conditionsr de èhaqne probl^ne y restaient en-visi^ées sortotot dans lenr ensemble, malgré l'nsage accessoire deee qu'on aYtfitnomiiié Va^ah/se géamêirique ^ qni totttefoi» doit é^ bistoriqnement envisagée coorme nn premier acbemi-» nemetÉi logique Yersr le i^stèttie modènie, quoique Fai»enoe des oMioqptions algétrriqnes , qui sentes pef^mettent de IBxer nne' tdle réparation et d'en ponrsnivre les conséquences, dât pri-< ver o^le nmrdie , pins prftnée que pratiquée chez les géométrea grecs, de sa principale eflbsacité.
Gette Aul^le a|qnéciatloQ conduit à sentir que la nouvelle méthode' géométriqae instituée par Bescartes a pour caaractèré cssenlid , en isolant ch»iue condition d'un problème , de l'assn. jettir à une solution pleinement générale, d'après une convenable réductiou du concret à l'abstrait. La qualification d'amriy^que a^snrtout le mérite de rappeter, à ceux du moinsr qdi ^eif forment une juste idée , un tel esprit fondamental, que je féref) soigittusemoit ressortir en toute occasion opportune.
d. D'après les înfications précédeAteS , la révolution radicale opérée dans le système des études géométriques par Tavéne-^ ment' de la géométrie analytique doit être regardée comme Fépoque la plus décisive pour le dévelc^pement total de cette science, dont la constitulion philosophique étaft jus<fu'al<»*s ^ insuffisante et si précaire , malgré d'adnvirablesdécouvertesf spé^ ciales. Mais , en outre , il y faut même reconnaître le pas le jUni dédstf que pût jamais faire l'ensenMe des spéculations mathé*-
8 ^icmktxm plane.
matiqoes, anisi bien abstraites qae oonerètes. Car, sshrantane réaction nécessaire, ce rapprochement fondamental entre les notions géométriques et les conceptions algébriques , quoique n'ayant été d'abord institué qu'en vue de perfectionner la géométrie, qui a fait ainsi, depuis deux siècles, plus de {H'ogrès réels que pendant la longue suite de tous les siècles antérieurs, a été peut-être encore plus favorable au perfectionnement de l'analyse mathématique» dont les plus puissantes créations sont, en effet, dues à cette heureuse influence logique. Nonseulement les recherches analytiques ont ainsi trouvé spontanément à la fois une alimentation inépuisable et une intéressante destination, sans lesquelles la répugnance naturelle de l'esprit humain pour les abstractions trop indéterminées en eût rendu le progrès extrêmement lent et d'ailleurs presque stérile ; mais, de plus , suivant une influence plus spéciale et plus profcmde , l'intervention des considérations géométriques parmi les spéculations analytiques y a souvent suggéré directement d'heureuses inspirations fondamentales , comme l'ensemble des saines études mathématiques le constate si hautement aujourd'hui. Une telle réaction scientifique est essentiellement propre à la géométrie, qui , à ce titre , ne cessera jamais de constiluer la principale partie de la science mathématique. La mécanique rationnelle , quoique aussi éminenHuent analytique que la géométrie, est d'une nature trop compliquée pour comporter une semblable influence. Elle a, sans doute, pareillement fourni à l'analyse on nouveau champ et une nouvelle destination , mais non pas de nouvelles lumières. Bien que les équations abstraites puissent être conçues, sans doute, comme représentées par des mouvemens tout autant que par des figures , cette interprétation tn^ pénible ne saurait devenir la source d'aucune véritable indication analytique.
Conformément à la similitude nécessaire qui , pour l'esprit
