CHAPITRE V

60. Pour étendre convenablement cette dénomination géométrique , longtemps bornée au cercle, il suffit de restreindre à la seule comparaison binaire des points directement opposés la notion d^équidistance, d'abord absolue, qui en constitue le caractère essentiel ; en sorte que le centre d'une courbe est , en général , le mjlieii de toutes les cordes qui y passept , quelles que soient d'ailleurs leurs longueurs relatives. Un tel point est nécessairement unique dans les courbes algébriques proprement dites, que nous devons ici avoir principalement en vue , puisqu'elles ne peuvent offrir qu'un nombre limité de points en ligne droite. Mais^ au contraire, celles des courbes transcendantes qu'une droite peut couper en une infinité de points présenteront quelquefois une infinité de centres, comme nous aurons lieu, par exemple , de le constater ci-dessous envers les courbes jrsssinx^yzzz taiigj:.

Il serait superflu d'insister ici sur l'importance évidente d'une telle recherche, puisque la détermination du centre d'une courbe y ou même la certitude qu'elle n'en comporte pas , doi-

SECONDE PAftTIE, CHAPtTEE GINQUIÈME. 1S3

vent certainement œntribuer beaucoup à mieux indiquer sa figure générale.

Cette question admet , en général, deux méthodes très-distinctes : Tûne très-naturelle , mais trop compliquée, qui la rattache à l'étude des diamètres; Vautre plus indirecte , mais bien plus simple, et seule vraiment usuelle, qui lui est spécialement propre.

€1. Le principe delà première méthode consiste à regarder le centre d'une courbe comme le point de concours nécessaire de tous ses diamèttes quelconques : car, en rapprochant les denx définitions, on conçoit aussitôt que, !si une cotirbe a uh centre, diacun de ses diaihètres y devra passer; et, réciproquement , si tous les diamètres d'une courbe ont un point commun, ce point sera, par cela méhie , lé centre de la courbe. Soiis cet aspect, la théorie analytique des centres consisterait à juger, d'après l'équation générale des diamètres de la courbe proposée, formée suivant les règles du chapitre précédent, si ces <)ivèrs dlaihètres convergent ihdistinctemeiit en ùù point unique. Quand cette oonvergence se fait à l'origiiie des coordonnées, la seule inspection de Téquation des diamètres l'indique aussitôt, par l'absence constante du terme indépendant des deux variables. C'est ainsi, par exemple, qae, podr la courbe ^=:t3, l'éqnation généraledes diamètres , obtenue au chapitre précédent, yz=iZmx — 8j:\ montre que son centre est à l'origine^ puisque, quel que soit m, le diamètre y passera toujours. Mais, lorsque ' ce concours s'opère en un point quelconque du plaii, un calcul spécial, et souvent pénible^ devient indispensable à sa manifestation, n faut alors attribuer au paramètre angulaire m qui, dans l'équation générale, dislingue les divers diamètres, deux différentes valeurs indéterminées ni et m", et chercher ensuite les coordonnées du point commun à ces deux diamètres quelconques , qui peuvent représenter toutes les combinaisons binaires

Ifiyk GtoBrtnDB FLANE.

des diamètres proposés. Si les valeurs de ces coordonnées oom* munes, simplifiées aatant que possible , deviennent finalement indépendantes de ni et în!\ la courbe aura un centre , dont ces valeurs détermineront la position , puisque Tuniverselle convergence des diamètres y sera ainsi constatée. Quand , au contraire, on aura reconnu que ces valeurs ne peuvent être rendues indépendantes de ni et ni\ comme il arrivera le plus souvent , chaque couple de diamètres ayant alors son intersection propre, il sera certain que la courbe manque de centre.

Soit, par exemple, la courba ^" — xy^x^^. En y appliquant la seconde méthode des diamètres, on trouvera aisément

que leur équation générale est j^= — - • Or, si Ton y fait

successivement m^=.ni^ m:=ni\ on trouve d'abord que Tab-

scisse commune est — ;; p , fraction indépendante de m"

et m\ et toujours égale à 2 : mais il faut , en outre , s'assurer

d'un pareil caractère envers l'ordonnée correspondante, que

Ton trouve, en effet, exprimée dès lors par— -^ — -. La

courbe a donc un centre, dont l'abscisse est 2 et l'ordonnée i. Considérons encore la courbe y — 2xy -\-x* — x = 0.

L'équation générale des diamètres est my^^x-^ -. Sa

seule inspection montre que tous les diamètres sont des droites parallèles; d'où il suit aussitôt que la courbe manque de centre.

Une telle méthode deviendra souvent presque impraticable au delà du second degré ^ puisque, outre la' formation, fréquemment pénible, de l'équation générale des diamètres, qui n'a d'ailleurs, en elle-même, aucune autre utile destination géométrique , elle exige une élimination ordinairement très-