SECONDE PARTIE ^ CHAPITRE GINQUIÉIIE

laboriease , entre des équations qui sont toujours plus compliqoées que celle de la courbe donnée. Je n'ai donc mentionné ce premier moyen que comme conséquence naturelle de la théorie établie au chapitre précédent. C'est uniquement d'après la seconde méthode qu'on devra procéder habituellement à la détermination des centres.

62. Delà seule définition du centre, il résulte aussitôt que, si on prend ce point pour origine des coordonnées , quelle que soit d'ailleurs la direction ou l'inclinaison des axes , tous les points de la courbe auront deux à deux des coordonnées égales et de signe contraire ; en sorte que l'équation ne devra pas changer quand on j changera simultanément les signes des deux variables : il est pareillement évident , en sens inverse , cpie la vérification d'un tel caractère analytique permet d'assurer que l'origine correspondante est le centre de la courbe. Tel est le principe général sur lequel repose la méthode la plus propre à la recherche des centres. C'est aiosi que, à la simple inspection des équations j^ = x', ^ = sinj:, j^ = tangue, on reconnaît que ces courbes ont pour centre l'origine des coordonnées. Quand le changement de x en — j: et^ en — y altère l'équation proposée , cola peut tenir ou bien à ce que la courbe manque réellement de centre, ou bien à ce qu'il est^placé ailleurs qu'à Torigine. Mais , comme une telle propriété analytique est toujours possible envers une certaine origine si la courbe a effectivement un centre , on dissipera totalement cette incertitude d'après un déplacement d'origine indéterminé, en substituant j:+^ï et^+6 au lieu de j: et^, afin de disposer des constantes arbitraires a et b ainsi introduites pour que l'équation supporte sans altération le changement simultané du signe des deux variables. Lorsqu'une telle condition sera convenablement satisfaite, la courbe aura un centre, dont les valeurs correspondantes de a et è détermineront la position :

18({ GliOMÉTRIE VLâM.

qnand , an contraire , ancun système de valenrs réelles et Soies de ces deux constantes ne rendra réqnation snseeptible <f nne telle aptitude, on sera pareillement assuré que la courbe manque de centre.

Cette méthode , aussi simple que générale , ne convient pas moins aux équations transcendantes qu'aux équations algébriques. On peut ainsi constater, par exemple, envers les courbes j^ = sîn ^ , ^ = tang a:, que tous les points, en nombre infini, où elles coupent Taxe des a?, constituent autant de véritables centres; puisque, en y plaçant l'origine, par la substitution de or+^j 07-1- 27r, ...x + wT, au lieu de x, chacune de ces équations continuera à joujr de la propriété analytique qui caractérise le centre : ces courbes étant, en efièt, composées d'une infinité de parties identiques , d'après la périodicité des fonctions correspondantes , il serait géométriquement impossible de trouver, à cet égard , aucun motif de préférer une quelconque de ces intersections à toutes les autres.

En considérant spécialement les courbes algébriques , on y peut formuler davantage la méthode des centres, si l'on apprécie d'avance l'influence générale du changement de signe des deux variables sur les quatre sortes de termes qu'elles peuvent contenir, suivant les types Ajc**, B^*, Cx^ , D. Les deux premiers changeront de signe ou resteront inaltérables selon qtte. l'exposant de leur unique variable sera impair ou pair. Qtiaût aux termes où les variables coexistent , la règle sera encore la même, en estimant le degré , comme de coutume , par la somme des deux exposants : car, si ce degré est impair, l'un des facteurs n'aura pas varié, et le changement de signe de l'autre entraînera celui du produit ; si , au contraire , le degré est pair, ou aucun des facteurs n'aura varié , ou ils auront à la fois changé de signe , en sorte que le produit ne sera jamais altéré. Il résulte de cette appréciation que l'équation ne pourra sup-

SSGOirDE PAmTIB, aiA»ITM CnCQlîIÈlfB. Itl

porter sans altération le chaogemeat élémentaire qui caractérise le centre qu'autant que ses divers termes seront tons de degré ioi|Mur ou tous de degré pair, en comprenant le terme constant parmi ceux de degré pair. C'est donc à faire disparaître les termes de degré impair^ si l'équation est de degré pair, ou les termes de degré pair, si son degré est impair, qu'il faudra destin Der le déplacement d'origine propre à déterminer le centre , paisque d'ailleurs le degré de l'équaticm ne saurait variar.

Si Ton envisage l'ensemble des cas , cette méthode indiqua aossitét que l'existence d'un centre est normale dans les courbes da second degré , où il faudra enlever ainsi seulement les deux termes du premier degré, ce qui sera ordinairement possible en tiepesant convenablement des deux constantes arbitrairesa et b x œ ne sera que par excepli(m que la courbe manquera de centre^ qoand les valeurs de ces constantes deviendront infinies. Mais, aa oontraire, dés le troisième degré, et ensuite toujours davantage, les courbes pourvues de centre constituent nécessairement une exception de pins en plus rare à mesure que le degré s'éiëve, parce que le nombre croissant des conditions à remplir y eioède progressivement le nombre fixe des quantités dispor nibles.

Quant h la situation générale du centre, il résulte de cette méthode que, dans toutes les courbes de degré impair, le centre est inévitablement placé sur la courbe, puisque, en y transpor* tant l'origine, le terme indépendant des deux coordonnées figarc alors parmi ceux qui doivent disparaître. La suppression^ de ce terme n'étant pas obligatoire lorsque le degré est pair, le centre pourra donc, en ce cas , ne plas appartenir à la circoni^ence de la courbe, sans qu'une telle position y soit d'ailleurs impossible.

63. Tons les calculs qu'exige la méthode précédente pouvant égalem^it s'accomplir malgré l'indétermination , non des ex-

188 GBOMÉTEIE PLANE.

posants, mais des coefficients, on ponrra l'appliquer , en sens inverse, à formoler les conditions nécessaires pour qu'âne courbe, connue seulement d'espèce , ait son centre en un point donné. Si a et b désignent les coordonnées de ce point, il suffira d'opérer, dans Téquation proposée/(x,j^,a,6,7,^,...)=0, la substitution alors déterminée de x-f-^ et ^ 4~^ ^^ lî^^ ^^ a: et^, afin d'annuler ensuite le coefficient total de chacun des termes qui doivent ainsi disparaître \ ce qui fournira autant de relations propres à spécifier , conjointement avec d'autres conditions quelconques, les constantes inconnues a, 69 7> ^9 e^c. Ces relations seront, par exemple , au nombre de quatre dans une équation du troisième degré , où il faudra supprimer les trois termes du second degré et le terme constant ; elles deviendront de plus en plus nombreuses à mesure que le degré s'élèvera.

Au sujet d'un tel accroissement, il importe de dissiper l'objection très-naturelle qu'il semble d'abord présenter contre le principe général , établi au premier chapitre de cette seconde partie, sur la manière dont les points singuliers, quelle que smt leur nature, contribuent nécessairement à la détermination des courbes. Selon ce principe , le centre d'une courbe , en tant que point singulier , ne devrait jamais compter que pour deux conditions déterminantes ; tandis que, suivant notre appréciation spéciale, il parait devoir en fournir quatre dans le troisième degré , six dans le quatrième , etc. Mais cette apparente contradiction ne résulte que d'un jugement trop confus, oîiron attribue à la situation donnée du centre ce qui provient uniquement de sa simple existence, alors plus ou moins exceptionnelle. Dans le troisième degré, par exemple, l'existence da centre, en quelque lieu qu'il se trouve, exige deux relations entre lès coefficients de l'équation générale ; ces relaèions, qui complètent la définition de la courbe , doivent y être toujours