CHAPITRE VI

Théorie de la similitude des courbes.

64. La notion de similitude convient évidemment , par sa nature , à toutes les figures possibles , envers lesquelles les observateurs les plus étrangers à la géométrie rationnelle emploient journellement les qualifications de semblables ou dissemblables, en y attachant un sens, vague et confus peut-

190 GÉOSnÉTtlB PLAUB.

être j mais aa tond esseitlieUement juste. Qoand IM géomètres se sont spécialement emparés de cette conception universelle et spontanée pour la systématiser conyenablement après l'avoir nettement analysée, ils ont dû considérer premièrement les figures purement rectilignes^ dont les déments sont directement appréciables , ainsi qne les lois de leur assemblage. C'est là que la similitude se montre avec une pleine évidence comme ccmsittant dans l'égaUtè des angles respectifs et la proportionnalité des c6lés homolognes : tonte l'élaboration sétentiûqm n^a pu consister , à cet égard , qu^à réduire au moiiNtre nombre possible les conditions d'une telle définition ou appréciation , d'abord envers les triangles , et ensuite pour les polygones quelconques, suivant les explications de la géométrie élémentaire. Mais il s'agit maintenant d'étendre convenablement auic diverses courbes planes ces notions primordiales, afin de découvrir, en chaque cas, les conditions précises de la similitude, ou de constater que l'identité d'espèce n'exige auculie l*elation particulière ; question dont il serait stqierflu de faire ici ressortir expressément la haute importance.

Au , premier aspect , une telle extension semble ne potivoir s'opérer , en général, que d'après l'analyse transcendante, qui, en considérant les courbes comme des polygones' d'une inûnité de côtés infiniment petits, permettrait cPy exprimer distinctement l'égalité directe des angles et la proportionnalité des côtés , sans être alors arrêté par la natore infinitésimale des uns et des autres. Mais un examen pins approfondi de cette importante théotie géométrique conduit à reconnaître que l'analyse ordinaire suiBt réellement à l'institaer d'une manière tout aussi générale et beaucoup plus commode. Il faut seulement, pour cela, choisir convenablement, parmi les propriétés essentielles des polygones semblables , ceUes qui sont suseepti- Ues de devenir immédiatement appréciables envers les courbes,

SECONDS rJMM f CaU^OlB SIXIÈME. tM

ttM ex%cr la cowiéèration de côtés iofiniment ^tits et d'au^ gles infiniment (Mas , et en réduisant l'inévitaUe notion de riiibii à n'infloer que sur le nombre des sommets^ à l'égard desquels Taniiormité de leur caractère analytique permet aisé^ ment de sormonter une telle difficnlté ^ d'après le simple eiamen d'un point indéterminé , profHre à les représenter tons^r soiTaot un artifice logique déjà familier , à beaucoup d'autres titres , en géométrie analytique.

On ne peut d'abord employer à cet indispensable office la proposition fondamentale , trop exclusivement mentionnée dans renseignement habituel de la géométrie élémentaire , sur la décomposition des polygones semblables en triangles semblables* Car, en Tétoidant aux courbes , cette décomposition offrirait , comme la déinilion primitive elle-même , quoiqu'à un moindre degré, ^inconvénient capital d'obliger à considérer des angles et des cOtés infinitésimaux. Mais , la théorie de la similitude des figures rectiltgnes fait aussi connaître , à leur égard , deux aatres propriétés générales, dont chacune est , par sa nature , éminemment propre à s'étendre aux courbes , comme spontanément exempte d'un tel vice ; de manière à pouvoir fourinv ensuite y [Aus ou moins commodément , un fondement suffisant à la théorie analytique que nous voulons constituer ici.

65« I^après la première de ces propriétés , les contours semblables ont leurs divers sommets déterminés par des triangles respectivement semblables ayant tous, dans chaque figure, une Inseoommn&ei et réciproquement, deux figuresainsi construites seront nécessairement semblables , quel que soit le rapport de oes deux bases homologues. Les côtés et les angles de ces triangle» artificiels, indépendants de la figmre proposée, restant natn* refienient finis qnand le polygone devient infinitésimal , rien a^empéehed'éttndtoanx oowrbes un tel caract^, avec la seule obligation de l'y vériftevenvera \m point iodéterminé , comme le

193 GÉOMÉf&IE PLANE.

permet toujours runiformiic de la définition , géométrique on aoaly tiqae , afin d'éviter l'embarras direct d'an nombre infini de pointa. C'est ainsi , par exemple , qu'on démontrent aisément la similitude constante de deux cercles , surtout en y prc* nant pour bases deux diamètres respectifs ; puisque les triangles, dés lors ccmstammcnt rectangles , se trouveraient spontanément semblables, en ne comparant entré eux , suivant l'esprit de ce théorème » que des points pour lesquels un des angles à la base offrirait , de part et d'autre, la même grandeur.

Il ne sera pas difficile de formuler analytiquement cette première théorie , quand on aura d'abord convenablement adopté des bases homologues , dont le choix pourra presque toujours influer beaucoup sur la simplification des calculs. Soient f^{x^ .r)=Oj yiC-^) .r)=^î les équations des deux courbes données , de même espèce , AAIBN, A'M'B'N', {fig, 37), dont il faut apprécier la similitude. Après y avoir choisi deux bases homologues, AB, A'B', par exemple, on mènera, par une extrémité A de la première base , une droite AM formant avec elle un angle arbitraire , ayant une tangente indéterminée m 9 ce qui n'offre aucun embarras , suivant la théorie analytique de la ligne droite. Calculant ensuite les coordonnées du point M où elle coupe la courbe ^ on en déduira , conformément à la même théorie préliminaire , la tangente de l'inclinaison de la base AB sur la droite BM qui joint son autre extrémité B à cette intersection : cette tangente sera finalement une fonction déterminée de la constante arbitrdre m. Une seconde fonction analogue de la même constante résultera d'un pareil calcul envers l'autre courbe. Dès lors , les angles en A et A' ayant été pris égaux , la siQiilitude exigera la coïncidence de ces deux fonctions , quel que soit m , afin d'exprimer l'égalité nécessaire des angles en B et B', et par suite la similitude continuelle des triangles MAB, M'A'B', envers un point, quelconque de chaque

8BC0KDB PARTIE, GHAPITBS SJXIÉMB. 193

courbe comparé k son bomologue de Tautre. Ainsi , les relations qoe pourra exiger une telle identîGcalion entre les constantes des deux équations proposées constitueront aussitôt les conditions de similitude propres aux courbes correspondantes : et, si celles-ci devaient être toujours semblables , par ceb seul qu'elles appartiendraient à l'espèce donnée , on le reconnaîtrait aussi , en constatant alors Videnlité spontanée des deux fouctions obtenues.

Supposons j par exemple , qu'il s'agisse de deux ellipses ou de deux hyperboles, d'après la définition du n^ 19. En prenant pour bases respectives des deux séries de triangles les lignes , Oky OA', ifig. 38), évidemment homologues, qui joignent chaque point fixe A ou A' au centre correspondant , et concevant ces lignes superposées , les équations des deux courbes , relalivement aux axes accoutumés , seront

et leur parfaite analogie permettra de n'exécuter qu'envers Vaae seulement le calcul prescrit. Menant donc de O une droite arbitrairement inclinée sur la base OA , son équation sera^=/njr, elles coordonnées de son intersection M avec la courbe seront

c % / c* — d* me / â — d*

La tangente de l'inclinaison de la base sur la droite qui joint ce point M à sa seconde extrémité A , ne sera ici que le coefficient angulaire de cette ligne MA ; et , par suite , on aura finalement

tang.7=

nic\/& — d^

la

i9i GËOM^AIÈ PlàHË.

D'après un pareil résultat envers Fantre courbe , il faudra , pour la similitode, qn'on ait identiquement

QV7:::^—d l/m'c^+C^dT^c/ V^^'^—à! VnCd^+d^—d^'

quel que (soit m « or il est aisé de eonstat^ qu'une tdle iden^

c d tilé exige la condition -j = ~. Il n'y a donc d'ellipses ou

d'hyperboles semblables que celles où les deux dimensions mentionnées dans cette définition sont respectivement proportiponelles. .

Considteons encore l'exemple de la parabcde^ d'après la définition dn Qo âO. En prenant poiUr bases les droites OF , OF (/»</. 39) qui joignent chaque point fixe an sommet, et faisant d'ailleurs coïncider les axes et les sommets des deux paraboles, on mènera encore, de l'origine O, une droite arbitraire^ = m^r, dont l'intersection M avec la première parabole y^ ss ^idx don<^

2^ 2^ ncra :c= — ^ , ^ = — . En joignant ce point M à l'autre extré-

mitéFdelabase,onauraUkng. 9=s r-^ Or. et résultat ne

saurait changer en y remplaçant d par d pour l'autre parabole , puisqu'il est évidemment indépendant de d. Bono , deux paraboles sont toujours semblables entre elles, comttie deux cercleis. Il serait aisé de constater aussi, d'après l'éqaation

y as <Q choisissant convenablement les bases , qu'il en

est encore de même de deux cissoïdes. Au reste , en rapprochant ces trois cas de similitude spontanée , on conçoit, à priori, qu'une telle relation est inévitable en toute espèce de courbe dont l'équation pourra être jréduite à ne (caatenir qu'une seule

SECONDE PARTIE, GHAl^lTâB SIXIÈME. 195

constante arbitraire : car, s'il y pouvait exister une condition quelconque de similitude, elle tendrait alors à déterminer cette aniqae constante ; en sorte que la courbe semblable à la pro-> posée se trouverait ainsi individualisée, ce qui serait évidern^ ment absurde.

Une telle institution analytique de la théorie générale de la similitude des courbes planes, n'c^re d'autre défaut essentiel ({ae la trop grande complication des calculs qu'elle exige» quand il s'agit d'équations peu simples , et lorsqu'on ne peut choisir assez commodément les bases homologues. Aussi adopterons-* fions finalement , à ce sujet , un autre mode , fondé sur une propriété plus aisément formulable.

66. Cette seconde propriété générale des contours semblables se rapporte à la situation parallèle dans laquelle ib peuvent toujours être placés , d'après légalité nécessaire des indinaisons respectives ; puisqu'il suffit de tourner un seul côté parallèle* ment à sOn homologue , pour que tous les autres se dirigent d'eux-mêmes parallèlement aux leurs. Or, ainsi disposées, on sait que , vu la proportionnalité des côlés ^ les deux figures offrent aussitôt l'universelle convergence des droites qui y joi*gaent tous les points homol(^es en un point unique, quelquefois appelle centre de similitude , quoiqu'il fût mieux nommé cenire ^homotogie. Enfin , les longueurs de ces droites comptées de»pais ce point jusqu'à Tune et à l'autre figure sont alors entre elles dans un rapport constant , égal au rapport linéaire des éenx contours. Réciproquement, deux figures ainsi eonstrakes, à partir d'un point quelconque , seront nécessairement sémr Uables, soit qu'on ait placé les points homologues en partageant proportionnellement tous les rayons, soit qu'on les ait déterminés successivement d'après le parallélisme des cordes correspondantes. La condition fondamentale pear l'exfeMioo spouiMiéeâux figures eurvfligmes estenoM^ ioi évMemmxmt ramj^ie,

196 QioialTiis KAra.

puisqu'on é^ite aiusi directement toute considération infinitési* maie, autre que celle relative au ncmibre des points à comparer, qui ne constitue , par sa nature, aucune difficulté essentielle. On reconnaît^ par exemple, aussitôt, d'après ce second mode, la similitude constante de deux cercles, comme une suite nécessaire de la définition ordinaire : il suffit de les concevoir concen* triques.

Géométriquement envisagée, une telle propriété offre le grave inconvénient de mêler les relations de situation aux notions de similitude y qui^ en elles-mêmes, n'en sauraient dépendre. Mais ce mélange n'est, au contraire, nullement vicieux sous l'aspect attal3rtiqae. Gomme les idées de situation sont seules immédiatement exprimables par nos équations, suivant les explications initiales de ce traité , c'est à raison même d'une telle réduction des conditions de forme aux relations de position que cette seconde théorie de la similitude s'adapte plus commodément que la première à l'institution analytique.

Il suffit pour cela de concevoir les deux courbes semblables AMBN, A'M'ffN', (fig. 40), disposées parallèlement, comme le constaterait, par exemple , le parallélisme de deux lignes homologues AB, A'B', et de supposer l'origine des coordonnées placées au centre de similitude ou plutôt d'homologie correspondant à cette situation. On voit alors que les coordonnées MP, M'F, et OP, O^F de deux points homologues quelconques M et M' seront nécessairement en raison constante. Si donc xeijr satisfont à l'une des équations, mjc et mj- devront , par cela même, satisfaire à l'autre, en prenant convenablement la constante/». Les deux équations proposées /',(^,j^)=0,/^(a7,j^)=:0 devront ainsi coïncider, en changeant dans l'une d'elles x en mjc et^ en my. Tel est le principe éminemment simple de la meilleure théorie analytique de la similitude des courbes. A la vérité , si la vérification d'un pareil caractère analytique

SEGONDB PABTIB> GHAPtTRB SIXIÈME. 197

constate évidemment la simili tade des courbes corres|K)adantes, on ne saarait toajoars assurer, en sens inverse , que sa non- Térification démontre leur dissemblance effective; car cela pourrait anssi provenir de ce que les deux figures ne seraient pas actuellement parallèles , ou même seulement de ce que la présente origine des coordonnées ne se trouverait pas au centre convenable. Mais , quoique ce mélange primordial entre les re- i

latioos déposition et celles de forme doive exiger, en général , \

comme je vais l'expliquer, de nouvelles opérations analytiques pour dissiper une telle incertitude , il n*en faut pas moins reconnaître que, dansr beaucoup de cas, le principe précédent pourra immédiatement suffire , lorsque Tétude préalable de Tespèce de courbes proposée aura déjà garanti Taccomplissèment de cette double condition préliminaire relative à la seule situation ; ce qui sera presque toujours facile quand cette question arrivera en temps opportun.

Si , par exemple , il s'agit de deux ellipses ou hyperboles , d'après la définition du n"* 19, il est évident que les deux équations

se rapportent à deux axes semblablement placés envers les deux courbes , dont chacune est symétrique autour de chacun d'eux j en sorte que , en cas de similitude, les deux courbes sont certainement déjà dans la disposition parallèle, et l'origine au centre d'homologie correspondant. Changeant donc , pour la première , x en mx et y en m^, et disposant les équations de manière à éviter tonte condition superflue , il faut identifier les deux équations

198 oifoirtnitit PLAUB.

d'après ane valeur eôirreBable de la eonsiante m. Or, oii ffft

coïncider leurs seconds membres en preoapt i»== y/ ^ ,^<

ce qui détermine le rapport linéaire des deux courbes. Mais ta comparaison des premiers membres montre clairement que la

d a relation - = -7 est nécessaire et suffisante pour la similitude, c c

comme l'avait ci-dessus indiqué la première méthode.

Diins le cas de la parabole , en prenant les équations j^'=:2rfjr, y=2^£txy ouest évidemment assuré encore que les deux cotiditionâ préliminaires relatives à la situation sont suffisamment remplies , d'après la coïncidence spontanée de deux lignes caractéristiques , Taxe et la tangente au sommet , avec leurs homologues. Il devient alors facile de constater ainsi, plus commodément que par Tautre méthode, que les deux courbes sont toujours semblables. L'opération ne serait pas plus pénible envers deux cissoïdes

67. Il reste maintcmant à compléter analytiquement cette théorie définitive de la similitude des courbes envers les caa > possibles mais peu usuels , ou, faute de renseignements préalables, les deux équations données ne seraient pas de nature à supposer raccomplifisement des conditions préliminaires relsitives à la situation. On conçoit , en général , que l'usage conve-> nable des forpiules propres à la transposition des axes devra suiSre pour ramener ces cas aux précédents.

Supposons d'abord > afin de simplifier cette extension graduelle , que les courbes soient encore disposées parallèlement , mais que l'origine des coordqnnées ne soit plus placée au centre de similitude correspondant , comme d^ns la figure 41. Il suffit de remarquer ici que la propriété analytique fondamentale , établie au n"" précédent, u'exige pas que les deux courbes soient rapportées à la même origine, et qu'elle aurait néces-

SECONDE BlinS, CBUttffU SIXliUE. tM

Httocflwot liea, de la même Hmière , envept depx etigloes MQletnetit homologQes. Par oonséqEent , il existera nne wr-* Wne <H4|^ne O/^ aisée i détermitier géemétriquemeoit y pour la^ quelle la selsonde équation^ (^, r)=^0 derra oûiQcider a^ec la première, d'après le changement caradéristiqne de x en fnx et y en my. Au lieo de calimler d'arance , suivant la eonsiroetioo Di^tarelle , la pos^ion ^e çc point placé envers la seconde courbç comme l'origine primitive 0 envers la première, il vaut mieux qu'elle ressorte finalement de Topération analytique ellenénie. On se bornera donc à opérer, pour Tune des courbes « HA déplacement d'origine indéterminé, et on tentera ensuite d# ftiîfe coïncider les deux équations /, {mx , my) c» 0, /, ( x + a , y-^-h) =3 0 , d'après des valeurs convenables des trois constantea arbitraires m , a , et &, qui représentent , d'une part , le rap- |wrt linéaire des deux courbes , d'une autre part , les coordonnées du point homologue, envers la seconde, à la position de l'origine actuelle dans la première. Les rdations nécessaireê à cette identification constitueront les conditions de sii^iilitude dMTchées ^ si toutefois on est d'avance sqiBsamment assuré du paralMisme efiteotif des deux courbes proposées,

Ckmsidérons enfin le cas le plus général , gb les deux courbes ne seraient pas même parallMes , comme dans la flgnre 4i. En- GODstrufeant sur A'B^» homologue de AB , tti) triante semblable an triangle OAB , il déterminerait d'abord nn point O' plaéé eftvers la seconde courbe de la même manière que l'oHgine ae^ tneHe O envers la première. Si , en ce point , on place des axes (yX', OTT', faisant avec A'B' les mêmes angles que les axes primitifs OX, OY font avec AB , il est clair, en généralisant , autant que possible , la conception de la propriété fondamentale du fk^ précédent , que Téqaation de la seconde courbe relativement à ce nouveau système d'axes ne devra , en cas de simi-^ litnde, différer de celle de la première que par le changement,

900 gAohétue KAn.

toQJoan également caractéristique, it xenmjc et^ en my. Ainsi , sans chercher d'avance la situation de ce aystème , on opérera , dans l'une des équations , une transpoaition d'axes indéterminée , portant à la fois sur la direction et l'origine , mais en conseryant la même inclinaison , et on examinera s'il devient possible d'identifier les deux équations

f,ix' cosT— y siuX'+a^ y8inX'+ycosX'+i)=0, flm::ç,my)=:0,

en disposant convenablement des quatre constantes arbitraires m^ay by et X', dont les valeurs, nullement étrangères à la question , détermineront le rapport linéaire des deux courbes, et feront en même temps connaître exactement en quoi consiste la diversité eJSective de leurs situations actuelles. Toutes les relations indispensables à une telle coïncidence constitueront ici des conditions nécessaires polir la similitude des deux courbes proposées, dont la disposition mutuelle est maintenant tout à fait quelconque.

68. Quelque théorie analytique, ou même géométrique, que l'on croie devoir employer relativement à la similitude des courbes, il importe de sentir, en général, qu'on devra surtout la diriger, en chaque cas , vers la détermination du nombre nécessaire des conditions distinctes ; car, c'est en. cela que con* siste réellement la principale diiBculté d'une telle étude. Aussitôt que ce nombre est connu, il ne faut plus attacher qu'une importance secondaire k la forme actuelle sous laquelle se présente ainsi chacune de ces conditions de similitude, qui, parla nature du sujet , comporte nécessairement beaucoup de transformations ultérieures y toujours assujetties d'avance à un principe commun. Ce principe, résumé final de toutes les propriétés relatives aux figures semblables , consiste dans l'universelle proportionnalité et dans l'^ale inclinaison des diverses droites homologues qu'on y peut respectivement considérer î ce

SEGOifDB pjurris, CBAVnVK SIXliMB. SOI

qui cottslitae une simple extension de la défii^tion étémenti^re, dès lors indistinctement appliquée à tontes les droites qaeloonqnes, transversales on latérales, inhérentes à cbaqne figure. Toute condition de similitude pourra prendre ainsi deux sortes de formes, l'une linéaire, l'autre angulaire, suivant qu'on la concevra comme relative à une proportion de longueurs ou à une égalité d'angles, chacun de ces modes comportant d'ailr leurs autant d'énoncés distincts que Ton pourra instituer de oombinaisotts binaires entre des droites caractéristiques. Mais œs diverses expressions, de Tune ou l'antre espèce, seront, par leor nature^ essentiellement équivalentes, quoique pinson moins convenables, et il faut s'habituer à les échanger directement, sdon les convenances propres à chaque cas , sans jamais se préoccuper, à cet égard , d'aucune rédaction exclusive. Si donc lanéthode analytique ne présente pas d'abord les conditions de similitude sous une forme suffisamment nette, comme il devra arriver le plus souvent , il faudra peu s'en inquiéter, puisque la nature des courbes proposées fournira immédiatement des énoncés presque toujours préférables , pour peu qu'elles aient été préalablement étudiées. Or, cette réflexion générale est éminenunent propre à simplifier beaucoup, dans la plupart des cas, l'application effective de la théorie de la similitude. Car, en se hxrnant ainsi à en déduire surtout le nombre des conditions, on pourra souvent se contenter du simple aperçu des calculs prescrits , sans avoir besoin de les accomplir strictement. Par exemple, d'après la théorie générale du n" précédent, il est aisé de sentir, envers deux équations complètes du second degré , contenant cinq termes variables, que les courbes correspondantes exigeront seulement une condition de similitude, puisque le nombre de termes à identifier n'excède alors que d'une unité le nombre universel des constantes disponibles pouricette coïncidence. Quant à la nature de cette unique condition, l'en-

lière eiécatioil éa calcol M fcrtil «pie la fNréiailgr êom vm forme pénible, qu'il est itiatile de ooQiiattn : noDsettmiiieMii plus tard les divers énoncés spédaux, linéaires oa angnlaifes, qu'il conTiendra d'y appliquer dif^ectementi

€9. Afin de perfectionner davantage la tiiéorie générale de la similitude des courbes planes , il y faut maioteDant joindre une importante considération subsidiaire , qui , judicieusement appliquée, dispensera souvent de toute opération analytique, en permettant de déduire immédiatement la solution de la seule définition des lignes proposées. Gette méthode auxiliaire repose sur rheureux aperçu , indiqué par Glairaut dans ses éléments de géométrie , et suivant lequel deux figures semblables ne ait* fèrent que d'après l'échelle sur laquelle elles sont construites^ en sorte qu'un simple changement d'échelle pourrait toujours les rendre superposables. Quoique Clairaut n'y eût en vue que les figures rectilignes, ce judicieux énoncé convient également, sans aucune préparation spéciale , aux diverses figtu^es curvi* lignes. On doit le regarder comme Fexpression la plus concise de tous les rapprochements géométriques auxquéb la similitude peut donner lieu.

D'après un tel principe , le travail à accomplir soi* chaque définition proposée d*ttne espèce de courbe , afin d'y découvrir les conditions de similitude, consistera à y bien séparer d'abord les données, linéaires ou angulaires, indispensables à la gran*^ dcur de la courbe d'avec celles qui n'aflecteraient que sa situation, et ensuite à réduire les premières au moindre nombre possible. Cette double préparation présente quelquefois, surtout sous le second aspect, des difficultés insurmontables, ponr certaines définitions , envers lesquelles on ne pourra éviter , à ce sujet, l'emploi ultérieur delà méthode analytique, qui conserve donc nécessairement son privilège exclusif d'nrie entière généralité. Mais, quand ces deux conditions préliminaires auront

SECOinoE PÈAtêi, iMiiMms sixièiib. 90t

étér sttlBsàbaiDtet rémpliedy 1« {ffinèipè ie Gteirait ftnsmira anssitôt la solùtkm demaÉdée. Car, ûï la grâtidëur dé la courbe est ainsi déterminable d'après ane seule diaiension^ toutes les ooatbes de cette espèce sont nécessairement semblables entre eHes, pnisqne le simple changement d'échelle pourrait les faire oeinciâer , en Identifiant leurs dimensions respectives. Quand il faiidra plusieurs données distinctes et indépendantes ,Ua similitode exigera autant de qonditions qu'il eidstera de ceà éléments moins un , et chacune d'elles consistera naturellement dëns la proportionnalité des lignes considérées, ou dans l'éga- ]Hé de^ angles introduits, sauf à lui attribuer ensuite toute Autre forme, linéaire ou angulaire , que Ton jugerait préftrable, sfilfant la faculté de transformation expliquée au n*" {Hrécédent. Alors , en effet , le changement d'échelle ne pourra identifier qti'^anè seule dimension respectite, et les courbes ne serotit sentblaUes que si cette preinière coïncidence entraîne celle de toos le^ autres éléments , ce qiU suppose évidemment l'uHivet^ selle ptoportionnaliié des longueurs proposées ou l'égalité mutuelle des angles considérés. On voit qu'une telle mareb^ revient , en d'àUtres termes, à déduire les conditions de la similitude dé celles de l'identité^ en côtisidérant, d'une pBft, que te nombre dés unes d<rit toujours être inférieur d'une unité ft e&bii des butred , et , d'une autre part , que lès diverses égalités linéaires simultanément prescrites par celles-ci doiveiit se changer en simples proportionnalités pour celle-là.

Cette méthode subsidiaire ferait aussitôt découvrir la simili^ ttide constante, déjà constatée aUalytiqUement , dans les divers cas du cet'cle, de la parabole , de la cissoïde, etc. : elle nous apprend, en outre, que la même relation s'étendra aux courbes qni dériveraient de ces premières d'une manière déterminée, d'ailleurs quelconque, comme , à l'égard du cercle , la cycloïde, répicycloïde, les courbes de Descartes (n<> 26), etc. Au contraire.

les ellipses oa hyperboles , d'afHfès la définitioii da n* 19, ne se* ront semblables qa'aatant qa'ii y aara proportkmDalité «lire les deux longaears, éyidemmeDt indépendantes et irrédocti-» blés , qai y déteripinent la grandear de la courbe , abstraction faite de la situation. La déCnition commune des trois sections coniques (n** 23) exigera ainsi, poor la similitude, réalité du rapport spécifique corre^ndant. Envers les définitions de la coadioïde ou des sections toriques, on trouvera, sans plus d'embarras , des résultats analogues.

Les conditions préliminaires propres à garantir le succès de cette méthode subsidiaire sont de la même nature que celles relatives à la méthode correspondante que compcnrle aussi la théorie du nombre de points déterminant : seulement, ce préambule indispensable est id plus difficQe et plus incertain envers quelques définitions , pareillement antipathiques à ces deux procédés supplémentaires; puisqu'il faut maintenant opérer, en outre, une séparation , souvent délicate, et quelquefois impossible , entre les idées de grandeur et les idées de po* sition. C'est ainsi , par exemple, que les définitions du cercle, soit comme segment capable, soit oonune lieu des points dont les distances à deux pôles sont constamment proportionnelles , ne permettraient nullement de constater, par ce moy^n, la stmilitode nécessaire de tons les cercles, puisqu'elles semblent exiger deux données distinctes pour déterminer la grandeur de la courbe , quoiqu'une appréciation ultérieure , que l'équation peut seule, en général, diriger sûrement, doive montrer qu'il n'y a d'indispensable, à cet égard, qu'une certaine combinaison unique de ces deux éléments en apparence irréductibles. Mais l'irrécusable évidence des erreurs que pourrait produire , envers des courbes peu étudiées ou trop compliquées , Tapplication irréfléchie de cette méthode subsidiaire ne saurait altérer son incontestable efficacité dans les cas qui s'y adaptent suffisamment.

ABCONDB PAaTU, CHANtKB SBmilIE. 965