CHAPITRE VII

Théorie des quadratares.

70. Il serait ici saperfla de faire expressément ressortir la baateimportance générale d'une telle théorie , directement relative aux questions snr la mesure de l'étendue , où réside sur« toot la destination finale de l'ensemble des études géométriques, dont tontes les antres parties né constituent , à cet égard, que des préambules indispensables , soit pour préparer la solution effective , soit pour diriger Vapplication ultérieure. Outre la mesure des aires planes curvilignes, cette théorie comprend , en général, les trois ordres 4e questions fondamentales désigoées sous les dénominations caractéristiques de quadratures, rectifications, et cubatures, expressions très-propres à rappeller la transformation définitive de l'aire proposée en un carré, de la circonférence donnée en une droite., et du volume considéré e& un cube, résultat naturel de toute mesure géométrique. Une judicieuse prépondérance du point de yue analytique a conduit les géomètres modernes , ainsi que ce chapitre l'expliquera , à concevœr ces diverses recherches générales comme essentiellement équivalentes , au point de pouvoir rentrer à volonté les mies dans les autres , tandis que la géométrie ancienne n'avait pa saisir entre elles qu'une vague et insuffisante analogie. Mais le titre de cette grande théorie doit cependant rester toujours tiré du problème des quadratures, qui constitue la forme sous laquelle oette commune question est le plus simplement accessible aux procédés analytiques.

les ellipses on hyperboles , d'après la définition dn n** 19, ne se* ront semblables qu'autant qu'il y aura proportionnalité oitre les deux longueurs, évidemmient indépendantes et irréductibles , qui y déteripinent la grandeur de la courbe , abstraction faite de la situation. La définition commune des trois sections coniques (n** 23) exigera ainsi, pour la similitude, l'^^alité du rapport spécifique corre^ndant. Envers les définitions de la condioïde ou des sections toriques, on trouvera ^ sans plus d'embarras , des résultats analogues.

Les conditions préliminaires propres à garantir le succès de cette méthode subsidiaire sont de la même nature que celles relatives à la méthode correspondante que oompcurte aussi la théorie du nombre de points déterminant : seulement, ce préambule indispensable est ici plus difficile et plus incertain envers quelques définitions , pareillement antipathiques à ces deux procédés supplémentaires; puisqu'il faut maintenant opérer, en outre, une séparation , souvent délicate, et quelquefois impossible , entre les idées de grandeur et les idées de po* sition. C'est ainsi , par exemple, que les définitions du cercle, soit comme segment capable, soit comme lieu des points dont les distances à deux pôles sont constamment proportionnelles, ne permettraient nullement de constater, par ce moyen, la similitude nécessaire de tous les cercles, puisqu'elles semblent exiger deux données distinctes pour déterminer la grandeur de la courbe, quoiqu'une appréciation ultérieure, que Téquation peut seule, en général , diriger sûrement , doive montrer qu'il n'y a d'indispensable, à cet égard, qu'une certaine combinaison unique de ces deux éléments en apparence irréductibles. Mais l'irrécusable évidence des erreurs que pourrait produire , envers des courbes peu étudiées ou trop compliquées , Tapplicalion irréfléchie de cette méthode subsidiaire ne saurait altérer son incontestable efficacité dans les cas qui s'y adaptent suffisamment.

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