CHAPITRE VIL

Théorie des qaadratares.

70. Il serait id saperfla de faire expressément ressortir la iuiote importance générale d'une telle théorie , directement relative aux questions sur la mesure de retendue , où réside sur* toat la destination finale de l'ensemble des études géométriques, do&t tontes les antres parties né constituent , à cet égard, que des préambules indispensables , soit pour préparer la solution effective , soit pour diriger Vapplication ultérieure. Outre la mesure des aires planes curvilignes, cette théorie comprend , en général, les trois ordres 4e questions fondamentales désignées sous les dénominations caractéristiques de quadratures , rectifications, et cubatures, expressions très-propres à rappeller h transformation définitive de l'aire proposée en un carré , de h circonférence donnée en une droite., et du volume considéré en un cube, résultat naturel de toute mesure géométrique. Une JQdideuse prépondérance du point de yue analytique a conduit les géomètres modernes , ainsi que ce chapitre l'expliquera , à coDceTCHT ces diverses recherches générales comme essentiellement équivalentes , au point de pouvoir rentrer à volonté les unes dans les autres , tandis que la géométrie ancienne n'avait pa saisir entre elles qu'une vague et insuffisante analogie. Mais le titre de cette grande théorie doit cependant rester toujours tiré du problème des quadratures, qui constitue la forme sous laqoeUe oette commune question est le plus simplement accesttble aux procédés analytiques.

De tels problèmes sont aujourd'hui conçus , d'une manière trop exclusive, comme ne pouvant être jamais traités que par l'analyse transcendante. Quoique cette analyse soit, sans doute, indispensable à leur solution dans les cas un peu compliqués, ce n'est point d'elle que dérive réellement l'ébauche , même analytique , de cette théorie générale. On a maintenant trop oublié la phase rapide, mais impérissable , que présente l'histoire de la géométrie moderne depuis la fondation de la géo* métrie analytique par Descarted jusqu'à la découverte de l'analyse infinitésimale par Leibniti. Dms ce mémorable intervalle , plusieurs gécMBètres > et surtout Wallis , ont heu^ reusenicnt concouru à développer et à aystématiser de piaf en plus la théorie générale des quadratures par les aeuto ressources de l'analyse ordinaire; el c'est priocipalemeat pour perfectionner ces premiers efforts que le calcul inté gral a été ensuite créé, tandis que le progrès de la théorie des tangentes conduisait au calcul différentiel. Il importe beaucoup que la marche individuelle de l'initiation géonuè»- ^ique reste toujours coofonne à cette gradation spontanée du développement historique , en caradérîsaBt ici avec soitt les moyens que comporte , à cet égard , l'analyse éiémeu* taire ^ et qtti » quoique plus bornés qu'envers toutes les questioea antéri^ireS) sent, cependant bien ploa étendus qu'on ne le suppose maintenant y sans altérer d'ailleurs cette indispensable exposition par aucune vaine introduction déguisée de l'analyse transcendante.

Pour poser le problème des quadratures sms la forme la mieux accessible à toute analyse , il faut réduire les aires à mesurer au simple trapèze curviligtie MPM'P' (^gr. 4S) , coinpris entre deux ordonnées quelconques MP, M!f et les parties interceptées PF^ MM', tant de Faxie, que de la courbe prefo^ sée. La quadrature d'un tel espace eondoini atsément à eelle éê,

SECONDE PAUIBy COAPOBM SEPTIÈBIE. 9ffl

segment proprement dit, renferfné entre un arc de la courbe et sa corde, en procédant par soostraction envers le trapèze rec^ tiligne correspondant. Ce segment une fois mesnré , on pcmrra évaloer, en général , l'aire de tcmt polygone formé arbitraira*a^ent d'arcs de courbes , analogues ou hétérogènes : car^ après avoir estimé le polygone rectiligne qui résulterait des cordes de tons ces arcs quelconques, il suffira évidemment d'y ajouter les segments concaves et d'en ôter les segments convexes. Nous pourrons même le plus souvent simplifier encore an peu k totme en problème fondamental , en nous bornant à y carrer le triangle rectangle curviligne AMP ^ qui conduira au trapèze M'P'MP , en retranchant l'un de l'autre les deux espaces triaa*gnlaires relatifs aux deux ordonnées extrêmes.

Cela posé, l'esprit général delà méthode des quadratures , spontanément manifesté par le grand Architnède envers quelques cas caractéristiques , dès le premier essor des hautes spécnlatiûiia géométriques ^ consiste à concevoir l'aire curviligne demandée comme la limite vers laquelle tend une certaine aire rectiligne, inscrite ou circonscrite, à mesure que ses parties deviennent indéfiniment plus nombreuses et plus petites; puisque les figures rectilignes sont seules immédiatement appré< dables. Si , par exemple , on divise , pour plus de facilité , la base âF oû PF du segmekit proposé en n parties égales , et que Ton élève les ordonnées correspondantes^,, y^^ys^ etc., en menant ensuite de l'extrémité supérieure de chacune déciles une parallèle à l'axe prolongée jusqu^àla suivante, on substituera à Taire AM'F ou M'FMP la somme d'un pareil nombre de rectangles ainsi formés, et la limite de cette somme

■" (^i+^.+J^3"+J^)> qnand n augmentée l'infini, détermi-

nera l'aire dierchèè. lV)ute In dittbttlté d'ime telle recherche coniisli doue è éèeouvrir, ^ ehftqiM cas ^ l'expression 4le««4te

limite, pour laquelle les anciens n'ont possédé que des ressources purem^t spéciales, toujours très-bornées, comme envers leurs autres spéculations géométriques. Du point de vue analytique, on conçoit en général , que cette limite commence constamment par se présenter sous une forme entière-

ment indéterminée, 0X« , — , ou tout autre symbole équi va-

lent , lorsqu'on introduit brusquement l'hypothèse de n infini , sans avoir eu suffisamment égard à l'équation proposée. Ainsi , sous cet aspect , la question fondamenlale des quadratures est toujours réductible finalement à un simple problème d'analyse, consistant à transformer, d'après la loi des ordonnées envers

les abscisses, la fraction ^'^ ^^''^^' "'"^^ en une autre équi va-

lente, qui ne devienne pas indéterminée pour n infini : de même que nous avons vu la recherche des tangentes se réduire

à un problème analogue sur la fraction '-p ; î seulement la

transformation|actuelle présente, par sa nature , beaucoup plus d'embarras que Fautre.

L'analyse ordinaire ne peut immédiatement surmonter celte difficulté caractéristique qu'à l'égard des seules courbes , dites paraboliqiies , où une puissance quelconque dej'ordonnée est proportionnelle à une autre puissance quelconque de l'abscisse. Nous supposerons même d'abord que l'une des coordonnées ne se trouve qu'à la première puissance , en sorte que l'équation soit X = ax'^. Toutefois , d'après ce cas primordial , l'heureux principe d'extension posé par Wallis nous permettra de procéder ensuite à l'entière solution du problème envers beaucoup d'autres courbes.

Ce cas fondamental peut être traité suivant deux modes tréck différents , qu'il faut ici successivement expliquer, l'un plus