SECONDE PARTIE, CHAPITRE SEPTIÈME
simple, mais plus borné au fond, l'autre plus diJSRcile^ mais beaucoup plus éleodu, et seul fioalemeut susceptible d'une vraie généralité.
71. Dans le premier mode , la forme de la solution consiste à chercher le rapport entre les deux segments complémentaires OMP et OMQ {fig. 44), reposant sur les deux axes. La connaissance de ce rapport conduira aussitôt à la détermination du segment proposé OMP, puisque la somme des deux segments éqaivaut iau rectangle connu OMPQ, formé par les deux coordonnées extrêmes.
Pour trouver ce rapport, concevons substituée à chaque serment une suite convenable de rectangles , selon la construction ci-dessus indiquée ,. mais sans ÏQxer encore le mode de succession des sommets intermédiaires M', M", M"', etc., dont le nombre doit seulement toujours rester indéfini. L'esprit de cetle première méthode consiste surtout à profiter d'une telle faculté afin de simplifier l'expression du rapport des deux suites , de telle manière que sa limite devienne distinctement appréciable. En nommant x^ et y, x" et y, etc., les coordonnées intermédiaires , R et r, R' et r, etc., les deux sortes de rectangles partiels, le premier rapport élémentaire sera évidemment
H y ix x^)
exprimé par la formule -=~p- y. Si, d'après l'équation
proposée y ==■ ax^^ on y élimine les ordonnées , elle devient
d'abord -== ;;; n^'^ . Or, la nature de la question exige
évidemment la suppression du facteur commun x — j/, qui , s'annulant à la limite, laisserait indéterminé le rapport partiel, et par suite le rapport total. Après Tavoir ùté, on a
ik
2U> aÉQWTItlB PLAIDE.
Les autres rapports partiels -j, -jr^ etc., seraient exprimés par
des formules anal(^es, procédant pareillement selon les paisr-
a/ a/' sances de^, -^, etc. Pour en déduire le rapport total
R + R'+R"+etc. ,. ^ , , , , , __
— , r ,' ' >r , ) tt faïtt remarquer, et o est en cela que
r-f- ^ -j'^ 'j- etc.
consiste Fartifice fondamental de cette première méthode , que sa formation deviendrait très-simple si ces divers rapports élémentaires pouvaient devenir égaux entre eux , puisque le rapport des sommes coïnciderait alors avec celui des parties. Or, cette égalité est ici pleinement facultative, comme exigeant
seulement la relation -, =i -?/ "^ -Tf/'.ete. i oe qui revient à
or oc' or" distribuer tellement les points intermédiaires M', M", M'", etc., que leurs abscisses, et par suite leurs ordonnées aussi, décroissent en progression géométrique, s^ns fixer d'ailleprs la raison q cle cette progression , de manière à pouvoir multiplier indéfiniment ces sommets, ea rapprochant q de l'unité, qui constitue sa limite. Bans cette hypothèse , on a donc
R+BNf-R^etc. i
En passant à la limite, où 5^ = 1, il en résulte aussitôt, pour le rap^rt cherché des deux segments OMP et (»iQ, la fcr-
Si , ^,
^ « —, qui , d'après teur somme évidente , conduft fina-
Icment à la loi géométrique S = x^, d'où dériverait
immédiatement la quadrature graphique , et ensuite h îa loi analytique S = , sur laquelle il importe davantage d'ar-
rêter notre attention. On y voit que, pour déduire, de la fonction
SECONDE P4JlXffi> CliAPITlUS SEPTIÈME. Sll
j^Bim à ror4piiQ^9 celle quj exprime Taire, il suffit ici d'auge pii^Dter d'uHe vmi^ Fexpo^siQt de la première et de la diviser par cet exposant ainsi apgmentQ. C^tte qpér^tioa algébrique étant précisén^ent l'inverse de celle qu'ei^igerait la formation de la fonction dérivée proprement dite , on peut donc finalement rédiger celte loi analytique des quadratures sous celte forme^)lus concise : la fonction relative à l'ordonnée est la dérivée de celle relative à l'aire. L'analyse transcendante montre d'ailleurs qu'uq tel énoncé ne constitue pas seulement, comme noDs devons le penser d'abord, un mode plus succinct d'exprimer le résultat algébrique de la solution actuelle , mais qu'il renferme directement l'expression la plus générale delà loi fondamentale des quadratures , qui , dans une courbe quelconque , consiste, en effet, en ce que l'ordonnée est toujours la dérivée de l'aire.
Tout lecteur judicieux a sans doute déjà senti spontanément, dans l'exposition précédente , l'analogie remarquable que présente cette première métbode élémentaire des quadratures avec la première métbode élémentaire des tangentes, de manière à saisir une véritable affinité analytique entre les deux principales de nos théories générales , qui, en effet , ne peuvent l'une etl'%9tr#â^rf cwveoaUefiSiifit f^nésaliaées que d'a|Hrès une intervention, essentiellement équivalente, quoique très-^dtstiaele , del'analyse infinitésimale. Ofitre la conforinité fondamentale, cidessus indiqi]^e , entre les deuf prot^lènes analytiques corres-* pondants , on voit que l'élaboration algébrique repose pareillement sur la division de a^ — i** par a— 6, et que les deux résultats s'accordent naturellement k introduire en géométrie , solvant deux voies différentas, la grande considération des dérivées.
Afin d'étendre, autant qwe possible, cetjte premjère méthode, il faut maintenant expliquer lambdific^tiop algébrique d'après
213 GÉOMÉTRIE PLANK.
laquelle le même artifice géométrique permet d'aborder avec autant de succès le cas pl6s général deréquation^*"= ^or*", les deux exposants y étant entiers et positifs, mais d'ailleurs quelconques. En y dégageant l'ordonnée , le rapport élémentaire
— devient alors r
R a"^ x' "" {x — af)
La seule difficulté nouvelle consiste ici dans l'impossibilité immédiate d'enlever le facteur qui, à la limite , annule simultanément les deux termes de cette fraction. Or, un tel embarras se dissipe aisément d'après une simple préparation algébrique, qui consiste à se défaire des exposants fractionnaires, suivant l'expédient ordinaire, en posant x=/**, 0:'=^'"*, sans qu'il faille d'ailleurs se préoccuper du sens géométrique des variables auxiliaires r et /', qui vont prochainement disparaître. Cette transformation donne aussitôt la formule
où l'on peut dès lors enlever, comme ci-dessus, le facteur vicieux r — ^, d'où
Cette expression ne dépend, au fond, ainsi que dans le premier cas 5 que du rapport -, suivant la loi
SCCONDB PARTIE, CHAPITRB SEPTIÈME. 213
D'après nne telle préparation, les rapports partiels dcvicudront
^ é' t'" encore égaax, si Ton suppose— = -,- = y,, etc., ce qui re-
fr V C
Tient, de même qu'auparavant, à faire décroître les coordonnées intermédiaires en progression géométrique. On aura donc, pour le rapport total, l'expression
R4-R^+R^^+, etc. g^^j^g"^^ -fi
r+r'+/'+, etc. ^ ^'^'+î'-='+.... + 1 '
qni, à la limite , donne- = —, d'où il résulte , géométrique-
m ment, S = jc^, ce qui conduit aussi commodément que
ci-dessus à la quadrature graphique , et ensuite analytique
ment S = . Ce dernier résultat montre clairement que
la loi de formation algébrique d'abord établie sur l'équation y^ax"^^ pour y passer de l'ordonnée à l'aîre, s'étend exactement à l'équation y"^ = ax'*, en mettant celle-ci sous la même forme à l'aide des exposants fractionnaires, envers lesquels on opérerait comme s'ils étaient entiers. Ainsi les deux cas de quadrature auxquels cette première méthode est immédiatement applicable aboutissent finalement à un même énoncé analytique.
7â. La seconde méthode consiste à traiter directement la question analytique qu'introduit naturellement le problème des
quadratures, suivant la formule générale S==j:( -^ — ' ^"* ^ J
(n° 70), en cherchant l'expression de la somme des valeurs que prend la fonction relative à l'ordonnée pour une suite de valeurs—, 2 —, 3 — , »-,delavariaMe: ce qui équivaudra,
2lk GÉOMÉTRIE PLAKE.
dans chaque cas, à la sommation (fane certaine suite de nombres. Sous cet aspect, la sommatioQ des suites «aptiert anMîtôl une haute importance géométrique, puisque, dès qu'on e$t oar- Tenu à sommer une suite quelconque , on en peut déduire immédiatement la quadrature d'une certaine courbe. Malheureusement nos connaissances à ce sujet sont, même aujoardliui, et seront nécessairement toujours fort imparfaites, d'après la grande difficulté que présente ce genre de spéculations analytiques, quand on s'écarte des plus simples progressions«.Au^si le principal Tice de cette marche, éminemment naturelle et pleioement générale ^ qui fut essentiellement celle de Wallis et de ses contemporains , consiste-t-il à exiger inutilement la recherche complète d'une telle sommation , quoique son expression totale ne doive pas influer sur le résultat demandé, puisque la plupart des termes disparattroât à la limite , sans que néanmoins nous puissions actuellement dégager les seuls qui doivent réell^metit affecter cette Kmite, qui constitue pourtant Tâo^ue objet du problème des quadratures. Le privilège essentiel de l'analyse transcendante, consiste» à cet égard, à abcMrder direc** tement la détermination exclusive d'une telle limite, abstrae-* tion faite de la sommation effective , qui présente beaucoup plus de difficultés 5 et qui n'est vraiment accessible qu'en un bien plus petit 'nombre de cas. Maîë ici nous devons accepter la question avec toutes les complications superflues qu'elle pressente naturellemeiit , et apprécier ainsi les ressources que comporte, à cet égard , Tanalyse la plus élémentaire envers les courbes de l'espèce j^=^zj:"*, où //i est entier et positif; sauf toutefois à écarter, dans l'exposition , l'inutile développement ' des termes de la formule sommatoire qui se montreraient évidemment dépourvus de toute influence sur la limite cherchée.
Dans ce cas, on a S=:ax^^ l — î ! ^^ ! — J,
SEGONDB PAAti^; (llfetAPlAMli ^EPTIÈBfE. ^1^
et la qoMtton coiièfs'të à sMuttiet' les ni^^^ paîs^àncés de^ bbtn-
bres naturels 1, % 3 n; afln de coi&paret' cette sdmme à
n*^, pour j^réhdre là valew de ce irapport quand h est infini. Quoique cette recfaerthe algébrique n'etige rééllemeht rien au delà des premiers éléuients d'algèbre , on ti'a pas coutume eUcoPB de Ty traiter ; en sorte que, si je ne Texpliquais ici succinctement, je craindrais de n'être pointasses compris du lecteur qui a'âHrait strictement reçu que le degré précis de préparation analytique proclamé d'abord indispensable à l'étude de ce traité. Poor déterminer, en général, là somme des fn^'^'^ puissances
d'one suite de /t. nombres û^h^ùy A, /, en progression arîth-
métiqtïB , dont la raison est /" , il suffit d'èleter â la puissance in-f 1 diaeunedes relations caractéristiques
qui définissent la progression, et d^ajouter ensuite tous ces dé- TdloppemeQts. Câr^ en désignant par S^+i , S». , Sw^i....S„ 9. , la somme des termes proposés élevés chacun à la puissance que marque nudité , on aUra ainsi, dprlès aVôir ôté ^m^\ commun aux deux membres, une relation fondaii^entale
entre là sompie cbercbée et toutes las somme» «naloyues relarti?es aux puissances antérieures. Si doua pu part 4e Sit déjà connu , ou même de S« , dont la valeur est immédiate ^ ou pQprru^ former ainsi successivement les expressions deS,^ â„ f tc^ ÎUsqi^'A telle puissance qu'on voudra. Dans la progression considérée ici 1, 2, 3, 4 w, cette relation se simplifie et devient
„"+•__„= ifn + 1) (S™ - n*) + i^!±^ (S„, - «"-') +^=±^^£^(S«-.-n»-) + etc.
916 GliOMitTIUlI FLANE.
Quoique ce moyen pùl certainement condoireà sommer des paissances spéciales même très-élevées , il serait difficile d'en 1
induire la loi générale propre à un exposant m indéterminé. Mais , en réfléchissant à la destination actuelle d'une telle som* mation, nous y pouvons aisément saisir la seule partie qui puisse influer sur la quadrature proposée. Car , soit par la nature de la question y soit même d'après la relation précédente, il est d'abord i'acile de sentir que Sm sera une fonction de n du degré m-{-\. Or , comme nous devons la comparer à w**^' , il est clair que le seul terme de cette formule qui doive réellement affecter la limite cherchée est celui du plus haut degré, puisque toutes les autres parties du rapport s'annuleront pour n infini , en tant que contenant finalement n eu^ dénominateur. La question algébrique étant ainsi réduite à la recherche de ce terme unique, la relation précédente le montre évidemment
égal à ■ ; en sorte que la limite du rapport -74^. s^^a cer-
tainement : d'où il résulte, rdativemeot à notre quadra-
ture, la formule S= — r-r , conformément à la première mé-
thode n.
7^. Après avoir établi, par F une ou l'autre des deux méthodes précédentes, la quadrature des courbes paraboliques , l'analyse ordinaire peut déduire, de ce cas fondamental , beaucoup d'autres quadratures, à l'aide du lumineux principe dû à Wallis sur la réduction des polynômes aux monômes. Ce principe évident consiste en ce que, si l'ordonnée de la courbe proposée
C) Quelque élémentaire que soit réellement une telle exposition, les commençants auxquels elle offrirait quelques difficultés, pourront utilement l'érlahcir en se bornant à y considérer d'abord les cas particuliers les plus simples m =2, m=3, pour revenir ensi|ite au cas de l'exposant quelconque.
