SECONDE PARTIE, CHAPITRE SEPTIÈME

eit <iéconiposabIe eo plosieun autres, suivant la loi constante ,

OD aura , envers les aires correspondantes aux ordonnées partielles, la même relation à Taire totale S=S'+S"— S"', pourvn que tous ces segments soient d'ailleurs estimés entre les mêmes limites latérales : en sorte que quand ces ordonnées auxiliaires appartiendront à des courbes déjà quarrables , il en résultera aussitôt, sans aucun effort, la quadrature de la courbe proposée. En effet, les rectangles de même base étant proportionnels à leurs hauteurs , on conçoit que cette subordination existe d'abord entre les rectangles élémentaires , par suite entre les sommes respectives d'un pareil nombre quelconque de ces divers éléments , et enfin entre les limites correspondantes à ces sommes. On pourrait dire , plus généralement, que si la relation de la courbe composée aux courbes simples contenait aussi des coeflScients constants, comme y=ay-{-by — cy^\ la même dépendance existerait encore entre les aires convenables

D'ajnrte cet important principe , évidemment applicable à un nombre quelconque de parties , la quadrature des courbes paraboliques condvût aussitôt à celle de toutes les courbes où l'ordonnée serait composée d'une somme de puissances de l'abscisse, sans excepter d'ailleurs le cas des exposants fractionnaires, auxquels la règle primitive a été étendue au n*" 71. £n attribuant à ce principe toute son extension logique, jusqu'à l'appliquer à une infinité de termes, nous pourrions même en déduire déjà , sous une certaine forme , à la vérité très-imparfaite, la quadrature de toutes les courbes algébriques, au moins quand l'ordonnée y peut être dégagée. Car, à quelque fonction algébrique qu'une telle résolution ait donné lieu, on pourra toujours , soit par division ou par extraction , suivant

q\x*ëaè séfst ftftctioftinaire oa irratioiiiielte, la trmtftiniiél^ im

une série indéfinie plu^ on moins rég«Kère , procédant selon les puissaoQes positive3 , et même entières , de l'abscisse ^ <1q f^çon à pouvoir eosoite, d'après le principe de Wallis, e^ dé^liir^, suivant la quadrature primordiale, une autre $éric^ irelatÎTe à l'aire cherchée. Les moyens plus.perfectionnés qqe ^q plus complètes connaissances algébriques fournissent pour cette traosCormation analytique pourront d'ailleurs faciliter beancoup une telle opération , en faisant mieux saisir la loi de chaque série. Enfin » si Fou considère que les fonctions transcendantes ellcs-niénies sont aussi susceptibles d'un pareil déyeloppement^ on concevra que l'usage convenable dp principe de Wallis peut conduire, à cet égard, l'analyse ordinaire jusqu'à exprimer en série l'aire d'une courbe quelconque. Quoiqu'une telle expression soit sans doute peu satisfaisante, il faut s'accoutumer dès ce moment à regarder cet expédient comme souvent indispen^ sable , Don^senlement à l'analyse ordinaire , mais encore à l'analyse transcendante , qui , en multipliant beaucoup les cas où la loi de quadrature est assignable en termes finis, ne pourra cependant jamais aborder que d'après les séries la |^Q|«ft des questions de ce genre.

Le plus heureux usage que puis^ comporter <[$ette introdac-» tlon des séries , consiste à n'y voir qu'un sini(^e intermédiaire pour mieux découvrir la forfnnle finie, lorsque la série obtenue ne présente que le développement d'une fonctlM déjà oouBtle. Bien que ces cas doivent être fort rarëd , nous en pouvons dtéif ici un exemple important , qui va procurer une nouvelle extension à notre règle primordiale de quadrature, et, par ^ite aussi , ouvrir de nouvelles voies à l'emploi ultérieui' des séries, en y permettant l'admission des . exposants négatifs. Soit à quarrer la courbe y = ax"^^ envers laquelle il convient de modifier un peu la position antérieure de la question , en è\i^

SE€OKDE PAHTIÈ, GHÂPÎtR^ âEPTIÈHE. i&

tant dé ébtopfèi^ Taîre a partr de rr = 0 , qui t^hd éWrt y infltit : nous snpposerotiê dotic qae le segknent commedde , par ctemple, à a: = i. Toutefois, afin de n& pas thangerks ïiàbU ttides afitériearés , où les règled algébriques de quadrature se i^pportent toujoui^ à une aîre partait de Taxe des x 9 U tûMta traDspoi*(èr i;et aie à là position eorrespôudante à cette abscisisè iiiiUafô ; ce qui se réduit à changer , dans ré^natioti proposée , a: ed 1 + X. On à alôrs^ := ^ (1 -{- xy^ ; et , en développant suivant la loi du binôme ,

y:s2ali^mx-\ — -~ — x' 123~^ — a:^+eic Y

£q opérant la quadrature , d'après tç principe de Wallis , oi| trouve la série

Or, en la considérant avec attention > il est aisé d'y reconnaître le développement de (i+ar)"*^'*", où Ton aurait ôtô le premier terme 1, et ensuite le facteur — /n -f- i. Il en ré&tilte doûc Une expressfoii finie de Taire cherchée , qui , en revenant à Fanderme origine des abscisses , se trouve enfin représentée par la formule

aix-^^—i)

Ea égard à f origine actuelle des aires, ce résultat consiste évidemment à étendre aux exposants négatifs la règle de quadrature précédemment démontrée envers Téquation y^szax"^^

quand m était supposé positif.

74. Telles sont Içs ressources essentielles que présente réellement l'analyse ordinaire pour aborder, à un certain degré, la théorie des quadratures proprement dites, en évitant d'y exa* gérer puérilement sa portée effective par une vaine imitation ,

390 GÉOlrtTRIB PLANB.

pluB oa moins dissimulée , des procédés yraimenl émanés de l'analyse transcendante. Il faut maintenant expliquer saccessivement les divers rapprochements fondamentaux qui étendent beaucoup Futilité géométrique des moyens analytiques quelconques relatifs à la mesure des aires , en permettant d'y ramener aussi la mesure des longueurs et celle des volumes.

La manifestation définitive de ces relations nécessaires constitua, vers le milieu de l'avant-dernier siècle, Tun des premiers résultats naturels de l'heureuse révolution que Descartes venait d'opérer dans le système des spéculations géométriques, en y faisant convenablement prévaloir les conceptions analytiques, qui ont permis une généralisation auparavant impossible. Aussi ces importantes relations vont-elles ici s'établir avec toute la généralité désirable , sans exiger aucunement Tanalysc transcendante , qu'on y croit mal à propos indispensable aujourd'hui ^ quoique sa création ait été historiquement très«postérieure à leur découverte.

Considérons d'abord la rectiflcation des courbes planes. La marche générale de la solution s'y présente aussitôt comme évidemment analogue à celle du problème des quadratures , puis* que la difficulté consistera ici à discerner la limite de la somme des éléments rectilignes, tels que mm'{fig. 45;, composant le polygone inscrit que l'on substitue à l'arc proposé , M^VI , compris eiitre les ordonnées MT' et MP. Mais un examen plus approfondi montre aisément que l'on peut établir, sous le rapport analytique , une véritable identité entre les deux recherches , en ramenant la rectification d'une courbe quelconque à la quadrature d'une autre , liée à la première suivant une loi constante. Il sufStpour cela de chercher l'expression générale de l'élément curviligne d'après l'élément//?' .ou mn de l'abscisse. En nommant a l'angle m'mn , qui , à la limite , devient évidemment l'inclinaison de la tangente en m sur Taxe , on aura