SECONDE PARTIS, CHAPITRE SEPTIÈME

tnni'=:h séc a. Or, cette formule permet d'env]S3ger rélément linéaire proposé comme numériqueiTient équivalent à l'élément superficiel d'une certaine courbe auxiliaire K'K dont rordonnée serait représentée par la fonction qui , envers la oonrbe donnée , indique la sécante de l'inclinaison de la tangente , en sorte que l'on pourra déduire son équation , d*aprcs la règle des tangentes , de celle de la courbe proposée , suivant

laloij^= \/ 1 + (/'(j:) )% si^=/(x) est Téquation primitive. Une telle assimilation élémentaire détermine la même relation entre les sommes d'un pareil nombre d'éléments respectifs , et par suite entre les limites de ces sommes. Ainsi l'arc cherché M'M équivaudra numériquement au segment KT'KP. Si donc la quadrature de la courbe auxiliaire est accessible aux méthodes connues , elle fournira aussitôt la rectification de la courbe proposée.

Qu'il s'agisse , par exemple, de rectifier le cercle j^'-fx'ssr*.

On aura ici tans a = , et dés lors la courbe auxiliaire, sui-

vantla loi précédente z=séc<x , aura pour équation z=-

Cette courbe du quatrième degré n'étant pas actuellement qnarrable par nos méthodes , si ce n'est en série , la question proposée ne comporte maintenant qu'une pareille solution.

L'extrême imperfection où nous avons dû laisser ci-dessus la théorie des quadratures proprement dites nous permettrait rarement d'accomplir ainsi les rectifications , vu la trop grande complication que la nature de cette loi de transformation devra communément introduire dans l'équation de la courbe auxiliaire , même d'après une très-simple équation primitive. Mais le problème des rectifications doit être , en général y réputé plus difficile que celui des quadratures , et beaucoup nQKHDS souvent susceptible d'une solution satisfaisante ,

223 GBOMéraiE PtAK£.

avec quelques moyens analytiques qu'on puisse l'aborder. Je dois pourtant citer ici uu exemple remarquable, où, par une compensation analytique éminemment exoeptionnelle , la courbe auxiliaire devient réeUement plus simide que la courbe proposée : e'est celui delacoiurbe^'«=âr\ où l'on tcoave^ pour

la courbe auxiliaire , Téquatiou 2;=\/ l+-a:, qui, mise

5ous la forme ^^'^if^^+q) indique évidemment une parabole aisément quarrable d'pprès la règle élémei^aire 4a n' 71, assignant au segment tes v de Taire du rectangle des coordonnées extrêmes. On doit seulement remarquer^ à ce sujet, qi^e la parabole actuelle a sou sommet i | en arriére de Faxie des y, à partir duquel cette ri^le estime l'airf , et d'où ncms vpuljoiis aussi compter l'arc cherché : il faudra donc , de ^expr^ssion habituelle du aegnsieiit variable» retrancber maintenajut cjelle da segment fixe qui s'étend de ce sommet à cet axe,* cequi donnera finalement pour la rectification proposée , la formule

75. EupasMût fliainteiiant h lia nesnrie des vn^mMS» W» devoBS id, pour ne *paa sortir réeUement de la géométrie plane, ooosidérer seulement les corps ^gendres par la ré«<duj|oii d'une courbe plane antour d'un axe situé daj»s$oii plan* Aprèf les corps cylindriques et «^niques , dont la mesure ràsnUe 'wt nédiatement de celle des prismes et des pyramides , ces Q9iy9 ronds constituent le cas le plus simple et aussi le i^ lisQi»l % sa juste appréciation générale suffit d'ailleyrs i caractériser nettement le véritable esprit de la méijiode. fondamentale d^ eiibatures y quoiqu'en puisse s'y botvier , eottime ^"^^n i^ queémlufes et ks rectifieations , ji «ne seule déccnnposlti^

SECONDE PAariB, GHAnTRH SEPTIÈME. 393

éiémentaire ; tandis que lei Tdaves les plus couq^Uqués exigeraient dens: décompositions ooBsécmives afin de se résoudra en cléments directement éyalnables.

Proposons-nons donc de mesnrer le yolame prodoit par le segment curviligne quelconque M'MPF [fig. 40), tournant aatonr de l'axe des jc. Les éléments naturels de ce corps seraient d'abord le^ (ronç^ de côp§ résultés des trapèzes élémentaires dont l'aire génératrice est immédiatement formée. Mais de même que, à chacun de ces trapèzes mm'p^p^ on peut substituer le rectangle correspondant mnp'p^ un motif semblable autorise également à remplacer ces éléments coniques par les simples cylindres qu'engendreraient ces rectangles; puisque chaque teono de cône est éfidemmeot compris énlre denx cylindres , un extérieur et l'autre intérieur , qui ^ à la limite, coïncident exactement , comme les rectangles générateurs rr!qpp' et mnp'p. D*après cela, l'élément du volume AenM aura pour mesure ir^^À. Qr, en ooiettant te facteoi* constant ?r, cette expression peut être attribuée àFélément superficiel d'une courbe auxiliaire G'G dont l'ordonnée correspondrait au carré de la fonction de l'abscisse qui représente l'ordonnée de la courbe donnée. Ainsi, en raisonnant comme au n*" précédent, on reconnaîtra, sans aucune difficulté, que la qnadlrature de cette nouvelle courbe , entre le^ liqiites proposées, représentera' numériquement la cvbature demandée « pourvu qao le résultat en soit finalement multiplié par le rapport connu de la circonférence au diamètre. La loi z =^y\ suivant laquelle la courbe auxiliaire dérive ici de la courbe donnée , montre clairement que cette seconde extension fondamentale de la théorie des quadratures est plus favorable que h prteédente ; puisque la quadrature finale doit être alors bien j^ussouvenl a^essible à nos méthodes actudles, d'qprès la skhpHoilé «empafatire de la notzveUe é^ialien.

22b GÉOMÉTEIE PLANS.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'obtenir ainsi la mesure du segment sphérique, en partant deréquation^'+^*='"* du cercle générateur. Dans ce cas, la courbe auxiliaire est une simple parabole z^i^-^-x''^ aisément quarrable suivant noire

x^ règle élémentaire , et qui donne S =r*x — — , d'où il résulte,

pour le volume cherché , la formule V=7r \r^x— -j Y où le

segment est naturellement compté du centre, et qui conduirait aisément à l'expression du segment compté de la surface. Au reste, celui-ci s'obtiendrait directement en représentant le cercle générateur par l'équation ^'=2rj:— x', d'où la même méthode

déduirait, sans plus d'embarras, la formule V=irj:Y r — -x Y

Chacune de ces formules, d'après l'hypothèse j:=r, d'éterminerait l'hémisphère, de manière à reproduire spontanément,

pour la sphère totale , l'expression élém^taire - wr^, dont la

démonstration pourrait logiquement être ajournée jusqu'à ce degré actuel de Tinitialion mathématique , quoiqu'il convienne d'ailleurs, à tous égards, de maintenir l'usage de faire connaître beaucoup plus tôt un tel résultat géométrique.

Considérons encore le cas du tore , engendré par la révolution du cercle ABDE (/îgf. 47), dont le centre C est sur l'axe des^, autour de Taxe des x. L'équation du cercle est alors {y — 0)*+-^*=^% c* ^^^ résulte, pour la courbe auxiliaire, l'équation

OÙ le double signe correspond à la duplicité actuelle des ordonnées MP et M'P relatives à une mtoe abscisse. Il importe ici de sentir que, si on appliquait aveuglément la règle ordinaire à l'une ou à l'autre de ces deux fonctions, on n'obtien-