SECONDE PAKTIE, CHAPITRE SEPTIÈME

drait pas, ea étendant le résultat aux limites horizontales du corps proposé, la vraie mesure du tore , mais celle seulement ou du corps produit par l'espace circulaire concave H ADBK , d'après la première, ou de celui que produirait Faire convexe HAEBK : nn instant de réflexion directe sur l'origine de la relation fondamentale sufSra pour le faire bien comprendre au lecteur. Or, le tore étant évidemment équivalent à la différence de ces deux volumes , on voit qu'il faut maintenant quarrer séparément les deux courbes aoxQiaires , et ensuite retrancher le second résultat du premier. Dans cette soustraction , les termes communs, d'ailleurs aisément quarrables, devraient disparaître, en sorte qu'il serait superflu de s'en occuper: au contraire, les termes distincts se doubleront , d'après l'opposition des signes , et tout se réduira finalement, selon le principe de Wallis, à quarrer la courbe s= k r'— jf% sauf à multiplier le résultat par 42^, outre le facteur habituel tt en dernier lieu. Nous ne pourrions maintenant opérer qu'en série cette quadrature définitive , qui est évidemment celle du cercle générateur, s'il s'agissait d'un segment torique quelconque. Mais , envers le tore entier, le résultat en est déjà connu, suivant la règle élémentaire relative à Taire du cercle , et qu'il faudra ici appliquer au demi-cercle. On trouvera ainsi la formule finale V=27r*i^r*, parfaitement conforme à la loi générale de Guldin sur la mesure de tout corps rond par le produit de l'aire génératrice et de la circonférence que décrit son centre de gravité.

Un tel exemple méritait ici une appréciation spéciale, comme propre à caractériser la manière dont il faudra modifier la méthode fondamentale quand la figure proposée, au lieu de s'étendre inférieurement jusqu'à l'axe , suivant notre hypothèse ordinaire , sera circonscrite entre les deux parties d'une

mém^ courbe , ou d'ailleurs entre deux courbes distinctes^ dont

226 GÉQAliTIUË BLA98.

les ord<HKiiée9 , dififéreraieut d'après an mode analytique quelconque, au lieu de n'être (Ëstin^ées q^e par le signa d'un radical.

70. Procédons enfin à la dernière extension générale de notre théorie des quadratures , en l'appliquant à la mesure de la sarface courbe qui entoure les corps ronds que nous venons de cuber. On est alors obligé de conserver les éléments coniques engendrés par les côtés élémentaires mmS {fig. 46) de la courbe donoée, sans pouvoir aucunement leur substituer les éléments cylindriques correspondants aux parallèles m'n ou m'^ , entre lesquelles l'élément naturel n'est plus compris. Un élément quelconque de l'aire cherchée sera donc ici mesuré par 2nhy sécœ , en ayant égard à l'expression du n*" 74 pour le côté mm\ a désignant toujours Tinclinaison de la tangente sur l'axe. D'après une telle formule ^ une marche semblable à celle déjà employée envers les deux autres extensions fondamentales , conduit aisément à reconnaître que la quadrature de la surfâice courbe proposée se réduit à celle de l'aire plane correspondante à une courbe auxiliaire dont Téquation se déduirait de celle de la courbe donnée suivant la loi s =:^ séc « : ^1 faudra seulement multiplier cette aire par le facteur con« stant 2 TT.

I^a loi de transformation générale est ici plus compliquée qu'en aucun autre cas ; par suite , cette troisième classe de Recherches doit être finalement regardée comme la moins accessible à nos méthodes actuelles , et môme aux moyens plus parfaits que fournit l'analyse transcendante. Je ne puis guère citer ici d'autre cas intéressant où elle devienne complètement applicable que celui de la sphère , où , par une compensation éminemment exceptionnelle, les radicaux propres aux deux facteurs j^ et séc a , au lieu de se combiner^ comme de coutume^ $e détrui$çnt mutuellement ; en sorte que , contre l'usage

SECONDE VABJV^y m^^ltBM SEPTIÈME. S37

noniial , la ligne auxiliaire se trouve alor» plps simi^e que la ligne dcmnée. En partant de Téquation ^*ç= 2ra: — x^^ afia d'obtenir naturellemept la zone à uœ seule base , ou trouve

fiée a = ~ : ainsi la ligne auxiliaire est ici z ^ r, c'est-à-^dire

une ûmjle parallèle à Taxe s il eq résul^f), suivait nos règles , la formule S = 2 ir rx , parfaitement conforme à la loi connue.

Danslecas &atoTe(fig. 47), on trouverait aisément,d'après la toéme équation qu'au numéro précédent , la courbe auxiliaire

V^r"— or»

En étendant sa quadrature jusqu'aux limites horizontales du

tore entier , le signe supérieur correspondrait à l'aire résultée

delà demi-circonférence concave ADB , et le signe inférieur à

celle qu'engendrerait la demi-circonférence convexe AËB. L'aire

cherchée dépendra donc de la somme des deux quadratures ,

sur laquelle le terme distinct ± r ne saurait influer, en sorte

que tout se réduit à doubler le résultat correspondant à l'équa-

br tionz = — . Or, quoiqu'elle échappe directement à nos

méthodes élémentaires, sauf le recours aux séries, il est aisé de sentir que , en y omettant le facteur b , cette quadrature coïocide avec celle qu'a exigée, an n"" 74, la rectification du cercle , laquelle nous est déjà connue envers la circonférence totale , qui se rapporte ici à l'ensemble du tore. D'après cet utile rapprochement , on trouve aisément la formule fin^Je S = 4 7r*6r; conformément à la seconde partie de la loi de Guldin sur la quadrature de tout corps rond suivant le produit du contour générateur par la circonférence que décrit son centre de gravité. Il ne faut pas négliger d'ailleurs de remar-

228 GÉOmÎTRIB PLANE.

quer , au sujet d'une teUe solution , cet exemple évident de l'efficacité naturelle , même spéciale , du point de vue analytique pour le perfectionnement des diverses notions géométriques à Taide des nouvelles liaisons abstraites qu'il établit entre elles j et qui permettent de faire souvent rentrer les unes dans les autres des questions qui devaient d'abord sembler hétérogènes.

nOUIÈHB FABTIB, CHAPITKB PBEMIEa.