PREMIÈRE PARTIE, CSIAPITRB PRRMIBR

bomain, doit éTidenuneiit exister, ea tons genres, entre la marche essentielle de l'éducation indiyidnelle et celle de Tévolatîon coUeetive , l'étude de la gé^nnétrie analytique doit aussi constituer naturell^nent la phase la plus décisive, et par suite la plus difiBcile , de dhaque initiation mathématique. Les notions âémentaires de la géométrie et les conceptions rudi« mentaires de l'algèbre, qui jusqu'alors avaient dû sembler tout à fait indépendantes les unes des autres , et même radicalouent hétérogènes^, malgré quelques relations spéciales , contractent , dès ce moment , une aUianoe intime et indissoluble , . première base de leur commune extension, et qui tend de plus en {Ans à faire concevoir l'ensemble , autrement incohérent , des spéculations fnaihématiques comme susceptible d'une véri* table unité. Aucune autre partie de renseignement mathématique ne saurait donc mériter autant la sollicitude rationnelle des professeurs et l'active attention des âèves.

4. Pour procéder convenablement à Texposition directe de la conception fondamentale d'après laquelle Descartes a oonsti-: lue la géométrie analytique, il faut d'abord exi^iqua* une méthode préliminaire , où ce grand philosophe n'a eu essentieUement qu'à systématiser les inspirations spontanées de la rakon oonunone , et sans laquelle la transformation radicale des considérations géométriques en considérations analytiques n'eût jamais été possible.

L'analyse mathématique ne peut spéculer que sur des idées de grandeur ; cependant il existe, en outre , dans la géométrie , deux autres catégories logiques , non moins naturelles que la première, l'une relative à la forme, l'antre à la position : il est donc pvéalal)lement indispensable, en géométrie analytique, de nmener les pensées de forme et de situation à de simples notions de grandeur, seules immédiatement susceptibles de devemr numériques* Or, la solution générale de cette difiBculté

10 HÉMAHIB 9LA1HI*

préliminaire exige d'abord qa'oti là réduise autant qaé possible, en ne s'y occuj^nt que des idées de sftnalion, dans lesquelles on pent éridemment faire foUfjôtirs rentrer lés Mèe» déforme; puisque M forme d'un corps quelconque, poirvant réstiltej* constamment de là disposition àratttelle dé seâ ^rties» sera nécessairement définie d'afprés la situation de tous ses points. C'est ainsi que , dans notre système de géométrie analytique, la position est seule immédiatement formulée phf nos équations, d'où la forme peut ensuite ressortir indirectement, à l'aide des combinaisons convenables. Une telle marché doit , sans doute, oSHr, comme nous le reconnaîtrons bieintôt» quelques véritables inconvénients , puisque la formé fvin objet est, en elle-même, indépendante de sa situation; mais cette manière de procéder n'enf est pas moins inévitable en géométrie analytique, Sous l'indispensable réserve des ttioyenîs générait destinés à permettre, suivant nos explications ultérieures, de dégager les diverses indications relatives à la forme des circonstances étrangères propres à la seule sHuation.

Toutes les idées élémentaires de situation étant naturelle^ ment réductibles à la simple position d'un ipditkî , il suffit donc d'expliquer, à ce sujet , comment ce ietûkt ca)» penf èti« ramené à de pures considérations de grandeur. On y parvient aisément, sous beaucoup de modes divers, d'après ce qti'on appelle des systèmes de coordonnées ,- c'est-à-dire à l'aide des deux grandeui^ géoméffiqueil, soit linéaires, soit afngnlaires, etc., qui, sur un plan, déterminent, par leuf combfnaisoB, le point correspondant, relativement à certains repères txes et communs.

Afin de mieux apprécier cet indispensable artifice MéÉientaire , il y faut voir la simple généralisatibn pbilô^e»piiiqne du procédé sj^lMfaihénkeM suggéré à font bon esprit par lar Mcessité de définir Ift situatiOQ d'an pdnf sans pouv<rfr le moÉtitâr,

PBBBntRB rjMn, Gwmeia pbbmiee. it

léeetiité i|al cminii toojounià TiÉétitaHe emploi d60 mmAgamusf^ mménqBW. 8i le {POMt^proposé d^t appartoair i ue ligne cfwue d'Araooe des deax ialelUgeBoea ealre lesquelles s'opère une teUe eommoniGatioD, «a seul de ces ren*^ mgommA^ suffit éYidenOBeBl à remplir cette indiealion, par exemple en assigoeat la distance plos on moins grande da poisi TariaUe à on poiitf foe dto la même ligne. Ge cas est nécessairement le plos simple de tous cenx ^e pent offrir la rédQCtkm des idéee de position anx idées de grandeur: mais il impor^ de le concevoir distinctement,- car il ei^ la base dn tons les antiies pfos cenkpKqnés. Qnand le point dierché doit seniemeni CÉbre partie d'une surface donnée, ce qui arrif e toqoucs en géouKtrie plane ^ la combinaison de deux rensisi-gnem^t» de œ yemre devient atos iwyqpensahfe ^ l'un pour ÎQ^fiquer la ligneqni doit le contenir» et l'antre pomr l'y dislingoer de tout le reste d0 sa dveentoence : la dénrannation de csantotitte rappelle beiareuseaMnt Vinsuffisanee isolée de chacun des deux élément^ de dàtenBinidion> qui ne deviéNient eficaoe» qi^ par leur eoncours. Ettin^ dans le ceale^pina éteadaet le pins ^ficile, kmqne le point peut indifféremment appartenir à tontes les régidne de l'espace, sa situation ne pent être ainsi eauaelénsée qu'^n cumbhiant trois de ces conditions de girandaor^ eemne noua le reconnaltronB spécialement en géûsnéMatà trois dteansicms.

&es eoqihn de eeondannées eaipleyéS', à oet eflfet, peur la géeméirie planer, peuvent Mre tirés d'une foule de conslt uetionn difltesDlea , donb il iaq>^pte ici de comevonr nettement ks prineifades. GéU& de^toniaa qui, sans être» sons divers aspects, la ptaa natnreUQ^, mMte oertamemoit, à toua égarés , la préfév)am»u^verseile'fâ'elleHa empiriquement (Menue dèa Tori* giae de. In géoméÉiin. analytiqaa, oonsisie à déiseminer la position! d'nnf^ neiU p«( seSidirtanoas à deux deeites fixes , le

12 ÛÉOmtnSR PLANE.

plus souvent fectangalaireà. Si le point M {fig. 1) doit être 8or on plan , à des distances données a et h des deox axes OX, OY, il sera évidemment placé à Fnm'cpie rencontre des deux parallâes menées à ces axes selon ces distances respectives , et dont chacune le contiendrait indifféremment diaprés la considération isolée de la condition correspondante. L'nne de ces coordonnées^ MP, qu'on peut utilement supposer verticale, porte habituellement le nom A*ordonnée, tandis que l'autre, MQ, qu'on se fignr^ait alors horizontale, est communient qualifiée d'abscisse, sans que cette diversité soit d'ailleurs aucunement motivée entre des éléments homogènes. On facilitera beaucoup ta comparaison de ces dislances variables selon les diverses positions du point, en comptant chacune, en OQ ou OP , sur l'axe correspondant , toujours à partir de Tinitersection fixe O, ainsi justement nommée V origine commune des deux coordonnées. Enfin, quant am discours a^ébrique, un usage très-convenable fait désigner constamm^t chacune d'elles par la petite lettre aimlogùe à la grande qui marque l'extrémité de son axe, lequel réciproquement prend souvent, à ce titre, le nom familier d'axe dos x ou des y , selon la coordonnée variable qui s'y rapporte. Si , comme il arrive quelquefois , les dteux droites fixes n'étaient pas rectangulaires , les deux distances resteraient toujours mesurées , pour chaque axe, parallèlement à l'autre, et dèflT lorssous une obliquité égale à leur iaclinaisc»! mutudle , sans que l'opératioii subit d'ailleurs aucune autre modification. A. la vérité, d'apré» ce premier système de coordonnées, les idées de grandeur semblent d'abord ne pouvoir pas suffire entièrement à remplacer les idées de situation. Car , si le point proposé peut se trouver, suivant le cas le plus ordinaire, indifféremment placé , sur le plan , dans les quatre régions que séparent les deux axes , il pourra certainement , avec les mêmes coordonnées , occuper , outre la poritimi primitive M , les trois

raEHIÈRE PARTIE, CHAPHIUB nBMIKR. IS

attires positions syméttiqa€S M', W^ou BP,qaerieB«e panHtt pouvoir ramériquemait en dislioguer. Mais , comme l'me o« raalre de ces coordonnées se tronye alors comptée, smr son axe j à l'inverse du sens prinuMrdial , cette diflteolté préddik, qui eût radicalement entravé Fessor de la géométrie analy tifoe, en oldigeimt , pour évitar une inextricable cotfnslon , à y re* Hooeer an système le pins favorable , a été ocmij^tement sainmontée , par rincomparable fondateur de b nouvdle ccmstitntion géométrique, d'après un heureux usage général de sa grande déconrerte en philosophie mathématique sur la i«pié* sentation spontanée de Topposition de sens pmr Topposition des signes -4^ et — dans toute relation de rabstrait au ooueret, pour chaque grandeur qui, comptée suivant une direction &se, œmp<Hrte une invarston nettement caractérisée. J'aurai cintes^ sons l'ocoeffiion d'indiquer expressément le véritable eqprit de cette notion fondamratale, presque toujours vicieusement euseignée. Eu se bornant idà l'ap|diqufer ccmvenablement, €ile fait aussitôt disparaître notre ambiguïté élémentaire : pourvu qu'on ait toujours égard au signe + oa — de chaque ooor* donnée aussi bien qu'à sa valeur , il n'y aura jamais la moindre iacertitude sur la région correspondante au point proposé ; elle sera dès lœ's distinguée des trois autres par une conaMoaisoB propre des deux ^gnes simultanés.

Le seul système de coordonnées qui soit qudkpiefois usité , à définit du précédent, en géométrie analytique, est peitihâre, quoique beaueoup moins convenaUe que eelni-ci , le (dus na- . turd de tons , comme offrant la plus simple onabinaison des deux idées primordiales de longueur et de direction. C'est celui que Ton qualifie habituellement iepokUre, par contraste au premier , communément appelé reetiligne , en spécifiant ainsi désormais deux dénominations trop vagues en elles-mêmes. Il consiste à déterminer la position d'un point sur un plan d'après

4( «ionAimiB p&Aiii.

ML difttttM» à vm pof irt fixe et l'angle fa'elle j forme avée une dpoitfifixa rla coordonnée linéaire porte ordinairement^ sni* >vant l'usage i^tMmomiqne , le nom éê reyeti veekm ; la eoordtinnéa aiignlaive n'a pas reço de titte spécial. Bsiprcmtèà la géométrie cMeste, ee sjfstéme tetane primitiTemeil #nne taoH danee unîTcraelie, dans les pins rimples eonsléétatièiis géograpfaiqaes, àoompaver spontanènMnt les divers Henx terrestres d'après la oomUnaison de leors distaneee a^ee lenrs dlrectioDS. Un pointM {fif. â) y est détemiBé par Fiaterseetleii dhm cerde Tariable, ayapt pour centre fixe le pùh O, et d^toe irtA^B mobile aBtQQr de ce pôfe: lescoOTdonnéeseortespoiiisale», que pOQS aoteions baUinelkmeaÉ « et ? , déHermlneni, peur chaqne poailieB, l'une le rajOD de ee omcLe, l'antre ftnéKnidson dé eetle dioile mr l'axe O #. On doit remarqner qne fo sénBe" graadm» des donx eeordoBnées «dit id à l'eatidrediStermiioatfa» da pmnt, sans qii'il finOe \mt atMbner auena Mgne, même pomr di^iiigwr sidlsamment la position M de son op^ posée M'j où Fanglef , toujours compté <m pareil sens, eeimnie «a Hrigonométrie, a e@rtainemeii^ ciiangèAeTalenr, par un aecrdmement de i9%\ Mais nous recomiaitrons bientôt que, loin de constituer un motif de préférence , cette propriété du système potaire^ devient au coniraire très-défavorablé à sa destination analytique.

Oa tf e ces deux q^tèmes^ seuls usités, il eir exiiste éridemment une inftiité c^utres, mais dont l'office est purement priyvisoire ou accidentel. Leur considération n'a dimportance fogitpie cpi'afin d'éviter de trop restreindre, suivant la tendance sce*lasti<tue, cette première notion Tondamentale. e*est ainsi que, par exemple , on déterminerait b position d'un pobit sur un plan d'après ses distances à dieux points fixes , par l'intarseetion à^ deux cercles à centrés fixes , dont les rayons variables constitueraient tes coordonnées cenespeiidantes. Be même, on y

PREBIIÊRE PAiaTIE, |C{i4mEi; PREMIEE. |6

fm^U 9^tiVWV 1^ (tirecUons Goq4>iQto 4es droites qçi, de depf nPW)j| jBx^, al^lir^ji^t w pQir{t lofierché, alors résullé 4'ui>e inf^rii^Mpii l?^fli»nie, mmnt itomt fxwrdoaqées aog^^ Uif^, mgsmmf; la^ «qgles d$ c)iaewie de ces lign« ippbiles avec l'axe qi» jôjat |^ depx pôles. Eu w ^ot, il p'y a Bre§qu^ ^ip0|iM cQpsitraçtipii plan^ qni , coEYenableiiienl e^visa- 8^) wpt^fise dMAsr Upuàqpdque sjipème de ooordonnéeSi et soayent k plpsipurs , ea y fCQQsidéraot les divers élémeatf linéaires, aqgalairf^, ou mévu^ sqperficiela, qu'elle peut rattadier à Jn po$itiQp ^'pQ point, et dont toute combinaison bin^ 4^t irécipproquemenl 9iiscf|)tible de le déterminer.

Dans m Sfstèqie qaelfiopqne, le point mobile est toujours nécessairement plaoé i Ja rencontre ^ deux lign^ , droites on conriw, dont tontes les eonditions déterminantes sont Os^es, excepté ^ne «nde ii» , en variant , indique la cn^ donnée eovr respondante. Ainsi, les divers systèmes doivent d'abord être distingpés entre eux par la natnte de^ lignes qu'ils emploient. Mais cette appréciatiop ne saurait suiBre, puisque des systà? mes Ms-diC^^nts peuvent souvent introduire des lignes pa^ rmlles : il 7 aurait, p|ir exemple, une infinité de systèmes méT ritant d'être appfMs rectiliçtm , si Ton donnait ce nom k tous cen^oann point résulte de rintersection de deux droites i comme l'indique , entre autres, ouUre le système rectiligoe or* dinaire, décrit en premier lieu, le système, doublement angulaire, qui a terminé notre énumération sommaire. 0^ doit donc, en outre , soigneusement considérer le mode de variation de chacune des dçux lignes élémentaires , et ne regarder comme vraiment identiques que les systèmes coïK'données qui , employant les mêmes lignes , les font aussi varier suivant la ipéme loi , en sorte que toutes les conditions fixes de détermination scnent exactement communes aux deux cas comparés.