CHAPITRE PREMIER

Considérations générales.

77. A la manière dont josqa'ici on s'est borné à concevoir cette partie essentieUe de la géométrie plane, elle constitoe seulement l'application générale de Tensemble des méthodes <{ae nous venons d'établir à la détermination caractéristique de la vraie figure d'une courbe d'après son équation. Sans exiger * proprement aucun nouveau principe , cette partie ne se distinguera ainsi de la précédente que par la combinaison spontanée et continue des diverses théories qui ont été cr-dessus consi^ dérées séparément , et qu'il faut maintenant faire concourir à l'appréciation progressive des formes correspondantes aux différentes équations , en* apprenant surtout à perfectionner les unes par les autres ces indications distinctes , qui pourront souvent se suppléer mutuellement. C'est dans le sentiment familier d'une telle solidarité générale que consiste la principale utilité de cette nouvelle étude ^ cooununément très-imparfaite 9 et à défaut de laquelle on ne saurait pourtant obtenir qu'une insuffisante manifestation du véritable esprit de la géométrie «palytique*

Pour caractériser d'abord convenablement la marche fondamentale que doit toujours suivre la discussion géométrique des équations, il y faut distinguer ici deux degrés essentiels nécessairement consécutifs , l'un relatif à ^ordonnée , l'autre à la tangente. Le prvmîer degré , base indispensable de l'ensemble de la discussion , consiste surtout , non à examiner minutieusement quelques points particuliers , comme on a coutume de le faire presque au hasard , ttiais à Saisir nettement le mode général de variation de l'ordonnée d'après l'abscisse. Cette appréciation se compose essentiellement de deux parties successives, l'une où l'on détermine d'abord entre quels intervalles l'ordonnée sera réelle , l'autre où l'on discute ensuite en quel sens *et avec quel signe varie sa grandeur pour chaque intervalle de réalité, sans plus s'occuper de ceux où elle devient imaginaire. Db connaît ainsi , en Jofremierlîett, si la courbe est limitée ou llimitéc , continue ou discontinue ; en second lieu , si elle est ascendante où descendante , et si elle traverse ou hou les axes coordonnés. Chacune de ces deux parties de la discussion fondamentale de l'ordonnée donne lieu d'ailleurs le plus souvent à lin complément naturel , consistant à déterminer, autant que possible , les points particuliers où s'opèrent ces différents pBSsages de la réalité à Fimaginarlté , de l'ascension à la. descente, d'un côté de Taxe à Tautre côté. Il convient alors de résumer l'ensemble de cette première appréciation par la figure la plus simple qui puisse convenablement satisfaire aux divers réniseigneiheilts ainsi obtenus ; suivant L'important précepte logique^ mentionné dans la première pattie de ce traité , sur la nécessité d'introduire le plus promptement possible une hypothèse propre à lier tous les documents déjà recueillis , sauf à la modifier ensuite d'après de nouvelle^ inf(^mations.

Quor(}ae cette discussion- de l'ôrdotinée puisse quelquefois suffire à caractériser nettement la vraie figure générale d'tiné

TROISIÈBIE^âftTtS, CHA^tnfi PREMIER. 3H

courbe, cependatit elle laissera presque touJourÀ, mr le sens ettefdit de sa eotirbtiré , une incertitade radicale, qui nesaiiralt ôtir^ dissipée qae par itn second degré de discussioti , rdatif au mode de variation de la tangente dans les diverses parties de la ligne. La ntéthode naturelle que nous avons d'abord employée pour décider siuiie courbe est concave ou conveie vers nn axe, ea comparant son ordonnée à celle d'une corde convenablement dioisle , conduirait le plus souveift à des calculs beaucoup trop coiiipllqués. Or, cette comparaison spontanée entre deux fonctioDS distinctes peut être maintenant remplacée par une comparaison équivalente , non moihs générale ^ mais bien jplns facile, entre les valeurs successives d'une même fonction, celle qui exprime , en chaque point , le coefficient angulaii'e de la tangente correspondante. Car, en supposant, pour mieux fixer les iéée& , que l'ordonnée croisse avec l'abscisse, il est clair que, si la courbe est concave vers l'axe , l'inclinaison de la tangente diminuera toujours , avec ou i^ns limite d'ailleurs , à mesure que la courbe s'élèvera ^ tandis que , si la courbe est convexe , cet angle ira ^ au contraire , en augmentant. Quand la courbe descend , le symptôme se trouve inverse , mais pareillement décisif i l'angle , dès lors obtus , que fait la tangente avec l'axe se rapproche ou s'éloigne de l'angle droit à mesure que l'abscisse augmente , suivant que la courbe est concave 6tl convexe. Ainsi, le mode général de variation du coefficient angulaire de la tangente est toujours propre à déterminer le vrai sens de la courber^ , sans qu'il convienne d'ailleurs d'arrêter d'avance , à oet égard , aucune formule spéciale , qui ne saurait également s'adapter aux diverses applications.

Ce Second degré général de la discussion géométrique deâ équations indique d'abord certains points Remarquables, qtii complètent naturellement la discussion de l'ordonnée , en faisant connaître les maxima ou minima des deux Variables siniulta-

232 GéOMétHIE PLANE.

nées , d'après les tangentes parallèles aux axes, comme je l'ai expliqué , en principe , en exposant l'application de la théorie des tangentes à cette importante recherche analytique. Mais, oatre ces points, qoi appartiennent proprem^t aa premier degré de discussion , la marche des tangentes introduira spontanément la détermination d'nne autre sorte de points , qui s'y rapporte spécialement « ceux où la courbure change de sens. Quaod une courbe est sinueuse, chacune de ses m flexions se trouye, en effet, caractérisée, d'après l'explication précédente, par un état maximum ou minimum de la fonction qui mesure l'inclinaison de la tangente sur Taxe ; puisque c'est alors que cette fonction passe de l'accroissement au décroissement , ou en sens inverse selon la position de la flgnre. On pourra donc découvrir ces points d'inflexion en appliquant au coefficient angulaire de la tangente les méthodes que l'on jugera conve*nabies pour en déterminer les maxima ou minima. Suivant les principes que nous avons établis à ce sujet , on pourrait considérer le caractère analytique de ces points comme consistant, en général , dans l'annulation de la seconde dérivée de la fonction relative à l'ordonnée, sous la réserve habituelle des exceptions propres à cette théorie. Mais, soit que nous puissions immédiatement appliquer un tel caractère, soit que, comme il arrivera le plus souvent, nous soyons forcés de. suivre, à cet égard, les détours algébriques , déjà expliqués, qu'impose la faible instruction analytique exigée dans ce traité , ce sera toujours d'après une semblable considération géométrique que nous procéderons ici à la recherche de ces p(»[nts remarquables.

A ces deux degrés essentiels de la discussion géométrique seule accessible à l'analyse ordinaire , l'analyse transcendante en joindra ultérieurement un troisième , destiné à compléter le second , comme celui-ci aura déjà complété le premier , en

tav««i.

TfiOISIÈBIE PARTIBy ICHAPITRE PREMIER. 233

a^irécianC le mode général de varialioo de la courbure, considérée, non plus seulement dans sa direction concave ou convexe, mais aussi dans son intensité plus ou moins grande, ISoos ne pourrons ici instituer, à cet égard , qu'une première ébauche, nécessairement vague et imparfaite, en examinant les changements plus ou moins rapides qu'éprouve l'indinaison de la tangente. Là où cet angle variera beaucoup dans un petit intervalle , nous jugerons la courbure très-prononcée en général ; quand^ au contraire, il changera peu entre deux sinuosités fort écartées , nous conclurons à une faible courbure. Mais ces insoflBsantes indications, les seules que fournisse , à ce sujet, l'analyse ordinaire, ne sauraient d'ailleurs nous permettre nullement ni de mesurer ces inégalités de courbure, ni de distinguer ce qui s'y rapporte aux divers points de chaque branche. C'est l'unique aspect sous lequel nos figures devront ici rester ordinairement indécises , jusqu'à ce que l'analyse transcendante ait mis le lecteur en état d'aborder une telle appréciation, où elle est essentiellement indispensable.

Les diverses indications géométriques relatives à nos différentes théories générales viendront d'ailleurs se grouper spontanément, selon leur nature, autour de l'un ou de Vautre de ces deux degrés nécessaires que nous venons de distinguer dans' la discussion des équations. A la discussion fondamentale de l'ordonnée , se rattachera naturellement, quand il y aura lieu , la considération des diamètres ainsi que celle des centres. De même la discussion complémentaire de la tangente conduira habituellement à la détermination des asymptotes, quand l'examen de l'ordonnée ne les aura pas directement indiquées.

Suivant ces explications générales sur la marche nécessaire de la saine discussion géométrique des équations, cette troisième partie essentielle de notre étude doit surtout consister en une suite d'exemples convenablement choisis , propres à bien

23& giêomiStrie plane.

caractériser Tapplication familière de ces principes incdDtésk tables, qui, comme tous les préceptes logiques, malgré leur immédiate évidence , ne sauraient être suffisamment apprécies que d'après un judicieux exercice. Toutefois, afin d'éviter d'inutiles développements , je me bornerai ici aux exemples susceptibles de faire nettement ressortir les diverses diflicnltës d'un tel travail, en les coordonnant d'ailleurs de manière à permettre aisément la formation de nouveaux cas , dont je réserverai ensuite au lecteur Fexamen spontané. Rien n'est plus propre que de pareils exercices , bien conçus et bien dirigés, non-seulement à faire profondément sentir le vrai génie de la géométrie analytique, mais aussi à réaliser directement cette universelle préparation logique qui constitue ^ au fond , là principale utilité finale de l'initiation matbématique. Car, une telle élaboration tend spécialement au développement rudimentaire de l'esprit d'ensemble , jusqu'ici trop rare chez les géomètres , en habituant à faire exactement converger toutes les diverses déterminations analytiques vers un môme résultat synthétique , d'abord confusément entrevu , et ensuite graduellement ébauché , ;à mesure que les i^enseignements s'acciimulent , en ne compliquant jamais l'hypothèse primitive qu'atitant que l'exige la nécessité de satisfaire à toutes les informations recueillies.

78. Pour diriger le choix rationnel des exemples successif* qui doivent ici caractériser la discussion géométrique des équations algébriques , il serait nécessaire d'établir des principes généraux sur la classification naturelle des courbes correspondantes. Or, c'est là que se manifeste, chez les espritt convenablement préparés , l'extrême imperfection actuelle de cette troisième partie essentielle de la géométrie analytique , qui , sous ce rapport , n'est pas encore sortie de l'enfance ,• â tel point que la plupart des géomètres , môme éminents , n'ont