TROISIÈmE PARTIE, CHAPITRE PREMIER
pas scnlcment compris jusqu'à présent quels sont , à cctégnrd, les Trais besoins delà science, faute d'une disposition pliilosb-
phîque qui ne peut être , à ce sujet , suffisamment développée que sous des inspirations logiques émanées des plus hautes parties de Fétude des corps vivants, unique source spontanée des véritables principes relatifs à la théorie universelle des classiGcations quelconques.
Dès l'origine de la géométrie analytique, les habitudes algébriques ont involontairement conduite classer les courbes planes d'après les degrés de leurs équations rectilignes, sans qu'on ait jamais examiné directement si ce classement empirique peut aucunement satisfaire aux conditions essentielles que la raison impose en une telle opération. Il est néanmoins évident, en principe, que les motifs qui , en algèbre, ont inspiré et maintenu une telle classification ne sauraient nullement suffire pour la transporter en géométrie. Car , ils se rapportent essentiellement à la difficulté croissante que doit nécessairement offrir y à mesure que le degré s'élève, la résolution des équations, objet final des spéculations algébriques. Or, cette distinction ne comporte, par sa nature, aucune importance géométrique, puisque le lieu d'une équation est, comme nous l'avons reconnu au début de ce traité , radicalement indépendant de sa forme actuelle : en géométrie , l'équation est habituellement conçue résolue, sans qu'il faille s'y enquérir aucunement de l'embarras, parement analytique , que peut susciter la réalisation d'un tel projet. Le degré d*une équation n'a, par lui-même, d'autre influence géométrique que d'indiquer une limite supérieure dû nombre de points en ligne droite que comporte la courbe correspondante. Mais cette considération, qui pourrait acquérir une véritable importance, en signalant le nombre des sinuosités^ si une telle indication était plus précise, ne peut nullement devenir un principe de classement^ vu son incertitude radicale.
^6 GÉOMÉTRIE PLANB,
Il existe, par exemple, dans tous les degrés pairs, des courbes que, comme les sections coniques , aucune droite ne saurait couper en plus de deux points.
Cette insuffisance nécessaire du classement empirique adopté spontanément par les géomètres pour les courbes algébriques est aisément vérifiable en plusieurs cas décisifs, quoique Tétude comparative de ces diverses figures ne soit pas encore convenablement instituée , ni même judicieusement conçue dans son ensemble. On peut, en effet, constater souvent qu'un tel classement rompt directemeut toutes les analogies essentielles, et qu'il conduit aussi à de vicieux rapprochements. Dans tous les degrés, et sans même excepter le second, les vrais analogues géométriques de chaque courbe se trouvent fréquemment parmi des lignes de beaucoup d'autres degrés, tandis que celles du degré correspondant en diffèrent, au contraire , essentiellement : double confirmation , spontanément développée dans toute cette troisième partie , de l'inanité radicale d'un tel classement. Malgré l'habitude invétérée, transmise, sous de nouvelles formes , des anciens aux modernes , qui rapproche essentiellement l'ellipse, d'une part de la parabole, et d'une autre part de l'hyperbole , nous allons spécialement recqnnaître , au chapitre suivant , que , si l'on considère l'ensemble des rapports , sans se préoccuper d'aucun rapprochement exclusif, les véritables afiinités géométriques de la parabole ou de l'hyperbole existent surtout envers certaines courbes dispersées parmi tous les degrés algébriques , bien davantage qu'envers les courbes du second degré. Plus on méditera sur ce graod sujet de philosophie géométrique, à peine entrevu jusqu'ici, mieux on sentira que la classification des courbes planes, d'après les degrés de leurs équations n'est pas plus rationnelle, au fond, que ne le serait une classification zoologique fondée sur la couleur ou sur la taille , etc., indépendamment de toute profonde comparaison Qrgani<)ue.
