TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE PREMIER

Malheureasement , Tétat présent de la géométrie oe permet pas de remplacer encore ce vain classement empirique par une conception vraiment rationnelle. Depuis Descartes, on a dû s'occuper exclusivement de constituer, sous son inspiration fondamentale , la géométrie générale proprement dite , en établissant les méthodes analytiques , élémentaires ou transcendantes 9 propres aux différentes recherches auxquelles toute figure géométrique peut donner lieu. Quant à ce qu'on doit nommer la géométrie comparée , qui ne peut résulter que d'une application comparative de l'ensemble de ces méthodes aux diverses formes possibles , l'existence n'en est pas même soupçonnée encore : elle ne pourra d'ailleurs être conçue que lorsqu'une plus forte éducation philosophique aura sufiSsamment introduit chez' les géomètres le sentiment , développé jusqu'ici par les seuls naturalistes, du véritable esprit de la théorie logique des classifications quelconques ; comme je l'ai établi en divers lieux de mon Sy$téme de philosophie positive. J'explique* rai soigneusement, dans la dernière partie de ce traité, comment la grande conception de Monge sur les familles de surfaces a commencé spontanément à ébaucher la constitution directe de la géométrie comparée. Mais ce germe fondamental , d'ailleurs si mal apprécié jusqu'ici, et dont Lagrange seul a dignement pressenti l'importance, ne convient réellement qu'aux surfaces, et ne saurait fournir aucune indication relative aux courbes. Ainsi, sous cet aspect capital, je ne puis ici que signaler , dans la géométrie actuelle , une immense lacune gêné* raie, habituellement inaperçue. L'ordre fondamental de conceptions géométriques qui est naturellement propre à cette troisième partie essentielle de notre étude, et qui pourrait lui procurer à la fois tant d'intérêt philosophique et tant d'exten^ sion scientifique , nous manque donc encore totalement.

Dans une telle situation , l'impossibilité évidente d'adopter

ici le classement empiriqae des coarbes algébriques saivani les degrés de leurs équations rectilîgnes, nous impose l'inévitable obligation de recourir à on expédient provisoire , pour coordonner nos divers exemples de discussion géométrique d'après un principe analytique qui , sans pouvoir réellement suffire , puisse toutefois , judicieusement employé, nous mieux gaider que cette vaine considération primitive. J'ai cru^ devoir adopter, à cet effet , la distinction fondée sur le nombre des termes , mais sans l'étendre au delà de quatre, nombre total des diverses sortes de termes propres aux équations algébriques. Nous discuterons donc d'abord les équations binômes , ensuite les équations trinômes, et enGn, sons le nom d'équa* tions polynômes, toutes celles qui contiennent plus de trois termes , quel que soit d'ailleurs leur nombre , qui dès lors n'a plus, en général, aucune haute importance géométrique. Mais, en utilisant une telle distinction, le lecteur ne devra jamais oublier qu'eUe repose sur un principe radicalement insuffisant, qui ne peut aucunement dispenser de l'élaboralion ultérieure d'un sujet aussi difficile qu'important, dont je voudrais surtout rappeler ainsi la destination caractéristique. Cette classification provisoire ne sera vraiment satisfaisante que pour notre premier ordre 9 où nous allons, en effet, reconnaître les seuls exemples bien constatés jusqu'ici de l'existence des familles pleinement naturelles parmi les courbes planes.