CHAPITRE IL

Courbes binômes.

79. Cette première classe comprend nécessairement deux sortes d'équations : les unes, de la forme ^**-=ajc'*, composées d'un terme en j^ et d'un terme en x ; les autres, de la forme /V*=a, contenant un terme en 07 et y avec un terme constant. Quoique le second type puisse algébriquement rentrer dans le premier, en supposant négatif l'un des exposants, la distinction, sous quelque forme analytique qu'on la conçoive, n'en est pas moins indispensable sous Taspect géométrique. Il en résulte denx familles de courbes essentiellement différentes, qu'on désigne communément par les dénominations de paraboles et ^hyperboles ^ empruntés aux genres les plus simples et les

mieux connus.

Étudions d'abord la première famille , où la courbe est engendrée par un point dont les distances à deux axes rectangulaires varient de telle manière que deux de leurs puissances soient constamment proportionnelles. De toutes les définitions de courbes, c'est assurément celle qui diffère le moins de la définition analy ticjue de la ligne droite , qui s'y trouverait même comprise en cas d'égalité entre les deux exposants. Aussi , en considérant l'ensemble des aspects géométriques, pourra-t-on reconnaître que ce groupe de courbes planes est, au fond, le plus simple et le mieux connu. Pour l'apprécier convenablement, il faut distinguer deux cas essentiels , selon que les exposants sont tous deux impairs, ou Fun pair et l'autre impair ; ibufii peuvent d'9dleur« étare simultan^iment pairs.

Dans le premier cas, représenté par le type y***+' = aa:'''^\ d'où j^ = % Xaj:""+', la discussion fondamentale de Fordonnée montre aussitôt que la courbe est toujours illimitée en tous sens et continue, puisque les racines impaires ne sont jamais susceptibles d'imaginarité. En même temps , ces racines ne comportant qu'une seule valeur réelle , de même signe que la puissance correspondante, la courbe se composera de deux branches opposées, situées dans les deux régions impaires du plan ou dans les deux régions paires , selon que le paramètre a sera positif ou négatif. Ces deux parties seront, du reste, parfaitement identiques, puisque le changement simultané du signe des deux coordonnées n'altère nullement l'équation , en sorte que la courbe aura pour centre l'origine, qui sera d'ailleurs un point d'inflexion : la langue géométrique manque ici d'un* terme propre à qualifier cette identité entre deux branches opposées , qui coïncideraient d'après un double repli de la flgure successivement selon chaque axe ; tandis que le mot symétrie y est depuis longtemps consacré à désigner l'identité entre deux branches adjacentes, susceptibles de coïncidence par un seul pli. Enfin, chacune de ces deux moitiés de la courbe s'éloignera continuellement des deux axes à la fois, quoiqu'avec nne inégale rapidité, suivant la grandeur relative des deux exposants. Mais, conformément aux réflexions générales du chapitre précédent , on voit que cette première discussion laisse entièrement indécis le sens de la courbure dans* l'une on l'autre branche, qui pourrait être indifféremment concave ou convexe vers l'axe des x, ou même très-sinueuse, sans cesser de satisfaire à l'ensemble des documents ainsi directement émanés de l'ordonnée. On ne peut dissiper cette incertitude que d'après l'examen de la tangente. En appliquant la règle ordinaire, on

trouve ICI tang (X ;=: ■ ^^^ ^^-^ mais, comme x et y va-