TROISIÈME PARTIS, CHAPITRR DEUXIÈME

rient en même sens» on ne pent juger la marche d'ane telle fonction sansy tout ra[^xMrter à la variable indépendante^ ce qui

donne tang a = a *"^* a: ""^*. Cette fonction sera évi-

demment toujours croissante ou toujours décroissante, selon que n sera supérieur ou inférieur à m. Ainsi y la courbe est constamment convexe vers l'axe correspondant au plus haut exposant, et qui constitue sa première tangente : elle n'a jamais d'autre sinuosité que celle relative à son centre , conformément à la figure 48 , où l'on a supposé /i >> m. La valeur extrême de taïqpaétant ainsi nulle ou infinie, on conçoit d'ailleurs que cette courbe ne saurait avoir aucune asymptote rectiligne ; car, elle n'en pourrait dès lors admettre que de parallèles à l'un des deux axes , ce qui ne peut s'accorder avec son extension indéfinie suivant chacun d'eux. Une telle courbe , quel que soit son degré y ne pourra jamais être coupée qu'en un ou trois points par aucune droite, sauf ses tangentes qui auront avec die deux points communs, l'un de contact, l'autre d'intersec* lion. Les valeurs des deux exposants m et n ne sauraient évidemment exercer qu'une influence secondaire sur sa forme générale , en sorte que toutes les courbes ainsi obtenues , d'après tous les exposants possibles , constitueront certainement tm même gewrt pleinement naturel. On ne pourra point cependant les concevoir de même e^'pèce^ si, comme la raison l'exige, on définit l'espèce, en géométrie comparée, d'après la similitude rigoureuse des figures correspondantes. Il n'y aura donc une véritable identité d'espèce, entre deux courbes de ce genre, qu'autant que les deux exposants y présenteront les mêmes valeurs qudconques , sans aucune autre diversité que celle du paramètre a.

Considérons , maintenant , le cas où l'un des exposants est

pair et l'antre impair , suivant le type y^ = oj:**^', d'où

te

3fc2 GBOmiTaiE KAfiTE.

j^ = ± iX^j:^"**". L'ordonnée d^ient alors SQScepUbled'imagioarité , et ne peut être réelle qa'antant que jet a le raéine signe que a : ainsi la courbe est iimitéo dans un sens et illimitée dans Vautre. En même temps, chaque ordonnée réelle a nécessairement deux valeurs égales au signe près $ en sorte que la courbe se compose enccnre ds deux branches , mais placées dans les deux régions adjaoantfis , et tf ailleurs parfaitement symétriques autour de l'axe qui les s^are, chacune d'elles s'éloignant , du reste , coiitiauellemeBt des deux axes à la fois. Telles sont les indications fondamentales que fournira toujours ici la marche générale de l'ordonnée , queUes que soient les valeurs des ddux ^posants m et n. Mais la discussion de la tangente va dévoiler la nécessité de distinguer , dans ce cas qui parait unique , deux genres vraiment différents, selon que le degré de l'équation sera pair ou impair« Car, on obtient alors, pour le coefficient angul^^re de la tan-

gente , l'expression finale tang a = — — a^ jc^ .Si

donc l'éqoation est de degré pair , c'est-à-dire si âm surpasse ân+l f l'exposant total de x y étant négatif, œtte fonctkm sera indéfiniment décroissante , et la courbe tournera oonstamment sa concavité vers son axe, qui constituera sa première normale, comme dans la parabole proprement dite, qui appartient évidemment à ce genre. Quand , au contraire, le degré de l'équation sera impair, la fonction croîtra continuellement et sans limite, en sorte que la courbe deviendra toujours convexe vers son axe qui lui sera tangent. L'origine sera un sommet pro« prement dit dans le premier cas, et un point de rebroussemenl dans le second. Du reste , ces deux sortes de courbes ne sauraient comporter davantage que celles du genre primitif, l'existence d'aucune asymptote rectfligne : cttes scmt d'aiUears évidemmeirt dépourvues de eoitre. On aura donc lei ûwx

TROISIÈME PiAf », OUnmM DEUXIÈME. Slf

formés géaérales iddiqaées par les figures 49 et 50, sdoQ qof Teuposant pair sera supérieur ou inférieur à Texposaot impair La première, quel que soit son degré, ne peut être toqpée eo plus de deio: poiots par aucune droite, en sœrte que les laa-? génies n^ rencontrent qu'une seule fois la courbe; dans là seconde, toute droite coupera en un ou trois points, et chaque tangente en deux poi|Bits : ces diversités géométriques sont en pleine harmonie avec la notion algébrique relatiTe au- nombre constamment pair des racines imaginaires.

Tels sont les trois genres parfaitement nature qui composent la famille des paraboles , où chaque courtie ressemble certainement davantage , sous les divers aspects essenti^ , à tontes celles du même groupe qu'à aucune de celles d'un autre groupe, sans nul égard au degré, dont la faiUe influence géométrique est réellement bornée à la seule détermination des espèces, conformément aux réflexions générales du chapitre précédent*

80. La seconde famille des courbes binômes ne diffère de la première qu'en ce que la raison directe des deux puissances constamment proportionnelles s'y trouve changée en raison in^ verse. Mais ce simple changement analytique détermine , sous l'aspect géométrique , une diversité très-prononcée entre les hyperboles et les paraboles. Supposons d'abord , comme dans l'autre cas , que les deux exposants soient impairs , ce qui correspond ici aux hyperboles de degré pair, suivant le type

^-V^ = û, d'où r=Y/^-

La discussion fondamentale de l'ordonnée sera la même qu'au»paravant , quant à la réalité et au signe $ en sorte que la couvbe se composera encore de deux branches opposées et identiques , ayant toujours l'origine pour centre. Mais , en ce qui concerne la grandeur 5 la marche sera évidempneut inverse^ {misque

tu eiÈOMÈtÊa nàm.

rordoMite décroît ici lorsque Tabscisse augmente , et rédpro* qaenmt » mos que ces Tariations admetteot d'ailleurs aocane limite : diacon des axes est donc alors nne asymptote de la ooorbe. Qoant ao sens delà coorbare, déjà indiqué par ce double asymptotisme pour la majeure partie du cours , il est irisé de reconnaître quMl ne changera jamais : car, on a

tanga ss ^\ Z. et. par suite, ce coeiBcient angulaire

diminue continuellement si x augmente ; ce qui exclut toute sinuosité , conformément à la figure 51 .

Ce premier genre comprend évidemment Fbyperbole proprement dite , quand les deux exposants sont égaux , en sorte que l'équation soit réductible à la forme 0:^=^9 qoi serait nécessairement celle de l'hyperbole ordinaire , définie au n"" 19, si on prenait pour axes les deux asymptotes que nous lui avons déjà reconnues , conmie nous l'expliquerons d'ailleurs spécialement en son lieu. Dans cette espèce primordiale , l'équation présente une prq)riété très-remarquable , qui ne saurait autrement exister, en vertu de sa symétrie parfaite entre les deux yariables. Il importe de remarquer ici , à cette occasion, qu'un tel caractère analytique indique , en général , la symétrie géométrique de la courbe correspondante autour de la bissectrice du premier angle des axes : car, tous les points étant ainsi susceptibles deux à deux de coordonnées réciproques , on en conclut aisément que leurs distances à l'origine sont deux à deui égales et d'ailleurs pareillement inclinées sur cette bissectrice , envers laquelle ib se trouvent donc symétriquement disposés. Gomme » en outre , l'équation actuelle ne change pas non plos en changeant^ en— a:- et a: en — ^, un semblable raisonnement prouve que la courbe est aussi symétrique autour de la seconde bissectrice , conformément à l'idratité générale des deux braxiches. On ne peut doutar que cette double symétrie

TBOISIËMB PABTIfi y OiAPmiB DEUXIÈME. 215

ne soit particulière à l'hyperbole da second degré : car, d'après la parité nécessaire qui doit toujours exister entre les deux asymptotes, ces deux bissectrices sont é?ideniinent les seub axes que puisse comporter aucune hyperbole de degré pafar ; or, die ne saurait certainement les^admettre qu'en cas d'égalité des deux exposants. Ainsi , les idées de symétrie que rappelle spontanément cette espèce primitive doivent être entièrement écartées pour s'élever convenablement à la vraie notion géométrique du genre correspondant (*).

Examinons maintenant le second genre d'hyperboles , où les dcox exposants sont l'un pair et l'autre impair, en sorte que l'équation est alors de degré toujours impair, suivant le

type y"j:"^=a, qui donne ^=±: y/ -^ï^. Comme

dans le second cas des équations paraboliques, la courbe se composera de deux brandies égales et adjacentes , symétriquement disposées autour de Taxe des x. De même que d-dessns , chacune d'elles aura encore pour asymptotes les deux axes. Quant à la marche des tangentes, elle n'offrira évidenament aucune diversité essentielle , d'après la formule

(*) Au sujet de cette espèce excqttlonneUe, Il conYlent d'édaireir id une contradiction apparente, relative au nombre de points déterminant, qut, d'après l'équation jv* y"»= a, doit toujours se bornera quatre dans toutes les courbes hyperboliques, comme dans les courbes paraboQques, conformément h notre théorie fondamentale ; tandis que, d'une autre part, nous TaTons spécialement reconnu égal à dnq pour l'hyperbole ordinaire. Mais ce défaut d'accord tient uniquement à ce que nous ne considérons id que des hyperboles à asymptotes rectangulaires; et, si les axes étaient obliques, l'angle des asymptotes n'en serait pas moins donné : ce qui doit naturellement diminuer d'une unité le nombre des conditions déterminantes, qui s'élèverait, en effet, à cinq, enyers toutes les hyberboles , si l'on regardait comme Indéterminée rindînaison de leurs asymptotes*

La même explication dissiperait aussi la contradiction analogue que semblerait oflHr Ici la théorie de la similitude*

946 oiolDiniB Pf.Am«

tang a = -^— - , qui contlnae à exdnre toute sintiosité ,

confonnéneDl ^ la figure 53. Telles sont les seules diOereuces foudameutoles qui puissent avoir lieu entre les hyperboles de dqgfé impair et celles df df^gré pair : leur distinction peut se résumer par l'absence au Vexisteoce d'nu centre.

Nous deyous remeriiuer ici que ce second cas des courbeis hyperboliques ne comporte nullement la division qu'a exigée le cas analogue des courbes paraboliques , d'après Tordre de grandeur des deux exposants. Car, cette distinction , sans aucune inflaence sur la marche générale de Tordonnée , ne se rapportait qu'à la tangente , dont le coefficient angulaire devient ici toujours décroissant , quel que soit celui des deux exposante , pair ou impair, qui surpasse l'autre. Ainsi , la f»mille des hyperboles ne comprend réellement que deux genres , quoique celle des paraboles en contienne trois. Dans le premier genre, de degré pair quelconque, aucune droite ne peut couper l'hyperbole en plus de deux points ; dans le second^ de degré impair, l'hyperbole admet trois points en ligne droite : il faut d'ailleurs, en chaque cas, avoir égard aux restrictions nécessaires relatives , d'une part , aux tangentes , de l'autre , aiix parallèles aux asymptotes.

Ennrers oes deux genres d'hyperboles % il oonvieut , pour en mletlx concevoir la forme , de déterminer le point le plus rapproché de l'origine actuelle» où se croisent toujours les deux asymptotes. Maïs , au Heu d'appliquer à la fonction ^*-f^*, qui exprime le carré de cette distance , la méthode générale des miuima , après y avoir réduit les deux variables à une seule conformément à l'équation donnée , on obtiendra une solution beaucoup plus simple en employant îd un principe géométrique de minimum qui, quoique particulier à ce genre de questions, n'en mérite pas moins d'être soigneusement ap-

TROISIÈME FAHTIB, CttAPITEG DEUXIÈME. S(7

Iirécié , à caoM de son utilité pronoiicée en bmusoap d'oecarioos. C'est le principe évident que le pltls ooart chemin d'an point à one lig^ne quelconque , d'abord droite et pois courbe , loi est toujours perpendiculaire ; ce qui ne saurait certainement offrir aucune difficulté quand le point appartiâit ^ comme dans le cas actuel ^ à la oonrexité de la courbe. B'après cela , le caractère analytiqne du point cherehé eonstotera simplement en ce que le coefficient angulaire de la tangente et celui du rayon y soient réciproques et de signe contraire , suivant laJoî ordinaire (n"" 28). Si donc x'^y^^a désigne, en général , l'équation d'une hyperbole quelconque , du premier ou du second genre , le point le plus rapproché de l'intarsection

des asyinptotes y sera déterminé par réquation — ~ = -, d'où

ce qui indique aussitôt la direction du rayon

ccNTespoodant , et dès lors les coordonnées spéciales du point cherché. On voit ainsi que ce point remarquable ne peut jamais être équidistant des deux asymptotes , sauf dans l'hyperbole du second degré y ov in=s<» s il sera toujours plus rapproché de l'asymptote rehitive au plus fort exposant; ce qui egt pleinement conforme & nos réflexions antérieures sur la symétrie.

Toutes les courbes de la famille des hyperboles sont^ comme celles de la famille des paraboles, exactement quarraUes d'après nos méthodes actuelles. £n partant de l'équation pré-

-Vj: lit — ly cédente x^y^^a^ on trouve ainsi ^^cT ^ '^^ pour

Taire comptée à partir de x==1. Il est digne de remarque que cette aire, étendue jusqu à chacune des deux asymptotes , est toujours finie d'un côté et infinie de l'autre. Car, en faisant ,

3M GÉOMÉTRIE PLAKB.

dans cette formdle , les deox hypothèses o^sO, xss œ , qai correspondent i ces limites , le terme variable y devient d'abord nnl et pois infini , on réciproquement , selon que son exposant est positif ou négatif, c'est-à-dire , suivant que m est supérieur ou inférieur à n : d'où il résulte que Taire indéfiniment prolongée a constamment une valeur finie vers l'asymptote relative au plus haiit exposant , tandis que sa valeur totale est , au contraire , infinie vers l'asymptote à laquelle se rapporte le moindre exposant. Pour Fhyperbole ordinaire , où les deux exposants sont égaux , la formule devient indéterminée , ce qui tient à un changement de nature de la fonction correspondante, comme je l'expliquerai spécialement en son lien : nous reconnaîtrons alors que ces deux segments sont pareillement infinis. Cette première classe de courbes, paraboliques et hyperboliques, la seule jusqu'ici où les conditions nécessaires d'une classification vraiment rationnelle se trouvent soflBsamment i^mj^ès , doit être envisagée comme offrant le type le pins satisfaisant de la discussion géométrique des équations. On voit ainsi comment la nature des termes d^une équation binôme range aussitôt la courbe correspondante dans la famille des paraboles on dans celle des hyperboles , et comment ensuite l'appréciation comparative des deux exposants détermine aisément auquel des trois genres de la première oudes deux genres de la seconde appartient le lieu proposé. Une telle â>aache spontanée , quoique bornée au cas le plus simple , peut déjà indiquer au lecteur intelligent ce que deviendra sans doute un jour la géométrie comparée , quand cette nouvelle face universelle de la science géométrique, si méconnue maintenant, aura été réellement constituée d'après les conceptions générales qui lui sont propres.

TBOISIÈME PARTIE, CHAHTKB TBOISI&IIE. SMi