CHAPITRE III

Courbes trinômes.

81. Le principe provisœre qui, à défaut de toat autre fina* leme&t conyenable , nous sert ici à classer géométriquement les équations algébriques, d'après le nomlnre et la nature de leurs termes, cesse déjà 4'offrir une suffisante rationalité à partir même des équations trinômes, où Ton n'a plus la certitude qall conduise à instituer des groupes pleinement naturels, comme dans le chapitre, précédent. Néanmoins, sa judicieuse application y est encore très-utile pour coordonner et varier les diyers exemples qui doivent y caractériser les principales difficnllés relatives, en général, à la discussion géométrique des équations. Trop peu prononcées envers les courbes binômes, ces difficultés doivent être surtout étudiées dans cette seconde classe , dontrexamen complet suffira certainemei^ au lecteur pour apprendre convenablement à bien discuter les équations à deux variables j ce qui constitue maintenant le but essentiel de cette troisième partie de la géométrie plane , puisque l'imperfection actuelle de la science nous oblige d'ailleurs à y renoncer encore aux spéculations supérieures de géométrie comparée que j'ai dû me boruCT à y faire entrevoir.

Comme les diverses catégories géométriques sont ici à la fois plus nonîbreases et plus étendues qu'à l'égard des équations à denx termes, il ne nous sera pas possible d'épuiser, aussi pleinement qu'au chapitre précédent , l'appréciation détaillée de chacune d'elles. Je me bornerai à compléter cet examen pour la j^us simple catégorie, comprenant un terme relatif à chaque

900 QionfentB plans.

variable et an terme constant. Quant anx antres pins comidiquées, où les cas se multiplieraient davantage, j'indiquerai seulement un petit nombre d'exemples caractéristiques, laissant an lecteur à poursuivre spontanément , d'après les mêmes distinctions, de telles séries d'études, dont les déyeloppements propres nous entraîneraient beaucoup trop loin , sans comporter d'ailleurs aucune sufl^nte utilité, soit scientifique, soit logique. An reste , tous les exemples «sonsidérés en ce chapitre^ quoique relatifs à des exposants déterminés, afin de mieux fixer les idées en facilitant les calculs , seront toujours traités de manière à constituer autant de types des cas analogues qtie produiraient d'autres exposants quelconques assujettis aux mêmes conditions.

Dans la première classe des équations trinômes, sous k forme y^ -f « j:* :^b;ies deux exposants peuvent d'abord être simultanément impairs,et*alors égaux ou inégaux: considérons un exemple de chaque sorte.

Premier exemple. Soiti'éqaatîonj^3+*^==^- Pour rendre cet exemple plus intéressant , j'y ai supposé , outre Tégalité des exposants, celle des coefficients , en sorte que la courbe devient ainsi symétrique autour de la première bissectrice ; mais j'engage d'avance le lecteur à ne pas attacher trop d'importance à cette particularité, dont l'absence maintiendrait essentiellement, à cette seule symétrie près , la figure générale que nous allons reconnaître; comme on pourra d'ailleurs le constater aisément d'après un autre exemple comparatif où cet accident n'ait pas lieu.

La formule j^=: V^l — a:^ montre d'abord que, l'ordonnée étant toujours réelle et unique, la courbe sera illimitée en tons sens et continue. Quand a: est positif i l'ordonnée reste positive et décroissante de 1 à 0 , tant que a: ne dépasse pas la valear

TROISIÈME PAAtlS , CMAmÉm TROISIÈMB.

1, tpvfei laquelle l'ordonnée détient négttive^ et dto lov9 tedéfinifldeiit arfrissante : a? négatif la rond oodstamment positive et la bit orottre sané limite. Ainsi la forme la plui aimple coiii<pafiUe arec rensèmble de la disGosaioti de l'ardoniiée perait hcpiDtie pooettiée de la figure 58*

i)'aprés le coe£Bcient angulaire de là iàhgëdte, tàngasz '^,

les tangentes en ▲ et B aont certainement perpendiculaires aux axes cQFrespoQdanta i en sorte qu'il y a sinuosité *. en C , sur h i^issectrice qui sert d'ai:e à la çourbô , on a tang »&=— 1 , et ce point est par conséquent un sommet. La courbe est d'ailleors toi^omrs ooneaye vers l'origine depuis A jusqu'à B, puisque cette fonction continue évidemment à croître entre ces limites. Att delà , on n'en peut plus apprécier la marche qae par sa réduction à une seule variable « fK)us la form^

tang a = -5 . Or, en divisant lés deui termeâ pàt x\

i/(^— ir

on a tanffa =

, et l'on IrecOnnalt aussitôt <|ue

cette fonction , nécessairement d'abord dédpolssante) à partir db xi=ii , qui la rendait infinie, ne cesse jamais de diminuer, en tendant vers la limite — 1 , qui in^qUe la direction de la se^ oonde bissectrice. Il en est de même , en sens inverse, pour x négatif, en sorte que cette limite est ooounuiie aux de»x par**ties, qui, après les inflexions A et B, sont dés lors indéfiniment convexes vers cette seconde bissectrice, où il est aisé de reconnaître l'asymptote de la courbe y comme j'ai déjà eu Toccasion de Texpliquer. Ainsi comprise entre une tangente et une asymptote parallèles, cette coutbe à double inflexion est maintenant assez caractérisée, outre sa symétrie autour de OG. Sa courbure est évidemment beaucoup plus prononcée entre les

âsa QiiomtmR plahs.

deux sinuosités, qae dans toot le reste de scmi cours ; puisque ce faible interyalle fait varier de 90 degrés la direction de la tangente, que le prdongement indéfim de la courbe change ensuite seulement de 45o. En y cherchant, d'après le principe spécial employé au chapitre inrécédent, le point le plus rapproché de l'origine, d'où partent déjà les trois normales OA, OC, OB, il est clair que les deux extrêmes doivent correspondre à un minimum puisqu'au delà il y a accroissement , et celle du milieu à un maximum , comme le confirment leurs grandeurs respectives. Cet exemple nous offire l'occasion naturelle decom«pléter cet utile principe géométrique, en y remarquant que le chemin normal , toujours minimum quand il part de la convexité, est, au contraire, tantôt minimum et tantôt maximum, en partant de la concavité , suivant la position du point de départ sur la normale correspondante : cette distinctiœi , dÊrecte* ment évidente envers le cercle, prés^te d'ailleurs, à l'égard d'une courbe quelconque, de véritables difficultés que l'analyse ordinaire est peu propre à surmonter , et dont le lecteur doit ici ajourner la solution générale.

Il serait superflu d'établir expressément que l'ensemble de la discussion précédente convient essentiellement à toutes les court)es du genrey"^+x'~+'=l, avec de simples nuances secondaires résultées du degré.

Deuxième exemple. Supposons maintenant l'équation jr^'j-x9=s 1 , OÙ les deux exposants impairs sont inégaux. Cette différence ne saurait influer sur la marche générale de l'or-

donnée. Quant à la tangente , on a tang a = . , et de A à

Bifig. 54), la fonction procède comme ci-dessus, avec les mêmes inflexions , sauf la position de la normale intermédiaire. Mais, au delà de B, on a ici

taDga =

noiSIÈlIE 9A&CT, GHAI^ITEB TROISIÈME. fiSS — 3jr' —3

cette fonction s'annnlant pour x infini, la courbe, constamment ooBcave vers Taxe desx, ne eomporte pins d'asymptote de ce côté. En changeant le sigoe de :r , on obtient la même yaleur extrême : ainsi , après l'inflexion A , où la tangente est parallèle à cet axe, la courbe, d'abord conyexe» finit aossi par deyenir ooocaye, et sans asymptote possible. Il existe donc à gauche une nouyelle inflexion, correspondante au minimum de la

^ ^«a 4- 4x9 4. 6x64-4x34-1 fonction ' — ^ — ■ '— : si Ton y applique la méthode que nous ayons établie, on trouyera sans difficulté

j:= 1/5 , pour l'abscisse de ce point remarquable. Cette troisième inflexion et l'absence d asymptotes distinguent profondément cette courbe d'ayec la précédente , en caractérisant Tinflaencc irrécusable de l'inégalité des deux exposants.

Au sujet de cette première comparaison , je dois en général, recommander au lecteur de ne pas se borner , comme on l'a toujours fait jusqu'ici» à discuter isolément chacune des équations qui lui serviront successivement d'exercices, mais de comparer ensuite judicieusement les résultats de chaque discussion ayec ceux des cas antérieurs qui seront suffisamment analogues. Cette appréciation comparative augmentera beaucoup l'utilité logique d'une telle étude géométrique , qui, ainsi conduite , pourra , d'après un petit nombre d'exemples bien choisis, faire profondément sentir le yéritable esprit de cette partie essentielle de la géométrie plane. Pour garantir la pleine efficacité de semblables comparaisons, il faut toujours les tendre parfaitement nettes , en s'y assujettissant, comme dans les expériences physiques bien instituées , à ne jamais compa-

rer entre eax que des cas géométriques diflérant sous un seul aspect analytique , dont l'influence finale sera ainsi distinctement caractérisée.

Troisième exemple. Considérons maintenant le cas des deux exposants pairs, en les supposant d'abord égaux, suiyant l'exemple^* + •^* = *» où Tégalité simultanée des deux coefllcients entraîne d'ailleurs accidentellement la double symétrie de la courbe autour des deux bissectrices. D'après la formule

Xss±y^i — x^, la courbe, déjà symétrique autour de» deux axes coordonnés, est évidemment fermée et continue, entre les limites -)- 1 ^t — 1 suivant cbaque axe ; de manière à ^!lre conteBue dans le carré ABA'fi' (Jig. 55). Quant à la tan-

gente , son coeflBcient angulaire -montre clairement que

diacun des octants identiques dont la courbe est composée est toujours concave vers son centre , et que les huit points où elle rencontre ses quatre axes géométriques constituent autant de sommets; en sorte qu'elle est finalement inscrite dans un octogone quasi-r^ulier. Aux deux extrémités de chaque octant, )a distance au centre est évidemment , d'après le principe des normales, maximum suivant OC et minimum suivant OB, puisque d'ailleurs on peut reconnaître aisément que OC surpasse OB.

Outre la comparaison de cet exemple avec le premier, afin de bien saisir la grande influence géométrique de la substitution des exposants pairs aux exposants impairs , il est naturel de comparer la courbe actuelle avec le cercle j^*+j:*5=1> dont il semble d'abord difficile de la bien distinguer géométriquement. Quant à l'ordonnée , on reconnaît ainsi sans incertitude que la courbe est circonscrite au cercle , puisque la fonction Kl — x4 surpasse toujours, entre 0 et 1 , la foactîoii V^i — o:^ ; le asuimiim d'écartement est sur les bissectrices.

TROISIÈME PAEtlB, GHA^ItU TEOISIÊBIE. 269

La marche des tangentes confirme cette diversité^ en montrant que les huit sommais sont les seuls points de notre courbe où se reproduise le caractère constant de la tangente an cercle , d'être partoqt perpendiculaire au rayon correspondant. On pourrait donc se figurer grossièrement cette conrbe, et les diverses coorbes analogues y^-\^x^=^ij y^-^-x^zssl^ etc. comme provenues d'une sorte d'uniforme dilatation thermomètrique d'un cercle métallique encastré dans an châssis i|on-dilatabl6 ABà'B'y qui, empêchant l'éloignement des sommets correspond danis , produirait un écartement croissant jusqu'au milieu Aê chaque intaryalle.

Quatrième exemple. Pour avoir complètement apprécié 1% cas des deux exposants pairs égaux entre eux , il faut y considérer, comme nouvel exemple, Téquation j^^ — j:4=i, où l'opposition des signes détermine une profonde diflerence géométrique y qui ne pouvait exister envers des puissances impaires, susceptibles de changer ainsi par suite d'une simple transposition d'un côté à l'autre de l'un des axes coordonnés. Ce contraste doit être essentiellement analogue à celui que nous nom vu , dans la première partie de ce traité , résulter d'un pareil motif algébrique entre l'ellipse et l'hyperbole. Il consiste surtout en ce que la courbe, au lieu d'être fermée et continue , devient illimitée et discontinue ; l^ deux bissectrices , au liea d'être des axes , deviennent des asymptotes : la courbure de l'ensemble de la courbe est donc, à tous égards, beaucoup moins prononcée que ci-dessus.

Cinquième exemph. Supposons maintenant que les deux exposanta pairs soient inégaux, comme daos l'équation ^'+x^=:l, qtfil faudra naturellement comparer à^^+J:''^! et ày+x^=l. L'ordonnée , dont la marche générale y sera essentiellement conforme. à celle de ces deux cas, y aura d'ailleurs une valeur

fiMstaounent ini^médiaire, en aorte qoa la courbe ae trony^ra

S56 GltoMÉTEIE niÀHB.

cireoQScritc au cercle et poartant inscrite à celle de la figwre 55. Quant à la tangente , elle ne comporte ici d'aaCre rcmarqae essentielle que celle relative à la normale moyenne entre OA et OB, qui cessera dès lors de coïncider ayec la bissectrice, confcHrmément au défaut de symétrie selon OG.

Sixième exemple. G)nsidérons encore , à ce sujet , l'équation y — ar4=l, qui devra être géométriquement comparée, d'une part à la précédente , d'autre part à ^* — j?* = 1 . Envers celle-ci, la différence consistera surtout dans l'absence d'asymptotes rectilignes, d'où résultera une courbure totale plus prononcée. Il serait aisé de constater ici l'asymptotisme avec les deux paraboles j^ = + j:' ; mais il contribuerait peu à éclaircir la figure générale de la courbe.

Septième exemple. Passons enfin au cas où les deux exposants sont l'un pair et Fautre impair, en supposant d'abord que celui-ci l'emporte, comme dans l'exemple ^* + «^^ = * ? ^^^ faudrasartout comparer à^3+a:^=l . La formule jr=±V/ 1 — J^ indique la limitation de la courbe à droite en A {fig, 56) , où :r = 1 , et son extension indéfinie à gaucbe,.en restant d'ailleurs toujours symétrique autour de OX . D'après le coefiicient

angulaire de la tangente — — ^ , la courbe est évidemment

toujours concave vers l'origine entre A et B ou B' : le principe

des normales apprendra aisément que le point de cette partie le

plus éloigné de l'origine a» pour abscisse -,* cette distance

maximum excède si peu les minima égaux OA et OB, que de B en B' la courbe diffère à peine d'un demi-cercle. Mais, an

delà , tang a = , . = , ' ; or, celte fonc-

tion, d'abord nulle aux inflexions B et B', augmente continad-