TROISIÈME PARTIE , CHAPITRE TROISIÈME

lement et sans limite à mesure que x croit négativement. Ainsi, la partie gauche indéfinie, beaucoup moins courbée que )a partie droite , quoique dépourvue d'asymptote , est toujours convexe vers Taxe des abscisses.

Huitième exemple. Il ne reste plus , pour avoir rapidement apprécié tous les cas essentiels de cette première catégorie d'équations trinômes , qu'à y supposer un exposant pair supérieur à un exposant impair, suivant rexemple^*+jc3__ ^^ q,ji

devra surtout être comparé au précédent et au premier. La marcbe générale de l'ordonnée y est évidemment la même que d-dessus. Quant à la tangente , elle n'offrira non plus aucune différence importante du côté des x positifs. Mais , dans la partie gauche indéfinie , on aura

tanga =

4>>-(î+Pr 4\/.+» + »+l' .:

Or, la fonction sous le radical, d'abord infinie pour ar=0, le • devient encore pour or = oo ; en sorte que , dans l'intervalle , l'angle a commence par augmenter, mais finit bientôt par diminuer continuellement jusqu'à zéro. Ainsi la courbe , primitivement convexe à gauche , comme dans le cas précédent , ne tarde pas à devenir toujours concave^ et enfin parallèle à l'axe, ^ sans comporter d'ailleurs d'asymptote. Outre le couple d'inflexions B et B', il en existe donc un secouji , peu éloigné da premier, et provenu du degré actuellement pair. Pour trouver sa position précise , il faut obtenir le minimum de la fonction

-^ — ^ ^. En l'égalant à une ordonnée auxiliaire z ,

il faudra , suivant notre méthode , chercher une tangente parallèle à l'axe des x dans la courbe correspondante; 08 qui fournira , d'après la règfle (ordinaire , la condition

258 GiÈOJgÈFBJE PtàNE.

9x»'{- iSx^+ 9x* ^ Sx'z. Ayant ôté la solution a:=0 déjà connue , il vient , en substituant la définition de z , 9x6+ iar3 +9 = S{a^+3x'-\-3x^ + i) ^^^ équation finale

est très-facile à résoudre , si l'on remarque qu'elle peut être

g (x3+ 1)^ mise sous la forme 9(j:^+1)*=' "T : car, en suppri-

mant le facteur commun inutile à la question , elle devient

9= ■ y ; d'où résulte aussitôt x=2, et, par suite,

jrsz V^3 ^ a = 150% pour le point cherché.

82. La seconde catégorie des équations trinômes comprend celles où, les deux variables restant encore séparées , l'une d'elles entre à la fois dans deux termes et l'autre dans un seul. Cette coexistence de trois exposants doit évidemment y multiplier bien davantage les distinctions géométriques qu'envers le groupe précédent , borné à la comparaison de deux exposants. Aussi me rédairai-je ici à caractériser, par quelques exemples choisis , un petit nombre de ces cas , laissant au lecteur à discuter spontanément tous les autres ; ce qu'il pourra maintenant exécuter sans guide , d'après l'ensemble des habitudes déjà contractées sur la discussion géométrique des équations.

Premier exemple. Considérons d'abord la courbe ^^=0:^ — a:^ où les trois exposants sont ipipairs. Par cela même , l'ordonnée y étant toujours réelle et unique , le lieu sera illimité et continu : ses deux branches auront d'ailleurs l'origine à la fois pour centre et point d'inflexion, et chacune d'elles coupera l'axe de a: , à droite ou à gauche, à la distance 1. Entre 0 et 1, l'ordonnée , nulle aux deux extrémités de cet intervalle , sera d'abord croissagate et puis décroissante , son maximum corres^

pondant i x=A/ -, suivant la règle des dérivées, ici inmié-