TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME
diatement applicable sans diflSculté : au delà, rordonnée change de signe , et croit dès lors indéfiniment dé part et d'antre, conformément à la figure 57. L'examen du coefficient angulaire de la tangente, tan g a =3jr* — 1 , ne laisse aucun doute sur le sens ainsi assigné partout à }a courbure , ni sur Tabsence totale d'asymptotes : la tangente au centre se confond éyidemment avec la seconde bissectrice AA'.
Une c(»Dparaison peu approfondie pourrait disposer à confondre une telle forme avec celle qui couTient au premier genre des ^aboies. Mais un examen plus attentif fera clairement ressortir la différence essentielle des deux cas , d'abord analytiqueÉient , puis géométriquement. Il suffît , pour cela , de rapporter la courbe actuelle aux deux bissectrices , qui s'y trouvent éîidemment placées , d'après l'ensemble de la discussion précédente , comme les axes propres à ce genre. Les formules de
transposition seront alors x=^ — î— — , .r = — tit- > ce qui
donnera Véqualion j^'^+S^y+Sj/y'^+y^—^y = 0, dont la
différence très-prononcée ayec celles du chapitre précédent
interdit aussitôt tout pareil rapprochement.
Outre cet exemple , où l'exposant impair de l'ordonnée est égal au moindre exposant de l'abscisse , il faudrait , pour avoir vraiment apprécié tous les cas à triple exposant impair, en considérer quatre nouveaux ou le premier exposant serait suc* cessivement égal au plus grand des deux autres , puis supérieur à celui-ci , ensuite compris entre les deux , et enfin inférieor au plus petit.
Deuxième exemple. Supposons maintenant que, l'unique exposant de l'ordonnée demeurant impair, les deux exposants de l'abscisse deviennent pairs., en prenant, comme seul exemple , parmi tous les cas divers que comporterait cette condition , l'équation très«simple yz^x^-^x''. Après avoir di-
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rectement reconnu rillimitation et la contintiité du lieu , ainsi que sa symétrie autour de l'axe des^, il est aisé de constater que l'ordonnée , nulle pour x=0 et j:=1, et positive dans l'in-
tervalle, y atteint son maximum f pour x = V/ - : quand elle
a traversé Taxe des abscisses , la courbe s'en éloigne indéfiniment. Mais sa vraie figure est plus compliquée que ne l'indique d'abord cette discussion fondamentale. Car, en examinant la marche des tangentes , diaprés la loi tang a=2a: — 4^:^ on aperçoit que , outre le maximum , la tangente est aussi di* rigée suivant l'axe à l'origine, qui est donc un sommet, et non un point de rebroussement : par snite , il doit existe^ une inflexion dans l'intervalle. On la déterminera en cherchant le maximum de tanga, ce qui donne immédiatement l'équation
