Cet indispensable préambule, sans lequel les idées géomè

16 GÉÔMBffttE PLAKti.

IriqaeA ne daubaient derenir réductibles à des idées numériques, nous permet de procéder maintenant à l'exposition directe de la conception fondamentale d'après laquelle Descartes a constitué la géométrie analytique, en établissant une intime barmonie mutuelle entre les lignes et les équations.

Quand un point se déplace arbitrairement sur un plan, ses deux ^coordonnées changent indépendamment l'une de l'autre. Mais si , dans son mouvement , il suit un trajet rigoureusement déterminé, de forme d'ailleurs quelconque , ces deux Yàriables ne sauraient plus être envisagées OHume indépendantes entre elles. L'une d'elles, en effet, suffit alors pour déterminer le pmnt, à l'égard duquel la ligne proposée tient lieu de celle qui correspondrait à l'autre cordonnée. Gelle-ci ne peut donc prendre , en ce cas , que des valeurs subordonnées à celles de la première , dont elle devient ainsi analytiquement , suivant le langage des géomètres, une véritable fanciionj d'ailleurs assignable ou inassignable, caractérisée par une équation convenable entre ces deux variables. Or , comme cette équation traduit exactement la condition d'un tel trajet , elle est justement nommée éguatùm de la ligne correspondante, puisqu'elle en constitue une rigoureuse définition analytique , qui ne sau* rait convenir à aucune autre figure , où , la même valeur de l'abscisse devant procurer une valeur différente à l'ordonnée , leur relation doit nécessairement changer aussi. Cette inévitable correspondance entre la ligne et l'équation est même , à certains égards , trop intime , en tant qu'affectée par la situatiom comme par la forme : car, d'après ce prindpe, l'équation doit évidemment subir un changement quelconque quand la ligne ne fait que se déplacer sans changer de forme ni de grandeur $ d'où résulte la nécessité de règles analytiques expressément destinées ci-dessous à dissiper une telle confusion, d'ailleurs nécessairement résultée de ce que les idées dé position sont seules

PRKMIÈftB PARTIK, CHAPITRE PREMIER. 17

immédiateiiient susceptibles d'expression algéiHîqne. Ainsi, Téqaation d^une ligne , en tout système , n'est autre chose que la relation constante qui existe nécessairement entre les coordonnées variables du point décrivant, par cela seul que la ligne est rigoureusement déinie d'après une propriété onnmune à tous seapdnAs.

Le principe général d'une telle correspondance ne saurait tire conyenablement apprécié, si on n'envisage les idées d'équaHon ou de fùw^ion de la manière la plus étendue, et si on n'évite smgneusement de confondre la conception, toujours possiUle , de diaque équation avec sa formation efiective , souvent très-difficile , et quelquefois inaccessible. Il existe, sous ce dernier aspect, une très-grande dilfoence entre les diverses définitions dont une même ligne est susceptible. Par exanple , la d^nition élémentaire du cercle, comme lien des points équidistants d'un point fixe , se traduit aussitôt , d'après le dmplé théorème de Pythagore , en l'équation y*-|~â?'ssr% entre les coordonnées rectilignes de l'un quelconque de ses points , relativement à deux axes rectangulaires menés de son centre.

Au contraire, la définition transcendante de cette même courbe, comme étant celle qui , sous le même contour, renferme la plus grande aire, exige l'intervention de la plus haute analyse pour fahre obtenir l'équation. L'ensemble de la géométrie présente, même aujourd'hui, beaucoup d'exemples de courbes dont l'équation proprement dite n'a pu encore être formée , et à Végàrd desquelles on peut , en outre , quelquefois assurer que cette formation exigerait nécessairement l'introduction de nouvelles fonctions analytiques.

Il importe de remarquer déjà que cette correspondance fondamentale entre les lignes et les équations ne saurait , par sa nature, offrir aucun caractère absolu , qui affectât exclusivement, dans tous les cas, certaines relations analytiques à cer-

iS GÉÛMilTaiB PL4KE.

taiqes formas gépiiiétriqi;ies. Car, nw telle barmonie eft én^ demment subordoni^ée aa système d^ coordonnées qqe Von ^ cbpipi. Si donc une habitude io?étérée coi^uit, par çxen^Jis, à lier iotimement entre elles les idéa 4e ligne droite et 4'éqoation da premier defrè on de section coniqnç et d'éqoatim dd second degré , cela tient nniqaement à l'emploi trop ex|3l9$if 4n sjrstjtoe rectiligpe , auquel se ri^ppftc^t c^ Uaisoffs, Ji^ps d'autres systèmes , ces mêmes lignes prendraient évidemment de nouvelles équations , dont la composition analf tiqap semblerait souvent dépourvue de toute analogie avec les premières , quoiqu'il dût pourtant exister ep^re elles , malgré tqut^ le» variations possibles , une certaine affinité algébrique plu^ ou n^ins difficile à discerner, d'après leur commune sonrce géométrique.

Nous devons enfin soigneusement signaler ici « en principe , comme propriété essentielle de cette cçrrespondanipe de l'équation à la ligne , pour chaque système de coordonnées , son indépendance nécessaire de la diversité des définitions propres ii une niéme figure. Quoique l'équation résulte inévitablement de la définition , elle n'est cependant pas susceptible de varier avec elle , si la ligne n'éprouve aucun changement réel ; puisque les méme^ abscisses 4^vront toqjours correspondre au^ mêmes ordonnées ^ tant que la sncces^n d^ pointa n'aida f^ effecti venant changé, sou9 quelque nouvel aspect qu'elle puisse être envisagée^ Rien n'est plus propre que ce remarquable privilège à faire dignement ressortir combien l'équatiw caractérise jarofondément la vraie nature invariable de la ligne correspondante , au milieu de la variété presque indéfinie de ses attributs géométriques. En même tmips, cette identité nécessaire de l'équation^ de quelque définition qu'elle proviçnQ®» doit présenter, en géométrie analytique, une importante destination habituelle, en y permettaut de r^nnattre ainsi , fi'une

PBEMiâRE PARTIE » G«APITaE PBEMIBR. 19

qww^iftre «t mifor^ie , réqaiy^epce efifective des définitions q^i «uroat conduit à la même écjuation , et qni , sans cet benrenxwtermédiaire, aaraie^t sopvent offert beaucoup d'obstacles à un nt|q[»'OchemeDt dédsif .

&iif<|pi^o|raii)9«caracléfifé,eosen^ direct, la conceptîoafiqiiMneatale de la géométrie aualy ticpie,tt faut maintenant, pour «diiTer 4e «:en {aire une juste idée générale , l'apprécier aussi en sois inverse , quant à la représentation des équatioua. à itm variaU«4 par les lignes plaues oorrefi|Kindant^.

CkttepiiBtare des éqtetJMS réMate de la oo&stroetiw faoul-^ tatitia dir cteeuM de leurs solsliiiiis. Que, dMS une équatioii qQA»9w,Téioi«awMii résoltte, y=?(aî) ûu/(aï,»)«o,

on considère cbaque couple capable d'y satisfaire } ^^^ \

r=:6'l' 1 —6" I ' ^^*' comme exprimant les coordonnées

dfuB pcttnt dans un système quelconque , par exemple rectiligoe : ces diverses solutions pourront dès lors être géométriqusmeat représentées par autant de poUits M» M', M", etc. (^. a), d^ la succession resterait arbitraire si ces couples n'avaîeGit aucun caractère commun , mais quf , au cont^^aire , formeront une ligne nettement déterminée en vertu de leur amfovmeprcvriété de convenir à une même équation , qui coustitaura spctti^nteient la défiaiUcHi algébrique de cette ligne , da«amàpe à la distinguer rig;oureuse]|ient d'avec toute autre. Ennmagée qiwit à l'équation d'<m elle provient, unç telle ligne eueenatitasia cequ'w nomnacle/îmgâameïr^ue , dont l'étude uJlMeate fer» otoessairement découvrir d'autres propriétés spésides^MSfaptiliiqs^lni fourQir.divers modie&de génération, pli» ou iMms étuigViés 4e cette source analytique. La phipafldis oa»li9s ^wiurdf Iwi pc^idérées n'ont paseffecti- ?sttsM4'àvybpeiirigiw; aussi souMU^ babituellement nom*

20 GEOMÉTRIB PLANE.

mées par leurs équatioDs mêmes , sauf le très-petit nombre de celles que divers motifs ont conduit à désigner sous des dénominations'particulières. On conçoit, en effet, avec quelle extréme facilité on a pu dès lors imaginer une infinité de courbes nouvelles, assujetties à des défisitions rigoureuses, tandis <^e Tancien régime géométrique ne comportait , à cet égard , que des ressources fort limitées ; même pour la plus féconde imagination.

Sous ce second aspect général, encore plus évidemmratqne sons le premier, la correspondance fbnd^neiitale deslifoei aux équations est nécessairement relative à la nature du «jatème de coordonnées adopté. De la même équation , on pott|rraît.oeriaînement tirer une inJSnifé de lignes différentes^ en se bornant à changer convenablement ce système. Ainsi , par exemple , Téquation y = 007^ qui, en coordonnées rectilignes, représente une ligne droite , produirait , au contraire , en coordonnées polaires, une spirale compostée d'une infinité de circonvolutions croissantes , comme le lecteur peut le constater aisément. Toutefois, quelque variées que puissent être de telles peintures , il faut sans doute que ces diverses figures conservent entre elles une certaine analogie intime , jusqu'ici peu appréciée , d'après leur commune origine algébrique.

Quant à l'indépendance , ci-dessus signalée , de chaque équation relativement à la diversité des définitions propres à la ligne correspondante, elle est ici remplacée, en quelque sorte, par l'indépendance équivalente de chaque lieu géométrique envers les différentes formes, souvent très-distinctes et fort multipliées, que comporte son équation. Cette seconde {nropriété générale , quoique moins sentie que la première , n'a pas » au fond, moins d'impcHrtanoi^, Elle devient surtout la base essentidie de la haute destination logique dont la géométrie analytique est susceptible pour le perfectionnement des spéculations algébriques. La courbe

PAEHlfeaB PARTIE, CHAPITRE PREIUER. ai

d'une équation présente , en effet , rineatinuible avantage de constituer spontanément an résumé trés-*expressif de l'ensemble des comparaiscms auxquelles peut donner lieu la marche générale des solutions de cette équation : or, cette marche , qui caractérise essentiellaneut Téquation correspondante, au milieu des innombrables transformations dont elle est susceptible , ne saurait être indiquée par aucun signe analytique, et se trouverait même , sans cette lumineuse peinture , profondément dissimulée sous les détsjls algébriques que rappelle directement la composition de Téquation. Telle est la source élémentaire des indications fondamentales d'après lesquelles l'heureux emploi des considérations géométriques a tant concouru , depuis deux siècles, à perfectionner les conceptions analytiques.

7. Cette double explication générale de Tintime harmonie naturelle que la grande conception de Descartes a définitivement organisée entre les idées de ligne et les idé^ d'équation , caractérise déjà le véritable esprit et la principale difficulté de la géométrie analytique. Toutes les lignes qui peuvent être le sujet des recherches de la géométrie plane étant ainsi représentées, dans un système convenable , par autant d'équations, chaque phépomène géométrique qui s'y rapporte devint dés lors susceptible d'expression analytique , soit qu'il concerne les affections isolées de diacune des lignes proposées ou leurs relations mutuelles. Sous ce premier aspect, il s'agit surtout, en géométrie analytique , de découvrir l'équivalent analytique de chaque considération géométrique. Réciproquement, toute équation abstraite , du moins à deux variables, étant aussi représentée de la même manière par une courbe correspondante, il n'y a pftf de modificaticm algébrique qui ne doive comporter une certaine interprétation géométrique , dont la découverte consUtuera habituellement, sous ce second aspect, la difficulté essentielle de k géométrie analytique. Qn voit donc que tous

22 GÉOMÉTRIB PLÂME.

les efforts y doivent principalement consister à développer et* perfectionner sans cesse celte double relation alternative entre Fabstrait et le concret, dont la pensée cartésienne constitue le principe fondamental.

8. Quels que soient les émînents avantages , à la fois logiques et scientifiques , propres à cette admirable conception , dont ce traité fera de plus en plus ressortir la puissance et la fécondité , il importe maintenant, pour en avoir pleinetnent ébauché Tapprécialion générale , de signaler ici sommairetnent ses imperfections essentielles, mais sans nous occuper d'y remédier, en évitant toutefois de les concevoir comme nécessairement ti*répâtables.

Sous le premier des deux aspects fondamentaux d-deÉsuis expliqués, la représentation analytique des ligues est actuellement imparfaite , en ce sens que Téquation, excédant quelquefois la stricte définition, confient à tout l'ensemble de chaqUb ligne, lors même que la génération proposée est resttcihte k une portion déterminée. En cherchant , par exempte, Véquatioti rectiligne ou. polaire du lieu du sommet d'un angle invariable dont chaque côté passe en un point fixe , elle se trôurera vicieusement convenir à la totalité du cercle correspondant , quoique là définition ne convienne cependant qu'à un arc limité, qui pourra même être fort petit , si l'angle est très-aigu : la plupai't des solutions de l'équation né se rapporteraient (Joint abrs à Taogle proposé, mais à son supplément. De même, pour citcV un cas encore plus sensible , en considérant le lieu dU sommet d'un tï^iangle rectangle dont l'hypoténuse glisse eUtre deux axes rectangulaires, l'équation indiquera deux droites indéfiniment prolongées , tandis que cette génération ttfe Saurait évidemment s'appliquer qu'à une portion déterminée de chacune d'elles. Cette altération par excès est, sans doute^ beaucoup moins vicieuse que ne le serait une altération par défaut , laquelle est nécessairement impossible ici ; mais elle n*en consti-

PBEMIÈHfi PAftTlB, GHAPlTas PREHIBli. 23

tae pas moins un grave incoliTénient de notre système actuel de géométrie analytique, puisque certaines déCnitions géomë* triques n'y sont pas algébriquement traduites avec une scrupuleuse Gdélîté, faute de savoir prendre en considération analytique les restrictions qui leur sont inhérentes. C'est surtout dans l'application de l'analyse aux phénomènes thermologiqaes que cette imperfection a dû se faire sentir, en y entravant Tétude spéciale des lois de réchauffement et du refroidissement pour les cas linéaires où, comme il arrive très-souvent, on ne doit considérer qu'une partie limitée de chaque ligne. Aussi est-ce à l'immortel fondateur de cette nouvelle théorie , principale créa* tion mathématique propre au siècle actuel , que la géométrie doit la solution effective de cette difiSculté fondamentale , qu'on avait jusqu'alors jugée insurmontable. Mais, quoique Fourier ait ainsi introduit des équations qui ne représentent réellement que des parties assignables de chaque ligne, cette importante modification a exigé des complications analytiques qui doivent empêcher jusqu'ici, et peut-être toujours, de la rendre vraiment usuelle et surtout élémentaire. Nous devons donc nous résigner finalement à l'acceptation actuelle d'une telle imperfection, sans nous enquérir ici du remède, sauf les précautions spéciales qui , en chaque cas opportun , pourront nous garantir des fausses indications qu'elle susciterait.

Une de ses conséquences générales consiste à ne savoir pas non plus représenter analytiquement un contour discontinu, par exemple, le périmètre d'un triangle ou d'un autre polygone. En géométrie analytique , la composition des lieux se traduit naturellement par la multiplication de leurs équations, pourvu qu'où ait d'abord pris la précaution indispensable d'y tout réunir en nn seul membre, sous la forme usitée f(a:,y)=0 ; car un produit étant nul par cela même qu'un de ses facteurs l'est, à moins que Vautre ne devint accidentellen^ent infini , et ne pouvant

âfr GfiOlltefilE PLANE. .

d'ailleurs être autrement annulé , Il est évident qne le lieu géométrique de l'équation H^, y)X?(^9y)=0 consiste dans l'assemblage des deux lignes séparément issues des équations f{x^ y)=0, 7 (j?, y )=:0. D'après cela, si des équations repré* sentaient des portions de ligne , on pourrait , par leur produit , représenter le contour discontinu qui résulterait de leur juxtaposition. Mais, dans le système actuel , on ne pourrait, au cou* traire , en multipliant ensemble, par exemple, les équations des trois côtés d'un triangle , nullement former une équation qui fût restreinte à son périmètre ; elle conyiendrait aussi à tous les points situés sur les prolongements indéfinis des divers côtés. Ainsi la lacune de notre géométrie analytique , relativement aux parties de ligne, s'aggrave beaucoup d'après ses suites nécessaires envers les contours composés , dont la considération doit naturellement s'offrir en divers cas importants , surtout en thermologie mathématique. La conception analytique de Fourier a remédié au second inconvénient de la même manière qu'au premier, et d'ailleurs indépendamment du principe de la multiplication , mais toujours par des procédés trop pénibles pour être admis dans l'enseignement élémentaire de la géométrie générale , que nous continuerons à concevoir grevée de cette double imperfecti(m naturelle.

Sous le second aspect fondamental, la représentation des équations par les lignes correspondantes doit être jugée habituellement imparfaite , en ce sens qu'on n'y tient compte que des seules solutions réelles, sans aucun égard aux solutions imaginaires, qui néanmoins en restent abstraitement inséparables, et qui souvent sont bien plus nombreuses , au point de constituer quelquefois l'unique réponse que comporte l'équation, même en n'attribuant que des valeurs réelles à la variable indépendante, suivant un usage d'ailleurs déjà contraire à l'entière généralité analytique^ Il ne faut pas croire cependant que

PREiaiEE PARTIB, CHAFITBB PAJBI1IB&. 35

riqsaginarité de ces 80iati<ms doire, en prinoipe , leur interdire nécessdremeat toute interprétation géométriqoe , puisqu'elles ont entre elles des relations très-appréciables , aussi bien géométriquement qu'algébriquement ; sauf la précaution très-facile de tracer différemment la partie du tableau total qui les concerne , par exemple en la ponctuant. C'est ainsi que Téquation ap*+y'=lqui, dans le mode ordinaire, n'est représentée qu'entre j:=— 1 et 5?;=+ 1 , par le cercle 0 A (/îjf. 4) , produirait, en outre, l'bfperbde BCKC, si l'on convenait de ooQsImire , abstraction faite du factenr commun 1^ — f, les ordonnées imaginaires q/tà correspondent à toutes les autres abscbses réelles. Mais une semMable peinture des solutions imaginaires ne saurait convenir jusqu'id qu'à un petit nombre de a» suffisamment simples, en dehors desquels l'imperfection nécessaire de l'analyse mathématique empêchera {nrobablement toujours de compléter conyenablement la représentation géométrique des équations C)^ Nous regarderons donc aussi cette seconde lacune générale comme inhérente à notre système actuel de géométrie analytique , et nous en sidiirom les consèqu^ices naturelles , sans nous occuper ici du remède.

Celle de ces conséquences qu'il importe le plus de préroir dqà consiste dans Valtératicm que reçoit ainsi , en certain cas > le principe fondamental posé d-dessus sur la représentation nécessaire de toute équation par une ligne. En effet , si l'équation n'admet qu'une seule solution réelle , comme par exemple, ac'+y«=0, qui n'est satisfaite que par a; =sO, y =3 0, ou si elle

(*) Un jeune géomètre, M. Marie, ancien élève de l'Ëcole polytechnique, vient de concevoir cette pdnture des solutions imaginsires d'une manière plus profonde et pins générale que dans aucune des tentatives antérieures , de façon k obtenir quelquefois d*heureux rapprochements inattendus, et sans se faire d'ailleurs aucune grave illusion sur la réalisation usuelle d*un tel perfectionnencnt

26 iïÉottném£ PtAxtE.

n'en comporte qu'un itombre limité , elle ne pt*oduira géométriquement qu'un pareil nombre de points , qui pourraient même provenir aussi d'une infinité d'autres équations , en sorte que la figure sera loin dès lors de caractériser efièctirement Têquation correspondante. Quand l'équation ne comportera aucune solution réelle , elle n'aura plus aucune sorte de lieu géométrique, et cette commune fin de non-rècevoîr, jnèlatiré tlon à la nécessité ttiais à notre impuissance , envelopjpera contasémënt une foule d'équations qui , analy tiquement , sont très-dËstinetës entre elles, comme 0?*-)-^*+ 1=0, a?*+y*+l=^5 à?*-{-y*-j-l=sO, y*^e^==0, ete. D'après une telle lacâne, certaines modificatfons analytiques ne comporteront aucune interprélation géométrique; Ê^est ainsi qu'on ne changerait nnllement le Iteu d'une équation en la multipliant par l'une quelconque éôs précédentes, quoiqu'elle fftt alors algébriquement dénatul^e.

9. Pour achever d'édaircir autant que possible cette exposition élémentaire de la conception fondamentale propre à VestsemMe de la géométrie analytique , il reste maintenant à iodiifuèr une importante considération générale ^ trop mécoasiie jusqu'ici, qui mettra dans un jj^its grand jour la eorreapoii^ dance nécessaire entre les idées de lignes et les idées d'équation, en faisant sentir tpie non-seideweilt diaqiàe A^finiliKm rigourense d'une courbe doit pouvoir donner lieu à une éqoatioiî tiorreipondante t^tre telles conrdonnéc» qu'on tondra > mais qu'6lle-n»ftme oanstitue éèjk m&e ptiioiidns éqiiattiWi de fe courbe , relativement à nu certain système de coordîmnéea , en harmonie convenable avec cette définition. Toutefois, afin d'éviter, à cet égard, toute confusion et toute exagération, il faut d'abord restreindre une telle remarque aux seules définitions qai indiquent unte génération de la ligne proposée , de manière à fournir aussitôt une description par points ou par un mouvement continu , restriction qui n'altère point la fféné-

PE£aiIÉRB PâATIBi CllAHVftE PREHIBR. 17

ralité intrinsëqne d'ane telle okerrâlioii , palK^n'atie oovrbe queloonciae comporte néeessairetnettt de seœlilableB dAfinitioiitf , lors même qu'elle ne serait d^iabord définie qae d'âiNrèi une propriété' caractéiristique qoi ne serait point explieatiTe, comme, par exemple, la propriété Isopérimètre da eercle, ci-dessos rappelée. Sauf cette unique réserve , H est aisé de comprendre qu^oh tee peut spécifier la génération d'uw courte que suivant quelque relation immédiate, ordinairaneiit trèêsimple ,' entré certaine^ coordonnées uattirdl^^ qui s'y ra]^ portât : les difficultés qu'on éprouverait d'alH>rd à leiltir celte évidente nécessité ne pourraient teiiir esséblteflement qu'A une manière trop étroite d'envisager la notion générale des systèmes de coordonnées , et cesseraient dès qu'on attribuerait communément à cette conception préliminaire toute rextensioii pliilosoidiiique que nous lui avons donnée précédëmmi^t. Pmt exemple , la définition élémentaire du ccMte censUtue èpoiil*nément Inéquation polaire de cette courbe u == t*, en pMiant le pôle au centre ; sa définition comme lieu du sommet d'i^ angle invariable v dont chaque côté passe par un point fixe, se traduit Immédiatement par l'équation <p — -sp = o , entre les coordottnées Molaires qui mesurent les inclinaisons variables dés tôtés mobtieà sur Taxe fixe ; la définition de l'ellipse ou de l'byiiÉrbi^^e comme lieux d'un point dont la somme ou la diffli^ rence des distancés 4 deux points fixes demeure oom^lante , donne 'aussitôt l'équation te =h ^ = c ^ dans le système de coordonnées qui détermine la position d'un point d'après ses Stances aux deux points fixes proposés ; la génération com^ mune des trois sections coniques par le mouvement d'un point âont léÈ distances à un point fixe et à une droite fixe sont constamment proportionnelles, fournit sur-le- champ l'équation ti = fnty dans le système, moitié rectiligne, moitié polaire, qui Cdtte^$pond à cette définition : il eii|est de même envers les

98 G^OVBTBIË PtAKJS.

eoorbes transcendantes, aiosi 91e noas aurons lieu de le constater spécialemmt sar b défioitioii ordinaire de la cjcloïde^ et ca plnsieQrs aofires cas. Il serait inalatenant soperfla de multiplier davantage de telles Tériflcations , que j'aurai soin de signaler

ensoite ea chaque cas opportun. On oonçalt aisément, en prion eipe, que la génération d'une ligne ne saurait être définie qu'en q^édfiaat la loi du mouvement du point décrivant ; or, cetteloi ne eonipoi^te 4e définition précise que d'a|Hrés une certaine vehCicHi mtre les deux mouvenienls quelconques, soit de tramiIatîoQ, soit de rotation, dans lesquels on décompose le monv^ieat inroposé j cette relation , envisagée sous un autre aspect, constituera donc Téquation naturelle de la ligne considérée , par rapport au système de coordonnées correspondant , qui V/sriera avec la ligne, et surtout avec la définition. Cette considération générale, inconnue avant moi, rend plus évidente l'harmonie fondamentale entre ks lignes et les équations, en dégageant spontanément sa notion philosophique de tonte difficulté relative à la formation elEfective de chaque équaUofi cherchée : car, si, d'après ce principe, toute courbe a directement une équation en un certain système de coordonnées , on ne saurait plus douter qu'elle ne doive également ea craiporter d'équiralentes en tous les autres systèmes, sauf les obstacles que pourra présenter l'accomplissement de la transition.

En même temps, on apprécie ainsi en quoi consiste essentiellement l'embarras qu'ofire souvent l'établissement des équations. Il ne pourrait jamais susciter aucune grave difficulté, ai l'on avait toujours le dioix du système de coordonnées, puisque l'équation s'obtiendrait aussitôt en adoptant celui qui conviendrait à la définition proposée. Mais , par des motifs qui vont être ci-dessous indiqués, on doit communément s'astreindre i un système uniforme prescrit d'avance, et surtout au système ireçtiligne proprement dit, qui n'e^t pas constamment, ni même