TROISIÈME PA&TIB, CHAPITRE QUATRIÈME

termes par o:^, afin de supposer x infini , cette formule devient

tanga =

sa valeur extrême est , ce qui reproduit, sous

V/2l^l + V/2 une autre forme , la direction déjà trouvée pour l'asymptote , dont le coefficient linéaire serait d'ailleurs reconnu nul en comfdétant l'opératiou , quand môme la symétrie ne Teût pas in* diqaé d'avance. Quant au point le plus rapproché du centre, le

principedes normales donneraici la condition ~( ^ \, )^^""'

qui n'admet évidemment d'autre solution que y^O , ou le sommet A , à partir duquel la courbe s'éloigne donc continuellement de son centre , même dans la partie AB , où elle s'avance vers l'axe vertical : il est aisé de vérifier, en effet, que la distance OB surpasse un peu OA.

Cet exemple extrême est propre à faire sentir la nécessité d'accorder quelquefois une attention spéciale à de petits intervalles pour discuter convenablement certaines équations : les principaux accidents géométriques se passent ici entre A et B; aa delà , la courbure est évidemment très-faible , puisque la direction de la tangente ne varie pas de 45'* dans tout le reste indéfini de la courbe. On sent toutefois que l'existence de tels intervalles est toujours indiquée par une judicieuse appréciation de la formule qui exprime l'ordonnée ; en sorte que de pareils cas n'autorisent nullement à contracter, en général , ces habitudes aveuglément minutieuses qui s'opposent trop souvent aujourd'hui à toute saine discussion des courbes algébriques.

3nk GÉOMÉTaip PM^E.

II serait ici superflu d'examiaer géomélriqaement i^u fins grand nombre d'éqaations polynômes : je laisse au lecteur à en multiplier spontanément les exemples , auxquels chacun pourra maintenant appliquer sans difficulté les principes que nous ayons désormais assez caractérisés. Afin d'éviter les embarras algébriques trop supérieurs à Fiustruction analytique exigée dans ce traité , j'ai considéré exclusivement des équations faciles à résoudre , au moins quant à Tune des variables. Mais , après avoir assez étudié la haute algè))re , il conviendra de poursuivre , sur quelques exemples biei^ choisis , la disc9Ssion géométrique des équations algébriques , sans y dégager aucune coordonnée. Je recommande];ai spécialement, à cet égard, la courbe remarquable qpe Descaries tira de Féquation j^^+3 x^ -j- j:'=0. Un très-petit nombre de cas analogues dans les degrés supérieurs caractérisera suffisamment les nouvelles difficultés géométriques qui résultent alors de notre impuissance algébrique , en évitant d'ailleurs avec soin de susciter, k ce sujet , des calculs trop compliqués , dont la fastidieuse influence altérerait beaucoup la principale utilité logique de tels exercices.

86. Quand la géométrie comparée , jusqu'ici à peine entrevue ' par quelques esprits philosophiques , aura été rationnellement constituée d'après ses véritables principes , on pourra rendre bien plus profitable la discussion géométrique des équations en y introduisant habituellement les questions inverses , aujourd'hui trop peu accessibles , qui consistent à composer des équations correspondantes à des formes générales arbitrairement données. Ces nouveaux problèmes , toujours profondément indéterminés , ne peuvent être maintenant abordés avec quelque succès que dans les cas les plus simples. Je crois pourtant devoir ici en indiquer un exemple , afin de signaler au lecteur intelligent le genre d'exercices le plus propre, sans doute, à faire promptement approfondir Tens^inble de h géométrie

TBOISIÈME PARTIÇ, OHApiTOïl QUATRIÈME. 275

analytique. Supposons qu'il faille composer une équation algébrique dont le lieu puisse ressembler à la courbe de la figure 69. En concevant l'origine placée au sommet O et Taxe des abscisses confondu avec Taxe de ^a courbe, il sera facile de former Téquation de manière à satisfaire aux conditions de symétrie et

d'a^ymptotisme, en lui donnant la forme j^^="-^ pourvu

que le numérateur s'annule avec jc el que le dénominateur, devenant infini pour x= oo , soit d'un plus haut degré, la fraction devant d'ailleurs conserver toujours le signe de i'abscisse. Tontes ces indications seraient simultanément remplies , par exemple , d'après la formule

■ la

OÙ les trois coeflBcients , supposés toutefois positifs , demeurent encore indéterminés. Une telle fonction assurera , du reste , l'existence d'un point culminant , analogue à B , et dès lors aussi celle d'une inflexion entre B et l'asymptote. Ainsi , les diverses conditions essentielles de la figure sont simultanément satisfaites par cette équation , où la disponibilité des constantes a, b^ c, permettra maintenant de remplir les indications numé-riqnes relatives à la position et à la hauteur du point culminant. Car, l'indétermination de ces coefficients n'empêche pas d'appliquer complètement ici la règle des tangentes , qui don-

a(c — bjc*)

aéra tang «= rrz— rr:!= , où 1 on voit d'ailleurs

2 (bx^+c) Vax {bx^-^c)

que l'origine est , en effet , un sommet , suivant l'exigence de la figure , et comme l'indiquait déjà le i%pport ^. On trouve

ainsi 0?= V 7 , r= V tt- , pour les coordonnées du

b kbc

point culminant Après l'avoir convenablement placé, on

976 G^OIIÉTEIB PLANE.

pourra disposer encore d'une constante , en faveur d'une seule condition relative au double point d'inflexion. Si l'on adoptait l'équation plus compliquée

^ ax^

on pourrait , outre les prescriptions précédentes , remplir aussi toutes les indications propres à l'inflexion B , B', soit quant à ses coordonnées, soit quant à la tangente correspondante : Tune de' ces nouyelles constantes resterait môme disponible pour quelque autre intention géométrique.