TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE CINQUIEME

sent à des distinctions tellement compliquées, et surtout sinom^ breases, qu'il ne convient point de les introduire, à cette fin , dans l'enseignement élémentaire , où le second degré constitue, sons ce rapport , un type très-sulBsant et complètement appréciable, qui n'aurait d'autre inconvénient que de donner une trop faible idée des diflGicultés propres à cet examen complémentaire, si sa facilité exceptionnelle n'était pas d'ayanoe aisément explicable.

Cette appréciation spéciale serait, par sa nature, ^très-peu propre à manifester, suivant un vicieux usage scolastiqne , les vrais principes généraux de la discussion géométrique des équations; car, les particularités relatives à ce degré y aplanissent spontanément furesque tous les obstacles essentiels que nous ont offerts ci-dessusles autres équations algébriques. Mais, ayant déjà appris , sur des exemples convenables , à surmonter ces difficultés fondamentales, nous pourrons maintenant utiliser pleinement, sans aucun scrupule, ces simplifications exceptionnelles, dont la judicieuse introduction, loin de compromettre une étude générale désormais assez caractérisée , doit ainsi réagir, au contraire , sur son perfectionnement total , en y indiquant l'heureux emploi des circonstances particulières qui avaient dû être précédemment écartées.

88. Afin que le n(»nbre des coefficients de l'équation gêné raie du second degré se trouve exactement conforme aux con ditions de la détermination , je supposerai toujours l'un d'eux égala l'unité, en faisant toutefois tomber cette particularité sur le terme le moins important , pour diminuer autant que possible l'inconvénient de ne pouvoir ainsi représenter immédiatement le cas où ce terme manque , inconvénient d'ailleurs bien moins grave qu'une fausse insinuation habituelle sur le ncMnbre de points déterminant. L'équation étant donc

Texpression de l'ordonnée y est

On Toit d'abord ici , comme en plusieurs cas antérieurs, que la partie rationnelle indique un diamètre rectiligne pour les cordes parallèles à Taxe des j^. Mais cette indication prëUèainaire acquiert maintenant beaucoup plus d'importance qu'en aucun autre exemple , si l'on réfléchit qu'elle correspond à l'é^ quation la plus générale de ce degré , tandis que jusqu'ici elle ne s'était manifestée qu'envers des types algébriques très*particuliers relativement aux degrés respectifs. Une telle équation ne pouvant éprouver aucun changement de forme d'après un déplacement quelconque du lieu , qui n'y produirait que de nouveaux co^cients , il s'ensuit que cette propriété géométrique doit, au fond, convenir alors à tous les systèmes de cordes 9 puisque les ordonnées pourront toujours leur être supposées parallèles en tournant suffisamment les axes. On découvre ainsi , dès le début, indépendamment de toute théorie des diamètres , le caractère peut-être le plus remarquable qui, dans l'ensemble de la géométrie comparée , doive distinguer Ici courbes du second degré, comme ayant , en tout sens , dès dia« mètres rectilignes. Par un raisonnement inverse convenablement approfondi , on pourrait d'ailleurs se convaincre qu'une telle prqf^riété est , en effet, pleinement caractéristique, en tant qu'exclusivement relative à ces courbes.

La discussion générale de l'ordonnée, encore plus fondamentale ici qu'envers tout autre cas ^ étant ainsi réduite au seul examen du radical , qui indique la distance verticale de la courbe au diamètre, on est aussitôt conduit à y distinguer deux hypothèses nécessairement différentes, d'abord analytiquement, puis géométriquement , selon que ce radical ailecte une fonction