TROISIÈME PARTIE 9 CHAPITRE CINQUIÈME

de degré impair ou de degré pair, c'est-à-dire suivant que la» constante composée b^—iac est on n'est pas nulle. Dans la première supposition , la courbe ne rencontrera qu'une seule fois ce diamètre, et par suite tous les autres; puisque, comme ci-dessus, cette remarqne doit 9 au fond, convenir, d'après la généralité de l'équation actuelle , à un diamètre quelconque : flàns la seconde , au contraire , le diamètre rencontrera deux foià la courbe où pas du tout. Il est clair, à priori, que la marche gèDerale de l'ordonnée ne saurait être la même en ces deux cas. Considérons d'abord le premier, où l'on a

Le seul terme variable du radical devant alors changer de signe en même temps que j:, cette fonction sera toujours réelle d'un côté du point de rencontre de la courbe avec son diamètre , et toujours imaginaire de l'autre côté , suivant le signe du coeflScienl bd — 2ae : dans la partie réelle , sa valeur croîtra indéfiniment en s'éloignant de ce point. Ainsi, ce premier cas correspond à un lieu limité horizontalement d'un côté et illimité de l'autre , sans aucune limite parallèle au diamètre. Nous le désignerons brièvement sous le nom ieparabole, déjà employé, àès le deuxième chapitre de cet ouvrage, envers une courbe qui appartient évidemment à ce type ; sauf à démontrer bientôt par la voie ordinaire de la coïncidence des équations, que, réciproquement , toute courbe du second degré bornée dans un sens et indéfinie dans l'autre constitue effectivement une para-

bole proprement dite , engendrée par un point toujours équidistant d'un point fixe et d'une droite fixe.

Supposons maintenant que la fonction souis le radical soit du second degré, et imaginons que, pour faciliter la discussio^^ on l'ait décomposée, comme en divers cas antérieurs, en deux facteurs du premier degré. On aura alors

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x' et x" désignant les racines correspondantes à rannidation du radical , et , par soite , caractérisant les deux intersections de la courbe avec son dianoiètre. Ici surgit évidemment la nécessité d'une nouvelle distinction, selon que le facteur constant 6' — 4âc est négatif ou positif, ce qui, obligeant les deux facteurs variables à être tantôt contraires, tantôt conformes de signe , doit nécessairement affecter beaucoup la marche générale de l'ordonnée. Dans le premier de ces deux nouveaux cas , la courbe sera certainement comprise entre les ordonnées des points où elle rencontre le diamètre , et d'ailleurs continue ^ puisque toute valeur de x inférieure à x" et supéoienre à x' rendra j^ réel. Son écartement du diamètre sera, en outre, inévitablement limité; et le maximum du produit (jc — x^) {x' — or), qui le détermine, correspondra au milieu de ces deux intersections, d'après un théorème familier d'algèbre élémentaire, relatif aux produits dont la somme des facteurs est constante. Ainsi, la courbe est alors renfermée dans un parallélogramme, formé par deux ordonnées et deux parallèles au diamètre : nous la qualifierons d'ellipse , sauf à justifier ci- dessous la parfaite convenance de cette dénomination, en ramenant l'équation actuelle au type qu'elle rappelle.

Enfin, quand fr"" — 4acest positif, la marche générale du radical devient essentiellement inverse de la précédente $ puisque Tordonnée ne sera jamais réelle entre x = x'etx= a/', et le deviendra toujours, au contraire, en deçà de l'une des intersections ou au delà de l'autre : la courbe pourra d'ailleurs maintenant s'écarter à l'infini de son diamètre. Ce lieu sera donc à la fois illimité en tous sens et discontinu , comme 1'%perbole proprement dite , dont nous lui appliquerons déjà le nom, que nous reconnaîtrons bientôt rigoureusement convenable.