TROISIÈME PARTIE 9 CHAPITRE CINQUIÈME

Telles sont les distinctions successives d'après lesquelles la ^ discussion fondamentale de l'ordonnée démontre naturellement que toute équation du second degré représente géométriquequement une parabole, une ellipse, on une hyperbole, selon que la constante composée b" — ^ac est nulle , négative , ou positive. Ce caractère analytique doit donc toujours persister quand la courbe se déplace arbitrairement , quoique les coefficients a^ 6, c puissent alors changer. Il importe de remarquer, dès l'origine , que le premier cas s'ofire spontanément comme plus distinct des deux autres que ceux-ci ne le sont entre eux : cette comparaison sera confirmée , dans la quatrième partie de ce traité , par l'ensemble des propriétés de ces trois courbes.

La seule considération du degré suffit ici , indépendamment de tout examen de la tangente , pour déterminer le sens de la courbure, en indiquant que le lieu doit toujours être concave vers son diamètre , afin de ne jamais présenter plus de deux points en ligne droite.

89. Complétons maintenant cette appréciation fondam^tale, en considérant successivement les équations du second degré sous les divers aspects généraux propres aux théories géoipé* triques que nous avons établies.

Quant au nombre de points déterminant , notre distinction principale se soutient évidemment en indiquant que la détermination de l'ellipse ou de l'hyperbole exige cinq points , tandis que quatre suffisent envers la parabole , puisque l'une des constantes arbitraires a^b^c^ peut alors disparaître de l'équa* ti<Mi , d'après sa subordination spéciale aux deux autres.

Relativement aux tangentes , on a ici mis la discussion de cette formule, actuellement inutile pour

282 GÉOMÉTRIB PLANE.

discerner le sens de la courbure , ne présente quelque intérêt qu'envers les points propres à annuler son numérateur ou son dénominateur, en indiquant les tangentes parallèles aux axes. Encore le résultat pourrait-il même en être aisément préya ? car, les tangentes verticales, par exemple, correspondent à 2ay'\' bx-{-d = 0, ce qui constitue précisément l'équation du diamètre relatif à des cordes verticales ; il s'ensuit donc que, à sa rencontre avec la Courbe, la tangente est parallèle à ses cordes. Cette remarque, également convenable au numérateur, peut être facilement étendue à un diamètre quelconque, d'après la considération Idmiàeuse que nous avons déjà employée sur la généralité gëotnélrique de l'équation actuelle. Or, ainsi agrandie, celte relation constante des tangentes aux cordes constitue, sous un autre aspect, une suite nécessaire de la direction de la courbure, indiquée par le degré; puisque, là où le lieu cou|)e un diamètre , la tangente ne pourrait cesser d'être parallèle aux cordes correspondantes , qu'autant qu'il y aurait rebrodssement , ce qui e^t évidemment impossible.

En appliquant ici Tune quelconque de nos deux méthodes générales pour la détermination des asymptotes rectilignes , ou même la méthode subsidiaire, d'après l'extraction de la racine , on trouvera , sans difiSculté , la double équation

Les deux coefficients y sont imaginaires quand V — 4 ac est négatif y comme le cas Teligeait géométriquement. Ils sont réels , mais incompatibles , si îf — %ac = 0 ; eri sorte que là parabole n'a pas non plus d'asymptote : toutefois , la courbe étant alors indéfinie, la valeur du coefficient angulaire y indique , suivant nos principes généraux , la limite constante de la direction des tangentes. L'unité d'une félle limite moniré que les deux bran-