TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE GINQUIÈHE

ches de la courbe , aatonr de cbaqae diamètre , tendent à devenir parallèles entre elles à mesure qu'elles s'en écartent. On doit d'ailleurs remarquer que cette commune direction est précisément celle du diamètre déjà obtenu , d'après le coefficient

angulaire — -- , également convenable aux deux cas. Mais cette

rdation pouvait être aisément prévue , puisque les diamètres ne rencontrent alors qu'une seule fois la courbe, ce qui est ici le caractère , en un point quelconque , des droites parallèles à la Umite de la direction des tangentes. Un tel rapprochement conduit donc à penser que tous les diamètres de la parabole doivent être parallèles entre eux , comme nous le vérifierons ci-dessous.

Qnant à l'hyperbole , Téquation précédente y indique évidemment deux asymptotes toujours distinctes , dont l'intersection correspondrait aux coordonnées

2ae — bd 2cd — be

^—b'-^Uc ' "^^ b'—4ac'

que nous verrons bientôt convenir au centre , conformément aux exigences géométriques , qui ne sauraient permettre de placer ailleurs une telle rencontre. Cette diversité de limite entre les directions des deux parties de l'hyperbole séparées par chaque diamètre intérieur, constitue la principale diversité graphique propre à empêcher de confondre jamais l'aspect d'une parabole avec celui d'une demi - hyperbole , quelque grossier que puisse être leur tracé , pourvu qu'il soit judicieux.

Si maintenant on considère les courbes du second degré relativement aux diamètres , on y trouvera aisément , d'après notre seconde méthode , l'équation générale

/im-f- 2c\ /dm -}- e\

\2am-fl) ^ ~\2a/n+6/'

284 GÉOBfSTRIE PLANE.

qui indique , en tous sens , des diamètres rectilignes. Mais cette commune propriété essentielle avait été ci-dessus prévue , iadépcndamment de tonte théorie des diamètres. Nous avons aussi déjà reconnu le parallélisme nécessaire des diamètres de la parabole , que cette équation confirme facilement , en y remarquant que , d'après la relation b*=J^ac^ le coeiBcient angulaire du diamètre devient indépendant de celui m des cordes correspondantes. Quant à l'ellipse ou l'hyperbole, on pourrait ainsi constater la convergence de tous leurs diamètres en on point unique ; mais elle sera mieux annoncée ci-dessous par la détermination du centre. Le plus heureux usage que l'on puisse faire ici de l'équation précédente , consiste à l'employer spécialement , d'après la nature rectiligne de tous les diamètres, pour trouver les axes de la courbe , en évitant la transposition d'axes indéterminée qu'exige , en tout autre cas , une telle recherche , selon nos explications générales. II suffit, en effet , de disposer de m afin que le diamètre devienne perpendica* laire à ses cordes , suivant la condition ordinaire

1^, ou ;„'+2(^)m-l = 0.

qui indique deux directions rectangulaires constamment possibles, et d'où résultent les deux droites autour desquelles toute courbe du second degré doit être symétrique. Cependant , en achevant le calcul , on remarquera que , dans le cas parabolique, l'une de ces valeurs est inadmissible, en tant que rendant infini le coefficient linéaire du diamètre correspondant y en sorte que la parabole n'est symétrique qu'en un seul sens , comme l'exigeait évidemment sa figure générale. On poiïrra également constater ainsi que l'ellipse est rencontrée par ses deux axes, et l'hyperbole par l'un seulement, conformément aux conditions géométriques de continuité ou discontinuité.