TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME

La méthode des centres conduirait ici aux coordonnées rapportées ci-dessus , qui sont toujours réelles , et d'ailleurs finies pour l'ellipse ou l'hyperbole. Devenant infinies pour la parabole, elles y confirment l'absence de centre qu'indiquait déjà sa figure générale , et vérifient en même temps le parallélisme précédemment reconnu entre tous ses diamètres.

Enfin, si l'on applique à deux courbes quelconques du second dgré

a'y + Vxy + éx^ + dy + e' j: = 1

notre théorie générale de la similitude , il faut substituer, dans la première équation,

x' cos X'— y sin X'+ a et x' sin X'+y cos X'+ 6

au lieu de x et j^, afin de l'identifier avec la seconde, où l'on aurait d'abord changé x en mx^ et j^ en my\ Mais, sans qu'il soit nécessaire d'exécuter ce long calcul , on voit aussitôt qu'il ne conduira qu'à une seule relation , comme nous l'avons depuis longtemps remarqué. Gela posé , la recherche de cette unique condition de similitude pourra, suivant nos principes généraux , s'accomplir directement sous diverses formes équivalentes , soit linéaires , soit angulaires , dont la plus convenable me semble être ici relative à l'égalité d'inclinaison des deux asymptotes, qui , envers chaque lieu, constituent certainement deux lignes homologues. L'équation ci-dessus rapportée

donne , pour un tel angle , la formule tang V = — :

ainsi la condition de similitude est

EHe devient constamment identique dans le cas parabolique j en sorte que deux paraboles sont nécessairement toujours s^n.^

286 GÉOMÉTBIE PLANS.

blables. La siaulitode spontanée de deux cercles s'y vérifie anssi aisément, d*après le double caractère correspondant.

Quoique la considération géométrique d'où dérive si commodément cette condition semble particulière à Thyperbole , le résultat doit être étendu, sans aucun scrupule raisonnable, aux deux autres cas , puisque celui qu'on avait d'abord en vue ne se distingue analytiquement par aucune relation précise tendant à restreindre la généralité de Téqualion. Même envers les équations elliptiques , où les coefiBcients angulaires des deux droites considérées deviennent imaginaires , si Ton interprète ces coefficients en y changeant le signe du radical commun, ce qui ne saurait altérer la relation finale , on donnera naissance à deux droites , qui , pour n'être plus alors des asymptotes, n'en constitueront pas moins toujours , envers les deux courbes, des lignes certainement homologues, dont la vraie deslination géométrique, indifférente à une telle appréciation, sera d'ailleurs ultérieurement expliquée.

90. Pour compléter la discussion spéciale des équations du second degré , il nous reste à considérer les divers cas singuliers, spontanément écartés ci-dessus, où, quoique offrant le caractère analytique de l'une des lignes précédemment examinées , elles ne représentent réellement aucune courbe. Cette appréciation complémentaire est ici d'autant plus intéressante, qu'elle pourra indiquer les anomalies relatives à toutes les autres équations algébriques , envers lesquelles nous n'^ivions pu nullement ébaucher auparavant un tel examen.

Envisageons d'abord les équations paraboliques, où, b^—iac s'annulant , l'ordonnée est exprimée par la formule

Tant <pie bd^iœ n'est pas nul, il en résulte une parabole»

TBOISIËME PARTIE, CPiAPJC^I^ GINQUIÈMB. 381

siuv^l 90lre discassioo fondamen^le. Les cas ^xceintionnels doiveat donc s'y rappportec à rammlatioD de cette seconde fonction des coefScients , d'où résulte , en eSet , une formule du premier degpré

qpî n^ aurait jaipai^ convenir à uqe courbe, et qui indiquera deux droites parallèles, ou une Sieule droite , ou l'absence totale de lieu géométrique, selon que la troisième constante composée ^4" ^^ ^^^ positive, nulle, ou négative. A ces trois cas singuliers , correspondent , pour Téquation primitive , les formes

qfù sont directement caractéristiques, comme rappelant la décomposition spontanée du premier membre de Féquation en deux facteurs du premier degré , dont les termes variables coïncident > et dont les termes constants sont tantôt inégaux^ tantôt égaux , et tantôt imaginaires. Tous les degrés comporteraient évidemment, par de semblables motifs analytiques, des exceptions analogues, sauf les modifications plus variées relatives au nombre des facteurs.

Bans les équations elliptiques, où b^^iac est négatif, nous avons discuté la formule

quand les deux racines auxiliaires od et j:" sont réelles et inégales, c'est-à-dire lorsque le polynôme

formé de l'ensemble des coeflficients , est positif : c'est le cas nj^mal do l'ellipse* Supposons donc maintenant que cette condi-

tion ne soit pas remplie , et d'abord que ces deux constantes de- Tiennent égales, en yerta de l'annulation de ce polynôme. On aura alors

et l'équation ne comportera d'autre solution réelle que celle relative à x=:= j/, qui fait disparaître le radical imaginaire : en sorte que le lieu géométrique se réduira au seul point

(ba/+d) 2ae — bd 2bd — be

Suivant les explications fondamentales placées au début de ce traité , il serait plus exact de regarder l'équation comme ne pouvant être suffisamment représentée , par suite du défaut de peinture des solutions imaginaires : car ce point unique pourra d'ailleurs conserver la même position dans une inGnité d'hypothèses différentes sur les coefficients a^ b, c, dj e, ainsi assujettis seulement à trois relations pour chaque situation donnée de ce prétendu lieu. En remontant à la composition correspondante de l'équation primitive , on y reconnaît la forme

qui borne directement les solutions réelles au seul point commun aux deux droites j^-}-/'-^+î=0 et j^-|-/?'a:-f-î'=0.

Rien de pareil ne saurait avoir lieu dans aucun degré impair, d'après la notion algébrique relative à l'existence nécessaire d'une racine réelle en toute équation de degré impair à une seule inconnue. Mais tous les degrés pairs comporteront des accidents analogues, et avec plus de variété, d'après le type général

qui, manifestant l'impossibilité de détraire l'an par l'autre deux