PREMIÈRE Partie, cha^itm premier

babitnelléineiit , le miûVix adapté à la fonaatioD des éqpMkms. On voit €k>nc qae la priDdpale diiBcoIlé qui soit propre à cette formation dûit consister, en général, dans le passage dn qrstème primitif et naturel à ce système définitif et artificiel. Cette appréciation comporte une grande nlDité pratique dans tonte la géométrie analytique, en fonndssant Tm^e conseil efficace que puisse admettre cet inétitaUe préunbnle , qni, de sa luiture, ne saurait être assujetti à au<mne métliode sjstématlipie. n faut, en dfet, d'après eeh, toujours partir de cette éqnation spontanée iidi^ente à diaque défi^iion , et diriger ensmie tons les ^orts spédanx vers Télimination deceseoordonnées prittitiTes, à l'aide des deux relations que Feu déoou« yrira entre dks et les eocardonnées définitives; en em|4ojant d'aîllears ipielquefôts , à. titre d'anxiUaire , suivant l'esprit wdiaaire des recherches mathteatiqaes, un syalème intmnédiaire, on même |dnsieurs, n'ayant alors d'autre destination ^e de faciliter cette indispensd^le transition. Une judideuse application de ce conseil gén^M, sans dissiper la diiBculté , souvent trèa^ande , que |Hrésente la formation des équations , tendra du moins à prévenir la vicieuse déperdition de fioroes qni résulte si fréquemment , à cet égiaû , de tentatives empiriqoes et désordonnées , dont le succès serait presque impoo* sibk.

10. La coomdératicm précédante nous conduit natm'èyenient à comj^léler «fin notre exposition fondamenlsle » par raiq[Hréciaticm gteérale des motifs qni ont mérité , en géométrie analytique, an système reGtil%ne |^<^remrat dit, la préféreiuse universelle qpe lui a justement i^cordée jusqu'ici un usage essentiellement spontané, mais qni doit désormais résulter d'une ccànparaison rationnelle.

Pour que cette discussion aoH lumlnease et' décisive , fl importe d'y séparer d'abord les deijff aspects élémentaires dent la

noQvellB géwlétfte pféiûDtd la eombiiiatoQB pem^^iv^ im le choix profiqsé doit être fort diflércat selw qu'on enr^fP la r(^éiaEitatien aaaiylicpie des lignes ou la peiatprQ géoiaétrique des éqnatkiBS.

Sons le psMpter aspect» proYîsoiremMt isolé, i^ucw système de eaop&iqiiées ne -saurait , éTidemmeiit, inériter «ne fi^itAronce ipyaiiaUe, smt quant à la fecSité de fonti^ rôfnation de chaque %ne , soit quant à la simpHeité de l'éqwtiou fMe^ nue : puisque , d'aprèt te nsméro précédent , c^est laitfèt dana un système et tmitèt dans un antre que chaque dèfiuitiaa fo«r^ nit aussitôt une équation très-siinpie. L'usag« prépâudéraut du système rectilîgne ne saurait donc résulter nullemoiit de œ' pn«i|i^ ordre de motifs , qui conduirait à choi^ suoceasirsi^ ment chaeùn des antres systèmes tmaginaidea, pcHir les eas aux^Giels leur nature les adiipteiuit.

Mais il n'en est pins ainsi sous le second aspeet, qui manî^ feste clairement nne snpéiiovilé cointante et nécessite ée eu système eiivers lo«t auÊPs , en ce qui concerne la reffrésenta-* tiott géométrique des équations, quant à la facilité et à lu netteté d'nne telle peinture, et , par suite, quant à sa prioripaie eifieaeité logique. Cet avantage résnlte d'abord de la natoFe des lignes employées , puisque les points y sont évidem^ ment déterminés par Tiaterseclion des plus simples lignes possibles. Toutefois', cette première expfication sarait iasirflsanté; car il existe, comme nous Tarons déjà reconnu , une infinité d'antres systèmes de coordonnées où Ton n'introdutt également que des lignes droi^. Il faut donc, pour préciac^r convenablement une telle discussion, avoir aussi égard au mode de variation de ces ligues -, ce qui achève du mettre en évidence cette supériorité générale du système ortiusire: en effet , le déplacement d^nne droite , par une pure translation , parallèlement à un axe ûxt, constitue c^ainement to plus ,

PREMIÈRE PJIILTIE, CHAPITRR PREMIER. 3{4

gmflh ^mtlidUfi poisible dans mie image géométrique qui » Wf ^ destination, doit toqjonr^ contenir quelque élément Tariis\^, Oll peut donc regarder çc système comme étant nécessai|:^ei|9ent cdiû où Toq s^ représente le mieux la corrç^HHidupoe ^émentaire entre le mouvement du point et la Tariation nmpéf ique de ses coordonnées ; d'où Ton doit couclive son 4f titnde fupérienre à l'interprétation géométrique de tOQtps les con^dérations analytiqnes.

£n pf(dQ|igW)t daTftntage cette appréciation, on peut même expliquer la préférence habituellement accordée, dans Tusage dn WtéPie r#f^gme« i remploi d'axes rectangulaires. €e cboqi ]^ ii^Ht fpint e4SwtieUe«ient à la notion plus familière d'une tellf» indinaifpit , ni d'ailleurs aux simplifications analytiqoip gu'eUe comporte pouvent, iQ^is qui, en certains cas, appartien^riûei^, au contraire, à d'autres angles. Suivant un mo^f à l|i foii plus omstant et plus profond , cette disposition des. ^e» doit ^tre, envisagée commç la plus convenable à la représ^fitf^tiQi^g^métriqpiie* qnl ne pourrait autrement s'accompUr cpr4ii|a^repient d'une manière aussi fidèle. En eQçt ^^ des axe» raçbMpg^laires partagent le plan en quatre régions exactement îd^tîqnes, entre lesquelles le lieu géométrique, qm prfuqii^ toq|onrs qn occupe plusieurs , ne pourra, présenter de diwilîtés f^Wbiqnes que celles qui proviendront des solufi<M^ qnrviiwmdtn^s de l'équation proposée. Au contraire, avec 4w HfPf ^t^liqnes , c^ciuie de ces régions n'est égale q^'à ^'^ Wf^fl^ ^ diffère de son a^iacente , où la p^nture de l'équation sera altérée par l'emploi d'une nouvelle obliquité, indépip(|{iin9iieQt de toute source analytique. Si l'on cqnsidère » par epiicypiie, une éqim^tion où le cbangement de signe de l'^biqi^ n'influe point sur l'ordonnée , comme a^ + y* =^ ^ s •^^ 4- y* ^ i f ^t)^9 Ift coi^be , alors étendue dans les. quatre régiipft^ devff^it naturellement,, pour peindre fidèlement

32 GÉOnÉTRIB PLANB.

réqaation, y offrir quatre parties sy métriqaes , snsceptibled d'une parfaite coïncidence : or, cette condition , apontanément remplie avec des axes rectangulairea, ne saurait l'être soffisamment avec des axes obliques , qui , n'égalant ces quatre portions que deux à deux , indiqueront une Ticieuse diversité là où réquation prescrit une entière identité; un tel tableau serait alors peu propre à faciliter les spéculations analytiques , suivant sa principale destination logique, puisqu'on ne pourrait l'employer qu'en s'y tenant sans cesse en garde contre une semblable discordance.

L'ensemble de l'appréciation précédente explique suflbam* ment l'usage qui s'est conservé, depuis l'origine de la géométrie analytique, de préférer habituellement , à tout autre système de coordonnées, le système rectiligne et rectangulaire, le seul dans lequel seront id construites nos diverses théories gêné* raies. Mais on conçoit aussi que, malgré sa supériorité con-stante pour la discussion géométrique des équations, il doive être quelquefois abandonné envers certaines courbes , afin d'é-viter la trop grande conq>lication des équations correspondantes. Dans les applications concrètes de la géométrie abstraite, on peut d'ailleurs employer spécialement d*autres coordonnées sans avoir même en vue la simplification des équations , et uniquement comme susceptibles d'une meilleure interprétation physique : c'est ainsi que les astronomes ont été conduits à préférer habituellement les équations polaires , h l'égard de courbes dont les équations rectilignes seraient pourtant plus simples.

11. Le système polaire étant jusqu'ici le seul réellement usité quand on renonce au système rectiligne « il importe de spécifier envers lui la comparaison générale que nous venons d'établir , en £aiisant ressortir les imperfections élémentaires qui le rendent très-peu propre à une convenable peinlure des

FftBMlÈAE PARTIE, CHAHTHE PREMUSR. 33

éqaafioDS , outre la moiadre facilité , et par suite la moindre netteté que présente , à cet égard , sa naUire opposée à celle de Tantre système , d*après les motifs ci-dessus indiqués. On doit reconnaître, en effet, que, sous deux aspects essentiels, il ne comporte pas même une entière fidélité , ea ce sens que des solutions analytiquement distinctes y sont quelquefois repré* sentées par un même point , sans que le tableau géométrique puisse alors tenir aucun compte de leurs différences numériques. Cette confusion élémentaire a d'abord lieu quand une même valeur de l'ordonnée linéaire correspond à deux valeurs de l'ordonnée angulaire qui diffèrent entre elles de quatre an* gles droits , ou de tout multiple entier de 360*, ce qui peut souvent survenir , et , par exemple , toutes les fois que l'équation proposée contient seulement des fonctions trigonométriques de l'angle : en de tels cas , la nature du système polaire empêche certainement la représentation géométrique de ces diversités numériques ; ce qui ne peut jamais exister avec des coordonnées rectilignes , ni même d'après beaucoup d'autres systèmes. Aussi le système polaire est-il justement réservé , d'ordinaire^ pour les équations qui contiennent l'angle algébriquement, comme celles des spirales, et d(nt-il être spécialement évité envers celles qui n'en renferment que des fonctions périodiques. Mais une semblable confusion se manifeste, d'une manière encore plus grave, sous un autre aspect plus universel, d'après l'impuissance nécessaire du système polaire pour représenter géométriquement les différences de signe 4* ou — , quand eUes n'affectent que le rayon vecteur. Le besoin , propre au système rectiligne , d'attribuer des signes' aux coordonnées, afin d'y compléter les déterminations élémentaires , a été heureusement converti, par Descartes, en une précieuse aptitude à peindre géométriquement ce genre important de diversités analytiques. Au contraire , l'indépendance même d'une telle

94 WPWlTmE

(d>ligation, qui semMe d'abord devmr fxmsUtuer, m ^irnnt^fe du système pcdaîre , y est réeiproqpement deyenoe ta source néeessaire d'une imperfeetian capitale , eo y empécbaot essea-^ tiellement mie telle représentation. Toutefois , h vraie nature de cette grande loi de Deseartes y permet encore ta peinture du signe envers eelle des deux yariabtas que l'angle représente , puisqu'il suffit alors de compter l'angle en sens conirnire de celui qu'on a affecté à ses valeurs positives. Afais si le change* ment de signe se rapporte au rayon Tecteur , la construction polaire n'en pourra certainement tenir aucun compte, nne tnlte longueur, dont la direction change continuellement, n'étant pas sqsc^ptible d'une véritable opposition de sens. C'est k tort que Ton croit quelquefois l'avoir représenté , ep portant tas valeurs négatives de chaque rayon vecteur à l'opposé de la di-^ reçtioB qu'on leur eut attribuée , d'après l'angta correspcm- ^antj si elles eussent été positives , comme OM' çomperé k DM {fig,'2). Il est clair, en effet, que OiVr ne correspond paa réellement à l'angle <;», mais à la valeur ISO*" -f- 9, qui , suiviint ce mode , ne pourrait plus trouver, sur la figure , aucune ptacç distincte. Une telle #rreur provient sans doqte de l'habitude trop ei^elusive d'équations potaires où cette opposition de va* leurs n'est point assex marquée, h cause de fonctions purement trîgonoinétriques de f. Mais il suçait de considérer» piyr exemide, les équations d^ spirales uaco^, ^^ss^af^uf==:a^ u^0l^, etc., pour sentir aussitôt l'ineonvenenee génmle d'uw telle interprétation.

Comme cette dernière explication , quelque rationnelle qu'elta soit spontanément, se trouve néanmoins directement contraire à un psage sppta§tiqiie devenu très-cGonmun, il importe d# mppeler incidemment, ^ ce sujet, ta véritable esprit , auj^oufd'hui trop méf^uu, ^ ta griinde tai 4éP(mv^ta per Descartes sur ta destinaiiun concrète du ligne + ou -^ dips tas

PBKMÏKBK FAEnE, tSHÀFITlfi PEEMIEE. 3^

rdatidfis anâly tiqœs. Il feat d'abord reoonoattre qat cette proh position capitale de philosophie mathématiqae n'est réellemen détnontrée encore que d'après de simples vérifications spéciales, sans aucune appréciation directe et générale : seulement ces vériflcations sont maint^ant beaucoup plus multipliées , et sur* tout plus variées , qu'elles ne pouvaient Tétre pour Desoartes , dont le génie analogique fit surgir cette admirable induction de l'henreux rapprochement d'un très-petit nombre de cas. Les géomètres actuels se montrent même quelquefois^ il faut l'avouer, moins avancés , à certains égards ^ sous ce rapport, que ceux du dix-septième siècle ; en ce que , répugnant trop à una logique purement inducti Ve , ils prennent souvent , à ce sujet , des vérifications très-bornées pour de vraies démonstrations. Peut-être faut-il penser d'ailleurs qu'une telle proposition ne comporte pas d'explication à priori , et dk)it toujours rester fondée sur de pures Inductions, sans que sa certitude en soit toutefois affectée : du moins l'impuissance radicale des efforts tentés , à cette fin , depuis deux siècles , et quelquefois par des esprits supérieurs, autorise beaucoup une sanUaUe opinion. Quoique la science mathématique soit celle de toutes où rex"* tréme simplicité du sujet comporte le plus l'emploi prépondérant des déductions , il n'y saurait pourtant être tout à fait exclusif, et quelques notions capitales y doivent sans doute demeurer, comme celle-ci, purement inducti ves. En acceptant, du moins quant à présent , cette irrécusable nécessité, il faut s'attacher surtout à bien reconnaître le vrai sens général , ordinairement très-confus, de cette grande Ira cartésienne , qui consiste en ce que toute véritable inversion, dans les grandeurs concrètes qui en sont susceptibles , se traduit .analytiquement par le changement de signe des valeurs abstraites correspond dantes : c'est à dire que, l'équation d'un phénomène quelconque ayant été formée pour un seul état de ces diverses grandeurs.,

toutes les autres dispositions, souvent très-Diulti|Âiées ( sdon U puissance de 2 qu'indique leur nombre) , qui pourront résidter de leurs inversions combinées, se trouveront exactement correspondre à des équations déduites delà première d'après les seuls changements de signe convenables, en sotie que l'une d'elles, suJBSsamment interprétée , pourra condenser toutes les autres. Sans insister ici sur les avantages , aussi évidents qu'éminents , de cette découverte fondamentale , surtout entièrement indispensable à l'existence de la géométrie analytique, on doit sentir que cette loi interdit l'interprétation concrète du signe envers les grandeurs qui, comptées suivant des directions variables, ne sauraient comporter une véritable opposition de sens ; car , dès que le changement de signe est reconnu exprimer l'inversion , il ne peut plus comporter aucune autre attribution , sous peine de n'avoir qu'une destination vague et même arbitraire. Que signifie, par exemple, b prétendue différence de signe entre les rayons vecteurs OM , OM', appliquée à l'ensemble des directions? Elle revient évidemment à supposer positifs les rayons au-dessus de Taxe 0?, et négatifs ceux au-dessous t or , la distinction ainsi établie entre ces deux dasses est factice et illusoire , comme ne tenant qu'à l'interposition de cet axe ,* concevons supprimée cette vaine séparation, et il n'y aura certainement pas plus de difierence réelle entre OM et ON, qu'on affecte alors de signes contraires, qu'entre OM etOK , auxquels ou donne pourtant le même signe j ce qui fait aussitôt ressortir combien un tel usage est radicalement contraire à toute judicieuse interprétation de la loi du signe concret.

12. Après avdr entièrement exposé la conception fondamentale propre à Tensemble de la géométrie analytique, il reste à compléter ce chapitre préliminaire par deux explications indispensables, d'ailleurs spontanément corelatives, d'abord sur la vraie théorie de Thomogénéité géométrique, et ensuite