TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME

groupes toujours positifs , indiquera , comme seules solutions réelles , les coordonnées communes aux deux lignes y (x, ^)=0 et 7(x, y) = 0. Dans le second degré , où c^s lignes doivent être droites , il n'en peut résulter qu'un point unique. En un degré plus élevé , où elles pourront devenir courbes, ces points isolés pourront se multiplier davantage, jusqu'à une limite toujours déterminée par le nombre des intersections possibles. Ainsi, par exemple, une équation du quatrième degré pourrait ne fournir géométriquement qu'un, seul points ou bien en donner deux, trois et même quatre, suivant les relations des deux courbesy (x , ^) = 0, y (x , ^) == 0, alors du second degré, et pouvant offrir jusqu'à quatre points communs sans se confondre.

Nous pouvons ensuite supposer que, dans une équation elliptique , les constantes auxiliaires a/ et j/' soient imaginaires , c'est-à-dire que le polynôme aiae^-^-aP — hde-^-iac — b*)^ positif pour le cas normal , devienne négatif. En reprenant la formule

on sait, par la théorie algébrique des équations du second degré, que la fonction (x — af) [x — af') reste alors constamment positive , quelle que puisse y être la valeur de x. Donc, b* — iac étant négatif , on voit que maintenant l'ordonnée sera toujours imaginaire; en sorte que l'équation n'aura plus aucun lieu géométrique» mais suivant un tout autre mode analytique que dans les équations paraboliques ci-dessus assujetties à la même anomalie. Ce cas, géométriquement exceptionnel , pourra être algébriquement aussi fréquent que le cas normal , en prenant des coefficients au hasard , puisqu'il n'exige entre eux aucune relation précise, et qu'il se distingue seulement parle sens, d'abord imprévu , d'une certaine inégalité. La composition cor-

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respondante de l'équation primitiTe est nettement représentée par la formule

qui montre directement Timpossibilité d'aucune solution réelle^ même en annulant les deux parties variables.

Toutes les équations de degré pair comporteraient éyidem> ment une semblable anomalie géométrique, suivant le type

(/(^,j<)r+(f(^,j^)r+(+('^,j^)y'+etc... +i»=o.

Considérons enfin les cas singuliers propres aux équations hyperboliques , où b^ — 4ac est positif .D'après la même formule,

nous avons reconnu Fbyperbole quand les constantes x' et a/^ sont réelles et inégales. Supposons-les maintenant égales y selon l'hypothèse a{ae*'{'Cd'—bd€'\'kac—b*)z=:i}. La formule devient, comme ci-dessus ,

Mais le changement de signe de ft" — ^ac y produit un effet géométrique trës-différent,quoTquepareilIement singulier,* car, l'ordonnée est alors, au contraire, toujours réelle ; en sorte que l'équation admet encore un véritable lieu , à la fois continu et indéfini. L'anomalie consiste donc ici en ce que ce lieu, cessant d'élre curviligne, se compose de deux droites,. qui concourent nécessairement, au point dont l'abscisse est a:'. En remontant à l'état correspondant de Féquation primitive , on y reconnaît la forme

qui indique aussitôt une décomposition exceptionnelle en deux